抽象性

论文作者发现长河多语类和一些退化多语类之间的新趣味特征,如堕落的Bernoulli多语类、堕落的欧拉多语类、堕落的Dahee多语类、堕落的Bell多语类、堕落的Lah-Bell多语类和堕落的Frobenius-Euler多语类和Mittag-Leffer多语类 -sheffer序列 -差分运算符表达时查找系数多数值 -长合多义线性组合此外,作者从中推导出这些特征的反向公式

开工导 言

Umbral演算从1850年到1970年主要由符号性序列操作技术组成,数学机为需求留有小空间1970年代,Gian-Carlo罗塔开始为理论搭建完全死板基础,理论基础以相对现代的线性函数概念、线性运算符和邻接函数为基础(见[见一号-4))Umbral演算有助于Lagrane反向公式的泛化化并应用到许多领域,例如组合计线复发和拉特路计数、图理使用色多义推理、概率理论、链式不定理论、统计学、表理学和物理等(见[参3))研究者正积极应用到各个领域中(见[见一号-16))

过去几年中,许多明显的脑积分类型开始研究(见[见2,4,6,10))特别是金金定义堕落Sheffer序列 -sheffer序列集 -线性函数和 -差分运算符如下2))

等一等 领域复杂数 并让

等一等 矢量空间所有线性函数 .

之后,每个实数 产生线性函数 上 ,调用 -线性函数由 ,定义由(见[见2) 并用线性扩展 , , .发件人3),我们有 去哪儿 克罗内克符号2))

每种实数 和每一正整数 ,金和金定义差分运算符 中2中文本不变 或服务 ,

并显示 并 ,

顺序排序 联想 最小整数 中位系数 不消失if ,并发 称之为倒数数序列并有复数反数 联想 .if ,并发 称三角洲序列并有构件逆序 联想 带 (见[一号,2,12,16))

等一等 三角洲数列 不可逆数列并存独有序列 多义满足正对数条件2)

来 称之为 -sheffer序列 ,表示由 .顺序排列 算法 -sheffer序列 仅if 面向所有 ,去哪儿 正构反 中位数 (见[一号,2,12,16))

等一等 并让 .后由8),我们有 并因此我们知道

下定理由金金和金证明2并是一个非常有用工具 研究堕落版 特殊多元数和数

定理一等一等 , .之后,我们有 去哪儿

面向 ,斯特林数首类 斯特林二类数 ,分别由下文提供(见[见[11,12,17-20码:

每种正整数 ,众所周知(见[见11,12,17-20码)

非零实数 ,下降指数函数定义一号,21号-27号)

注意

由Carlitz启动的对某些特殊数和多义变换版的研究发现趣味关系与组合数、Bernoulli多义数和欧力安多义数中重要数相关28码))数十年来,许多研究人员研究各种特殊多语或数变换版研究(见[见一号,2,21号-27号,29-32码))

通过使用16高阶变换Bernoulli多义定义如下(见[见一号,10,12,30码,三十三,34号:

何时 , 称高阶堕落Bernoulli数相加时间 ,表示 .

反之 金金定义 退化对数函数为构反函数 满足 .嗣后,我们有一号,10,22号,24码,32码)

通过使用19号Bernoulli二类多义由生成函数定义16)

特例 , 称伯努利二类数

退化版Stirling二类数14下流斯特林数 和堕落斯特林二类数 分别由Kim-Kim介绍一号,2,21号,22号,24码,26-30码,35码,36号)如下:

等一等 .自 受定理一号获取 并因此,我们知道 去哪儿 , 下降因子序列以类似方式,我们也知道

论文的目的是通过使用长合多义和某些特殊多义查找一些新趣味特征 -sheffer序列 -差分运算符详解后发现系数多元或数 -Th Changhee多义表示为线性组合 某些堕落特殊多义使用 -sheffer序列 -差分运算符(见定理词)2-10),并使用 -sheffer序列和多义线性组合5-8并10并引出这些特征反向公式

二叉Changhee多语法自创 -Sheffer序列

中段发现长河多义和特殊多义关系 -sheffer序列

Changhee多义由

by24码)和(b)26)获取 并,by27号),我们有

by28码数位常合多义

图中还显示长合多义图一号.


图1
长合多义形 .

注意 去哪儿 , , .

定理2面向非负整数 ,有 反向公式31号),我们有

证明等一等 .自 受定理一号并30码),我们有 反之,我们假设 .by6)和(b)17)获取

自 并因此我们知道

定理3面向每个 ,有 反向公式38号),我们有

证明等一等 .自 受定理一号获取 反之,让我们 .by8),12),15)和(b)37号)获取 反之,由定理一号... 并因此完成证据
堕落欧拉多元函数定义生成函数28码) 何时 , 被称为堕落欧拉数
by44号),我们知道 之类

定理4.面向每个 ,有 反向公式47),我们有

证明等一等 .自 受定理一号获取 反之,我们假设 .接下去 反之则由11)和(b)46号)获取 并完成证据
by46号计算前几个堕落欧拉多语法 虽然 ,难寻 , 遍历图2.取定理4我们看到 , .
退化大喜多义由生成函数定义 特例 , 称之为堕落大熙数32码,37号))
注意 并使用24码),我们有


图2
形状之类 , , ,并 时间 .

定理5面向非负整数 ,有 反向公式57号),我们有

证明等一等 .自 受定理一号... 反之则由11)和(b)28码)获取 反之,我们假设 .取定理一号并6)获取 反之则由11)和(b)56号)获取 堕落的Bell多义由生成函数定义一号,23号) 注意 并因此 此外,我们知道

定理6.面向非负整数 ,有 反向公式69),我们有

证明等一等 .自 受定理一号并67号)获取 反之,我们假设 .by68号)获取 反之则由11)和(b)66号),我们有 并因此完成证据
未签名拉数 计数方式数集 元素可分解 无空白线性排序子集并有清晰公式一号,20码,23号,38号,三十九) by75),我们可以取出生成函数 待办(见[一号,20码,23号,38号,三十九) 最近金金介绍堕落Lah-Bell多义如下一号,20码: 特例 , 称Lah-Bell数字注意 -Thrah-Bell数 数方法集 元素可分割成非空线性排序子集by77号),我们可以推导出: 并因此,我们获取

定理7面向非负整数 ,有 反向公式80),我们有

证明等一等 .自 by11)和(b)28码)获取 反之,我们假设 .接下去 反之则由11)和(b)79)获取 并完成证据
根據堕落伯努利二类多义定义,我们注意到 并因此,我们获取

8定理面向每个 ,有 反向公式88),我们有

证明等一等 .自 受定理一号获取 反之,我们假设 .接下去 反之则由11)和(b)87)获取 并因此完成证据
Mittag-Leffler多义由生成函数定义14,34号,36号)

定理9面向非负整数 ,有 反向公式95),我们有

证明等一等 .自 受定理一号并30码)获取 反之,我们假设 .后由76)获取 并完成证据
堕落Frobenius-Euler多元顺序 由生成函数定义一号,2,31号,40码) 特例 , 被称为堕落Frobenius-Euler数序 .Frobenius-Euler多元顺序定义 ,中方表示 并因此我们 况且,我们看到

定理10面向非负整数 ,有 反向公式104),我们有

证明等一等 .自 受定理一号获取 反之,我们假设 .取定理一号并103),我们有 后台11)和(b)102)获取

3级结论

论文中,我们研究长河多语法2堕落的伯努利多语法3堕落欧拉多语法4迭代多义5变形钟多义6退化拉-贝多语库7堕落的伯努利多义二类8Mittag-Leffler多义九九和堕落Frobenius-Euler多义10通过查找系数 并多元或数 -Th Changhee多义表示线性组合这些堕落特殊多义使用 -sheffer序列 -差分运算符此外,我们从中推导出这些特征的反向公式

Umbral演算应用到许多领域,例如组合计算线性复发法和拉特路径计数法、图理使用色多元学图理学、概率理论、链通不变理论、统计学、表理学和物理研究者正积极应用到多个领域未来项目之一,我们希望继续研究某些特殊多语种和数的变形版 -Umbral演算[41号..

数据可用性

未使用数据支持此项研究

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突

作者贡献

tk和JWP构思框架并结构整本手稿TK和JWP写论文BMK和TAR检验手稿结果所有作者阅读并批准最后文件

感知感知

这项工作得到了韩国国家研究基金会资助NRF-2020R1F1A1A010558