文摘
在本文中,我们引入新的模型摆运动的两种情况:第一个模型包括一个钟摆质量米搬最后一个字符串和一个暂停点上移动一个椭圆和第二个由一个钟摆质量米移动的弹簧与悬点在一个椭圆。在两个模型中,我们使用的拉格朗日函数推导运动方程。派生的方程简化为二阶拟线性系统。我们使用一个名为大的新数学技术参数法求解模型的系统。得到的解析解的广义坐标。我们使用数字技术所代表的四阶龙格-库塔方法解决这两种情况下的自治系统。获得解决方案的稳定性进行了研究使用相图的过程。获得的数值解和分析的比较研究数学和数值技术的准确性。大参数技术给了我们优势获得的解在无穷远处相反与著名的庞加莱(小参数)方法被许多杰出的科学家在过去两个世纪。
1。介绍
钟摆运动是理论力学的一个重要问题。这些问题是由许多作者研究(1- - - - - -5]。作者利用小参数技术来解决他们的问题。在[6),作者研究了属性相对周期运动的一个连贯的对象被一个软线在例行旋转垂直平面。他利用拉格朗日方程得到运动方程,同时忽略了非线性边界。他发现方程周期解用小参数方法。在[7),研究了变长摆的运动和摄动分析8)是用来确定运动的属性。在[9),作者研究了单摆围绕一个轴,双线性转矩和周期性运动。研究人员表明,这自然系统成为一个有效的方法来确定的变化值共振(参数)。在[10),作者得出的解决方案一个单摆在极地方向激励的存在。
没有人想使用另一种方法特别是大型参数方法虽然这个技术允许我们给新的条件,不能认为以前的问题。同时,这种技术给了我们机会研究问题的问题在一个新的领域(无穷)。应用工作有很多应用在旋转行星围绕太阳运动和身体围绕地球的旋转运动。卫星运动中有许多应用,天线和导航。在第一个问题中,角速度点的是吗问而不是点在前面的工作(参见图1)。同时,角线之间的夹角OQ,固定垂直向下吗x设在平面上xy,而不是OA和线之间的角度x设在。然而,在第二个问题中,我们把一个刚体米而不是一个粒子在第一个春天而不是一个字符串在第一。所以,第二个问题需要一个复杂的研究和程序获取解决方案的三个广义坐标在第一个问题而不是一个。我们考虑上面提到的描述研究以下两个模型和构建使用拉格朗日函数的运动方程。我们实现的解决方案由大参数方法而不是小的。这种方法被认为是一个新的程序(11赋予新考虑这些问题。
2。第一个钟摆模型
在本节中,我们研究一个钟摆的质量米和字符串长度暂停点移动的椭圆(见图1)。对于这种情况,我们取一个点问辅助圆的半径一个椭圆上的点对应。让O的共同中心椭圆和圆的线AQ椭圆的长轴是垂直的。当A点移动的椭圆,这一点问圆的角速度在平面上xy。让运动在初始时刻开始 在一个逆时针方向。过了一段时间后t,点的坐标 这样 在2一个和2b主要和次要的轴的椭圆,分别。坐标(X,Y)米得到了, 在哪里是字符串和纵轴之间的角度。假设以下参数(12), 在哪里是一个大型的参数,< <b。
此外,我们假设变量 在哪里的重力加速度,是正常的角速度,广义坐标的问题。
2.1。运动方程
利用拉格朗日方程,我们得到这个摆的运动方程的形式如下: 在哪里T是动能和V是潜在的一个。用(2),(3)和(4)(5),我们得到
这个方程的解决方案意味着我们获得的大参数和时间。
2.2。近似周期解
现在,我们将找到近似周期解nonresonance情况(12];这是是不理性的价值。然而,这里我们使用大参数的技术,而不是以前使用的那个小的。的解决方案(6)得到了幂级数的形式扩张权力的1 /如下:
用(7)(6)和等同系数的权力 双方,我们得到一个微分方程组,其中包含 ,这是解决获得以下:
3所示。第二个钟摆模型
在本节中,我们考虑一个刚体质量摆米悬浮与无质量弹簧长度这是悬浮在一个点吗O1在椭圆3]。根据(3),点问移动的辅助圆恒角速度和对应点O1在椭圆。考虑到圆半径b和线之间的角度infoq水平轴取决于t只有。考虑平面上运动xy。从[3),点O1从 逆时针方向。
3.1。拉格朗日函数的确定
一段时间后t,重点O1将创建一个角水平轴,即: 在2一个和2b的轻度和重度斜椭圆,分别。
考虑到身体的质心的坐标给出
我们中心的计算速度c通过区分(9)和(10)。考虑下面的参数和变量(3]: 在哪里d是弹簧长度相对平衡,J表示主要的轴的转动惯量 , 弹簧的自由长度,是一个大型的参数,K是弹簧的力常数,然后呢 广义坐标。使用(9),(10),(11)和(13)找到动能和潜在然后构造拉格朗日=动力能源潜力的一个广义坐标的如下:
3.2。运动方程
利用拉格朗日方程(14),(11)和(13),我们得到运动方程如下:
方程(15),(16)和(18)是一个二阶拟线性系统,描述了该模型的摆方程。我们的目标是解决这个系统通过一个名为大的新程序参数方法(11得到近似周期解。
3.3。近似周期解
在本节中,我们搜索近似周期解的情况下nonresonance使用大参数的技术。假设的解决方案(15- - - - - -18),获得以下:
用(18),(19)和(20.)(15),(16)和(18)和等同系数相同的权力在双方,我们得到一个九方程组提供以下解决方案(3]:
弹簧的力
4所示。数值的考虑
在本节中,我们将前面提到的模型由9个项目获得数值解分析和不同情况下的运动。我们用四阶龙格-库塔方法获取的数值解系统运动的不同的问题。我们获得五表的结果和33个数字的描述动作摆不同的值的参数。这些表和数据描述的行为动作和不同参数的影响的解决方案。
4.1。第一个模型的数值问题
在本节中,我们讨论了上面提到的第一个模型分析和数值解。我们比较这些解决方案,我们将讨论角的最大值 。我们把问题分成以下案例。
以下4.4.1。第一种情况下
自 ,然后 ,即摆动作水平的直线长度2b(13]。从表1,我们注意,振动的振幅和角速度减少时增加。同时,从表中我们注意到,每一个的价值有一个伟大的价值(摆肋骨之间的角度和垂直轴)。本例中(参见图表示2)。
在初始时刻 ,钟摆悬浮点O和它的肋骨是由向量表示 ,也就是说, 。这个角增加逆时针方向,直到达到最大值,当悬挂点 。在 暂停,返回到初始位置o .然后,角增加一个顺时针的方向,直到达到最大值点 。悬挂点将指向O,直到达到初始位置 。在这种情况下,分析和数值解的图形化表达出现(见图3和4)。
4.1.2。第二种情况
在这种情况下, 然后一个=b;这意味着,悬挂点的摆转一圈半径一个。很明显从表2时的价值增加时,角速度和减少振动的振幅减小。悬挂点的运动在一个圆的周长可以说明(见图5)。在初始时刻 ,这个摆的悬挂点和它的肋骨是由向量表示 ,也就是说, 。然后,摆的悬挂点逆时针转向点的角度增加逆时针方向,直到达到最大值,当悬挂点 。当悬挂点达到这一点 ,这个角又变成零,钟摆肋骨变成垂直。然后,这个角增加直到达到最大值点 。之后,暂停点会指向点年代,直到达到的主要位置 并完成。在这种情况下,图形化表达分析和数值解的出现(见图6和7)。
4.1.3。第三个病例
很明显从表3振动的振幅降低的价值增加,因此角速度减少。分析和数值解的图形表示(见图所示8和9)。
4.1.4。第四个病例
表4显示了不同的分析和数值解的值属于[0,1]。从表4我们得出结论,价值越高使小的振幅振动。这种情况下的图形表示(见图10和11)。
4.1.5。第五例
表5给出了分析和数值解的值不同属于[0,1]。我们得出结论,价值越高 ,较慢的振幅振动将会增加。从表5,我们发现数值和分析结果之间的差异非常小,可以忽略不计。此外,图形表示,这种情况下(见图所示12和13)。
4.2。第二个模型的数值问题
本节将用于验证解析解的准确性导致上面提到的第二个模型通过使用计算机程序。这些解决方案会在很多情况下是图形表示如下。
4.2.1。准备第一种情况下
自 ,这意味着这个摆的运动水平在经度2一个。这是明显的图形表示的解析解通过图表(见图所示14- - - - - -16)。在本例中,我们注意的稳定性的解决方案,我们获得的证据(见图17- - - - - -19)。
4.2.2。第二种情况
在这种情况下,悬挂点的钟摆移动超过一个圆的半径一个。我们获得的图形表示的解析解在一个合适的方式(我)(见图20.- - - - - -22)。我们注意稳定性的解决方案在这种情况下,正如(见图23- - - - - -25)。
4.2.3。第三个病例
在这种情况下,摆的悬挂点移动的最大和最小轴向的椭圆一个和b,分别。关于这种情况下,图形表示解析解出现适当的情况下(我)(见图26- - - - - -28)。我们注意稳定性的解决方案在这种情况下,正如(见图29日- - - - - -31日)。
4.2.4。第四个病例
钟摆,在这种情况下,垂直移动沿着垂直线沿着它的长度,和图形表示的解析解(参见图表示32)。在本例中,我们注意稳定性的解决方案(见图所示33)。在这种情况下,我们推断出 。
5。结论
两个新模型介绍了钟摆的运动新主的存在不是之前定义的条件。庞加莱的方法无法解决这些问题的新条件,所以我们必须寻找新技术与这些变化相匹配。大参数定义实现大量参数的方法解决这一问题在新的假设。方程模型推导出的能动性和解决使用大量参数分析方法获取解决方案。给出了四阶Ronge-Kutta数值方法求解方程组数值通过计算机程序。同时,解析解和数值解进行比较,5表和图33。原来的解析解符合数值解,证明了有效性的严重的方法中使用的解决方案。解稳定性给出了相图的过程。本文概括了许多以前的作品。两个模型分为9例取决于运动的参数。 From this, we conclude that the cases studied were implemented in research [6,7,10,13]。有广义摆运动的情况下,由于引入相干粒子以及运动的身体而不是在椭圆上而不是在一个圆和软线,而不是一个字符串。之前的解决方案得到了特殊情况的解决方案。我们还得出以下几点:(1)近似周期解得到了使用大型参数方法因为庞加莱的技术是失败的在这种情况下(2)的角速度nonresonant振动的情况下必须采取不整数值,以避免奇点的解决方案(3)获得的近似周期解是周期函数。
数据可用性
数据共享不适用本文没有生成数据集或在当前的研究分析
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
AI进行本文的设计和分析,参与了序列比对、分析和解释的方法,执行结果,总结研究的主要贡献在于写手稿,构思和协调。哈进行了数值分析,参与编写和修改序列比对,起草了手稿,参与的设计研究,并进行数值分析。所有作者阅读和批准最终的手稿。
确认
作者要感谢院长以来嗯Al-Qura大学科学研究支持这项工作由格兰特代码:(22 uqu4240002dsr01)。