文摘
bathtub-shaped风险率函数模型广泛应用于生命周期分析和可靠性工程。在本文中,我们采用了减少新修改的威布尔分布(RNMW) bathtub-shaped故障率函数。考虑人口单位是失败的,失败的两个独立的原因和故障时间分布与RNMW分布,我们制定的模型被称为竞争风险模型。二型审查方案下的模型参数估计和极大似然方法和相应的渐近置信区间。此外,贝叶斯点和可信区间的帮助下获得构造方法。分析了真实和模拟数据集用于演示目的。最后,估计与蒙特卡罗模拟进行比较研究。
1。介绍
在过去的几年中,不同修改的威布尔分布是由bathtub-shaped故障率函数。这些修改与不同作者探讨了[1- - - - - -4]。一些修改的威布尔分布模型进行了讨论与使用两个或三个参数向量(4- - - - - -6]。此外,一些修改的四个参数的威布尔分布进行了讨论(见[7])和五个参数的修改(见[8])。然后,大组分布与广义线性广义指数分布的bathtub-shaped故障率由Sarhan et al。9]。单峰,减少、增加或bathtub-shaped故障率beta-Weibull分布提出了李et al。10]。四个参数的广义修改威布尔分布提出了卡拉斯科et al。11]。
Almalki和元12)提出了新修改的有5个参数的威布尔分布和分布函数(CDF)给出的 在哪里和被称为形状参数,和被称为尺度参数,然后呢被称为加速参数。最有效和灵活的寿命分布bathtub-shaped风险函数超过三个或四个参数,但降低了寿命分布有几个参数的数量,两个或三个,但这些分布并不多(例如,修改后的威布尔分布,取幂威布尔分布,以及修改后的威布尔扩展)。Almalki [13)提出了一个新版本的新修改的威布尔分布bathtub-shaped故障率函数(降维)调用新修改的威布尔分布降低了= ,与提供的 在哪里和被称为尺度参数和被称为加速参数。
在本文中,我们考虑降低版本的特殊情况(2)“新减少修改威布尔(NRMW)分布参数 如下:
密度、生存和危害故障率函数,分别 在哪里和都是非负的参数。PDF NRMW分布有不同的形状,减少,或decreasing-increasing-decreasing,如图1。不同形状的危害故障率函数,减少,bathtub-shape图1。
(一)
(b)
如果随机变量用NRMW分布,然后下面两个属性是满意。(1)的rth的时刻NRMW由随机变量 在哪里是伽玛函数。(2)母函数是由
产品的寿命数据单位提出了完全或审查数据依赖一些测试时间或成本的考虑。完成这个词时使用失效时间数据是所有单位测试获得。但是,经过审查的数据时使用一些但不是全部单位测试通过确定失败的时间。各种类型的审查是可用的;i型和ⅱ型审查计划是最古老的审查计划。在i型审查计划,实验者在前缀删除测试时间;然后,故障时间是随机的。但在二型审查方案,实验者的前缀号码删除测试失败;然后,测试时间是随机的。
在寿命测试实验或可靠性分析,单元测试失败与不同模式的失败是一种常见的现象在生活中测试实验和竞争风险的问题。在实践中,对生活产品,产品单位不同失效模式下失败,其中一个原因失败,和任何失效模式的风险评估的问题在其他模式下需要注意的几个作者;最近的更多细节,请参阅[14 - 18]和[19、20]。在我们的人口,我们记录故障时间和相应的故障模式下考虑,只有存在两个失效模式和单位失败只有一个模式。
本文旨在模型ⅱ型竞争风险和样品NRMW分布失效模式是独立的和发生故障时只有一个模式。然后,我们有一个模型的描述机制和相应的似然函数。同时,模型参数点估计和区间与最大似然法和贝叶斯方法。通过蒙特卡洛模拟研究讨论的理论结果和实际数据分析。
本文组织如下。部分2包含了一些缩写和模型描述。部分3包含了古典与标定方法估计。部分4包含了贝叶斯估计的密度的方法。节5的两个寿命数据进行分析说明的目的。部分6蒙特卡洛研究的结果报告。
2。缩写和模型
在本节中,我们给出了本文中使用的缩写列表以及模型的完整描述机制如下。
2.1。的缩写列表
威布尔NRMW:减少新修改PDF:概率密度函数提供:累积分布函数 :生存函数心力衰竭:风险函数 :观察到的失败 : 时间下失败的原因 :指标表示密度:马尔可夫链蒙特卡洛MH: pmmh算法均方误差均方误差MIL:意思是区间长度CP:覆盖率百分比企业:最大似然估计低频:损失函数ACI:近似置信区间置信区间:可信区间
2.2。模型的描述
让选择相同的独立(我)单位从人口生活测试下测试实验。整数需要对统计推断是一开始就决定的实验。当实验运行时,失败失败记录的时间和相应的原因,说 。在考虑的,只有两个原因的失败和观察到的样本= { , ,…, },联合似然函数是通过制定 在哪里 , , ,和
鉴于二型竞争风险的样本来自NRMW分布,说 NRMW , ,和观察到的变量= min ( , ), 1、2、… ,是独立的和分布式NRMW分布形状参数 和加速参数 。因此,从(8),减少了似然函数 两个整数的 和 现在的数量单位,失败在第一和第二原因,分别。
备注1。(1)潜伏性故障时间分布与NRMW分布 和形状和加速参数,分别(2)的值分布与二项分布样本大小和成功的可能性 但二项分布与样本大小和成功的可能性
3所示。最大似然估计
模型参数的极大似然估计这部分制定重点和区间估计给定观察ⅱ型竞争风险的审查示例如下。
3.1。点标定
的自然对数似然函数(10)是减少到
在对数似函数的偏导数对参数的向量和 ,我们有可能方程所定义下面的定理。
定理1。有条件的ML估计的参数和 ,鉴于 0和两个数字和 0,可以写的 在哪里
备注2。如果
,没有失败的原因
。然后,观察到的数据= {
,
,
,
}不提供参数的信息
。
此外,对数似函数对参数的偏导数
很明显(14),没有一个封闭形式的ML估计量
;然后,迭代方法可以解决这个问题如下。
定理2。的ML估计参数提出的非线性方程可以给出的 在哪里
备注3。非线性方程(16)可以解决任何迭代法如牛顿或定点,但需要找到的初始值可以从侧面似然函数获得了吗 然后,从定理(1)和(2),ML估计的参数向量 获得的是 。
3.2。区间估计
对数似然函数的二阶导数对 是由
在哪里
因此,从方程(19)(21),费舍尔信息矩阵(IM)的定义是-期望方程(19)- (21)是由
费舍尔的近似值信息矩阵被定义为
在限制毫升的属性是使用它的渐近分布 。然后,渐近正态分布的意思 和方差协方差矩阵描述的渐近分布 因此,与置信度区间估计是由 的向量 介绍了对角逆的和价值介绍了标准正态分布的百分位右尾概率 。
4所示。获得贝叶斯估计
贝叶斯估计取决于过去的信息的数量模型参数已知的先验分布。,存在的信息数据量是已知的似然函数。然后,我们的目标是制定这两个数据概率分布的形式,通过后验分布,如下所示。
假设的参数向量 与独立的伽马分布先验。因此,联合可以提供的先验分布
一般来说,可以制定后验分布
同时,通常两个积分的比例(26),特别是在高维情况下,无法得到分析。然后,不同的方法可用于近似这个比例近似林德利和数值积分等。但是,最适用的方法获得的模型方法是本文中讨论。因此,不失一般性的,函数的贝叶斯估计根据平方误差损失(SEL)是由函数
4.1。密度的方法
的后验分布(26)和先验分布(24)和似然函数(10)是减少到 在哪里是归一化常数。从后验分布full-conditional pdf文档的向量 , 是由
full-conditional pdf文件显示,一代从后验分布取决于两个条件伽马密度和更一般条件函数类似于正态分布。因此,吉布斯是一个更合适的算法下的MH算法构建实证后验分布(见[24),最近的MH算法根据吉布斯,看到25]和[26]。
4.2。吉布斯与MH算法
步骤1:设置指标 和 。步骤2:从(28)和(29日),生成和 。步骤3:与正常的建议分布的意思和方差()= ,产生的价值建议下正态分布与MH算法如下。(我)产生的提议, ,从 。(2)计算接受概率: (3)生成统一的(0,1)的价值 。(iv)如果 ,接受这个提议 。否则,拒绝这个提议,重复的值 。步骤4:报告 并设置 。第五步:步骤(2)(4)是重复的次了。第六步:点贝叶斯估计函数是由 和整数数量需要达到平稳分布(老化)。相应的后的方差是由 第七步:区间估计的信心水平的是由5。数据分析
在本节中,我们讨论了两个生命周期数据集;真实和模拟数据来说明发达的结果。
5.1。示例1:真实的数据集
在实验室实验与传统的实验室环境,Hoel [23测试一个雄性老鼠暴露在辐射剂量的300岁伦琴的5 - 6周。生命周期数据在两个失败的原因,胸腺淋巴瘤作为第一个原因和其他原因失败的第二个原因,被发表在表1。失败的原因获得了每个老鼠尸体解剖。限制两个死亡原因的分析,为目的的分析,我们认为胸腺淋巴瘤引起1和网状细胞肉瘤原因2。Hoel几个作者所使用的数据的不同组合(24- - - - - -26]。因此,在样本容量= 61和样本量ⅱ型竞争风险= 23日的数据除以100后为简单起见给出 {(0.40,2)(0.42,2)(0.51,2)(0.62,2)(1.59,1),(1.63,2)(1.79,2)(1.89,1),(1.91,1),(1.98。1),(2.00,1),(2.06,2)(2.07,1),(2.20,1),(2.22,2)(2.28,2)(2.35,1),(2.45,1),(2.49,2)(2.50,1),(2.52,2)(2.56,1),(2.61,1)}。
对于给定数据集,效率的理论结果NRMW分布来分析这些数据。在ⅱ型竞争风险的数据的概要对数似功能鉴于在图2是一个单峰函数,计算ML估计与迭代的初始猜测为1.0。前noninformative用于先验信息 , 。大中型企业和贝叶斯估计的结果被发表在表2点和95%的区间估计。获得方法的贝叶斯方法。我们运行陈(吉布斯MH算法)和第一个1000倍11000倍需要达到平稳分布brun-in作为被删除”。“密度下的经验后验分布的方法与数据描述3和4。后验分布的密度收敛是所描述的人物3和4。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
5.2。示例2:模拟数据集
算法用于生成和分析ⅱ型竞争风险样本NRMW分布是描述如下:(1)假设一个样本大小= 50和样本量 。(2)之前从伽马分布= ,生成一个样本的大小10。然后,真正的参数的值是计算样本均值 = 。(3)生成二型竞争风险的样本NRMW ( )形状和规模参数是 {0.0273,0.0349,0.0604,0.0779,0.0834,0.0902,0.1604,0.167,0.1674,0.1682,0.1892,0.2384,0.2431,0.2786,0.2786,0.2958,0.3827,0.452,0.5049,0.5735,0.5845,0.5996,0.6032,0.6201,0.6279,0.6376,0.6461,0.6529,0.6668,0.6726};和生成的二项分布 和 。(4)概要对数似函数的图形和经验获得后验分布在模型数据5- - - - - -7,分别。(5)毫升和贝叶斯估计的结果被发表在表3点和95%的区间估计。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
6。模拟研究
的质量模型和相应的开发结果本文通过蒙特卡洛模拟研究评估如下。在我们的研究中,我们测量每个样本大小的变化的影响影响样本规模和模型参数 。因此,不同组合的审查计划仿真表中报告。参数的值,使用两套= 。仿真研究是关于1000年开展模拟数据集。之前的参数选择满足的属性 。点估计,我们计算的意思是(我)和均方误差的平方根(MSE)。区间估计,计算平均时间间隔长度(MIL)和概率覆盖(PC)。我们运行陈(获得迭代)丢弃前1000 11000倍值作为brun-in(所需的迭代次数达到平稳分布)。仿真研究的结果被发表在表4- - - - - -7。
bathtub-shaped或增加故障率函数模型建模的不同生命周期数据。在本节中,我们采用了模拟研究减少修改的威布尔分布的形式。
7所示。结论
不同类型的审查计划,参见[27),ⅱ型审查方案介绍了审查的简单类型,保存故障所需的数量统计推断。同时,构造模拟研究检查开发了理论结果的正确性,看到28,29日]。“失效”的问题在不同的原因失败是常见的可靠性研究。自然,失败的原因可能是依赖但在我们的模型,我们提出,失败的原因是独立的。这个模型认为单元故障时间分布与NRMW分布与二型审查计划。在本节中,仿真结果报道一些点描述如下。(1)该模型下的二型审查方案竞争风险的模型是对所有审查方案的选择和参数的选择(2)下的贝叶斯估计noninformative之前更封闭的最大似然估计(3)信息先验服务比noninformative之前和最大似然估计(4)通过增加的价值影响样本大小 ,MSE和MIL减少的值。(5)数值结果更合适的比例 正在增加。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究的发现。
的利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突有关论文的出版。
确认
这项工作是支持的塔伊夫大学研究人员支持项目TURDP-2020/253数量,塔伊夫,沙特阿拉伯。