文摘
本文提出了一种自适应控制器。文中混沌系统与系统不确定性和未知的控制方向。在控制器设计中,使用矩阵分解理论,我们将控制增益矩阵分解成一个积极的矩阵,对角矩阵的对角元素是+ 1或−1,上三角矩阵和团结。(即处理未知的控制方向。,the unknown sign of the control gain matrix), we use the Nussbaum-type function. In addition, we propose an adaptation law named proportional integral (PI) law to update the parameters of the fuzzy system. The stability of the controlled system is proven strictly. Finally, simulation results are presented.
1。介绍
我们都知道,大多数系统是非线性和多变量在实际控制工程,特别是混沌系统。混沌是非线性动力系统的固有特性和非线性系统的一种普遍存在的现象,还有一些重要的特性,比如初始条件的敏感依赖性,内在随机性,和不规则的秩序。可能遇到混沌系统在许多领域,如数学、金融、和物理。根据动态系统的特点,通常有四类混沌系统:时间混沌系统,时空混沌系统,空间混沌系统和功能的混沌系统。所以,控制混乱的问题与多输入和multioutput (MIMO)已经收到了极大的兴趣。混沌系统的控制问题,提出了首先在1]。之后,越来越多的方法被研究和成功利用混沌系统的控制(2),包括滑模控制(3- - - - - -5),神经自适应控制(6),和模糊自适应控制7,8]。由于通用逼近定理9)模糊自适应控制器设计问题已引起越来越感兴趣。在过去的二十年里,模糊控制在控制工程领域有很大的影响由于其系统和高效的框架。
有两种不同的方式设计一个模糊自适应控制器:直接法和间接法。在直接法(10),理想的控制器由模糊系统逼近,和调整模糊系统的参数实现控制需求。而在另一种方法(11),实际系统的未知部分是估计的模糊系统,然后系统控制器的设计是基于这些估算值。通过使用一种间接方法,计算的问题控制增益矩阵的逆矩阵是奇异矩阵时是不可能的。为了避免这个问题,提出了一种算法(12),和建议的估计参数的模糊系统在一个紧集不存在奇点问题。然而,在(13),据说这种方法需要先验知识的获得这样一组参数和一般方法,另一种方法解决这个问题,提出了在14),它使用正规化估计矩阵的逆矩阵的模糊系统。
注意,上述文件需要一个基本的假设:控制增益矩阵的符号应该提前知道。然而,事实上,在非线性系统的大部分时间里,很难衡量他们控制在实际应用方向。因此,它是非常重要的来解决这个问题。为了控制混沌系统,以满足我们的目标,提出了一种函数(15]叫Nussbaum-type函数可以用来解决这个问题。此外,两个假设为促进闭环系统的稳定性分析和控制器设计:一个下三角非线性系统控制结构和控制增益是有界的。
出于上述的讨论,在这篇文章中,一个自适应模糊控制器实现对不确定混沌系统具有未知控制方向。给出了闭环系统的稳定性分析。最后,给出了一个数值仿真例子测试性能。本文的主要贡献如下。(1)动力矩阵分解定理的提出(16),控制增益矩阵分解为三个:对称正定矩阵,对角矩阵的对角线项+ 1或−1,上三角矩阵和团结。(2)Nussbaum-type函数(17)是用来估计真正的增益矩阵的迹象。(3)一个π适应法律提出了更新模糊参数。
这个工作是上市的结构如下。在第二节问题描述。在第三节介绍了模糊逻辑系统,给出一些基本的前题。在第四节,具体给出了控制器的设计过程,严格控制系统的稳定性证明。仿真结果中包括第五节。最后,第六节总结了这个工作,和未来的研究方向进行了讨论。
2。问题描述
一类非线性MIMO混沌系统被认为是如下: 在哪里 状态向量, 是输入向量,是一个未知的 - - - - - -维矩阵, ,和 未知的连续非线性函数。
让我们表示 是理想的轨迹,是一个已知的有界紧集,我们工作的目的是设计一个控制器的输出轨迹可以近似理想的轨迹具有一定的精度。此外,所有参与信号可以仍然有限。
备注1。在本文中,系统(1)是研究。然而,它应该强调系统(1)可以代表的大规模非线性系统(混沌系统)。另外,大多数混沌系统可以表达的(1)。也就是说,我们对大多数存在混沌系统控制方法是有效的。可以看到,在仿真部分,一个特殊的混沌系统给出了一个示例。
然后,可以定义为跟踪误差
让我们表示, ;然后,(2)可以写成 和可以写成
因此,我们可以利用(5)过程的模糊控制器设计问题,然后也可以进行稳定性分析。
3所示。模糊逻辑系统(FLS)的基本知识
一个完整FLS的包括四个部分:模糊推理引擎,fuzzifier,模糊规则,defuzzifier [18),其 - - - - - -th模糊规则是 :如果是而且, ,和是 ,然后 ,与 一些模糊集和代表单例。FLS的表达的 与的隶属函数 是一个可调变量,
4所示。设计一种模糊自适应控制器和稳定性分析
本文的主要工作开始之前,我们需要引入一些假设和advance.Proof的前题。可以看到这个引理的证明文献[19]。
引理1。根据科斯塔et al。19),它可以得出的结论是,任何真正的矩阵 其首要未成年人零可以分解为如下形式: 在哪里 是一个对称正定矩阵, 是一个对角矩阵的对角元素是−1 + 1,然后呢 是一个团结上三角矩阵。
假设1。(1) 是一个正定或负定矩阵,和的符号吗是未知的(2) 和 是连续的(3) , 和
备注2。(1)我们应该提到的迹象本文是未知的;这意味着有两种情况 :对角线元素是−1或+ 1。(2)为了获得我们的控制目标,努斯鲍姆函数用于控制器的设计,和一些重要的属性的函数如下:(一) (b) (3)有一些例子关于文学的努斯鲍姆函数: 在本文中,我们将使用函数 ,而且很容易知道 。
现在,我们将介绍另一个引理的努斯鲍姆函数将用于以下analysis.Proof稳定。这个引理的证明给出了通用电气和王静(20.]。
引理2。 和的谁定义的域 ,与 。让努斯鲍姆函数;然后, 与 , 一个合适的常数,在有界 。
因为矩阵是未知的,函数和的符号是不知道。我们需要使用fls的设计控制器。
备注3。我们都知道,有两种方法设计模糊自适应控制系统:直接法和间接法。最重要的两种方法之间的区别是控制对象:直接法是利用模糊系统估计理想的控制器,间接法是利用模糊系统来估计未知矩阵等系统的一部分 ,这个函数 ,和的符号 。在本文中,我们将利用间接法来设计模糊控制器,我们所需要的。
利用引理1,矩阵可以分解为 。替换成系统(5),我们可以得到 在哪里 和 。让我们表示 ;然后,(11)可以转化为以下形式:
备注4。通过检查的表达形式和 ,我们可以发现,向量的结构是一个上三角控制结构。向量的元素可以选择的
定义了紧凑的设置如下:
备注5。注意的是,和是矢量的函数和是有界的,我们可以知道吗 。
现在,我们将使用近似的模糊系统 。我们可以使用FLS的如下:
让我们表示的理想参数作为
我们应该注意到理想的参数只是介绍了进行分析,我们不需要知道他们的真正价值。
让我们定义 参数估计的误差;然后,我们有
据张(21],我们可以假设模糊系统不与通用近似原理在紧集 ,我们假设这个集合是足够大的。然后,模糊系统的输入向量可以仍在在闭环系统。总之,我们可以假设参数估计的误差是有界紧集 ,即。,for any , 与作为一个任意小正的常数。
然后,让我们表示
然后,我们有 与 。现在,为了满足我们的控制目的,控制器可以设计为以下形式: 与 和 ,和 。
更新参数 ,我们可以设计一个π适应法律: 与 和 constants.Proof。让我们表示
注6。注意,有一些相关的模糊控制方法,提出了最近,例如,在[22- - - - - -24]。然而,该方法不同于上述文学因为π的法律设计。我们应该提到在π法律(这两个术语之间的差别24),和 。这个词的目的是确保参数是有界的,另一个是一个比例,可以确保参数有一个快速的收敛。
定理1。考虑系统(5)。使用控制器(22)和PL法(24),可以保证以下属性:(1)所有信号都是有界的(2)跟踪误差渐近稳定
然后,我们考虑下面的李雅普诺夫函数:
首先,通过以上分析,我们可以得到的
乘上述方程的两边,我们有
然后,我们有
接下来,让我们分析作为
如果我们选择 ,然后我们可以得到
利用引理2、整合上述积分 ,我们有
根据引理2,我们可以知道 , ,和是有界的 。当 ,结论也是如此(证明中可以看到徐et al。25])。所以,是有界的。从(34),我们可以得出结论,是有界的,即 。在(27右边),所有信号有界,并注意功能和是连续函数,所以它可以很容易证明吗 。最后,我们可以得出结论, 作为 通过使用Barbalat引理(见Slotine et al。26])。
注7。还有另一个选择和控制器 。在姚明和锅(27),表1总结了这个选择,类似于证明定理的证明1。这意味着所有选择的表1 (27)可以保证参与这个闭环系统所有信号有界,和误差收敛到零。
注8。(1)消除抖振效应引起的健壮的术语控制器的,我们可以使用一些光滑函数来代替它,等或 。(2)因为的价值是未知的,参数的选择是很困难的。然而,我们可以使用一个适应法律 取代它, 。
总的来说,本文的框架如图1。
5。数值模拟
在本节中,我们设计的控制器的有效性本文。一个混乱的金融系统是用来模拟。
给出了MIMO混乱的金融系统 在哪里 ,和系统参数。让我们表示 和 ;然后,系统(35)可以表示如下: 在哪里
理想的轨迹是 , ,和 ,和初始条件 , , , ,和 。
在模拟的例子中,我们使用三个模糊系统。每个系统的输入系统的状态变量。对每个输入(即每个系统状态变量),我们定义四个模糊隶属度函数在区间[7]−7日。这个模拟的设计参数选择如下: , , , , , ,和 。
仿真结果如图2- - - - - -6。图2显示的轨迹 ,和跟踪误差 。一个可以看到性能很好。图3显示控制器 。在数据4- - - - - -6,结果的参数 , ,和 ,提出了分别。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
6。结论
在这项研究中,一种新的模糊自适应控制器的MIMO混沌系统提出了具有未知控制方向。一种叫做努斯鲍姆的功能函数被用于控制器的设计。我们还提出了一种PI法律更新模糊参数。最后,在仿真结果中,我们可以看到,所有参与这个封闭系统的信号都是有限的,和跟踪误差收敛到零 。
数据可用性
所有为本研究生成的数据集都包含在这个手稿。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。