文摘

在本文中,我们设计一种新颖的四阶导数免费root-finding算法。我们构建该算法通过应用有限差分格式在著名的奥斯托夫斯基的方法。收敛性分析表明,新设计的算法具有四阶收敛性。展示设计算法的适用性,我们认为5实际工程问题的形式非线性标量函数,然后通过计算机解决问题的工具。数值结果表明,该新算法优于其他同类算法在文献中四阶的性能、适用性、和效率。最后,我们目前的动态设计算法通过计算机工具通过检查某些复杂的多项式描述的收敛性和其他图形特征设计算法。

1。介绍

电脑的作用领域的现代应用数学是不可否认的。使用不同的计算机程序如数学、Matlab和枫树,大量的不同类型的复杂的问题很容易被解决。近年来,数学家使用电脑的过度使用在不同数学分支的特别是在确定先验和非线性代数方程的近似根已发挥了重要作用在不同的计算和应用数学分支。在许多工程学科,存在很多问题,可以很容易地转化为非线性形式采用不同的数学技巧。分析方法无法找到所需的解决这些问题,因此,我们需要迭代算法来解决这些问题。执行一个迭代算法,我们总是需要一个起点(初始猜测)精制每次迭代之后,我们发现近似根后所需的精度有限迭代。迭代算法的收敛速度和收敛秩序是起点的依赖的选择。一些最流行的和古老的迭代算法给出了(1- - - - - -8)和引用是引用。15th世纪,牛顿(1,2]介绍了quadratic-order root-finding算法已成功应用多年。时间,许多专家参与迭代算法和带几个牛顿算法和高阶收敛的修改版本,包括预测和校正步骤,通常被称为多步迭代算法。更多的信息,可以看到[9- - - - - -20.)和引用是引用。一般来说,多步算法的收敛阶更高因为预测和校正步骤,但它导致更高的计算成本,这些算法的缺点。真的很难处理的成本计算和算法的收敛速度,因为这两项是成反比的。

在过去的几年里,数学家们关注上述问题,尝试设计一些新的迭代算法收敛性和较高的低成本计算采用的几种数学方法。在[21),作者引入了一个新的两步哈雷与第六阶收敛的方法,然后更换了二阶导数为降低计算成本,提出了一种新的第五阶二阶导数算法。在[22],哈菲兹和Al-Goria建立了小说的家人最佳的八阶迭代算法,然后研究他们的动态。在[23),作者介绍了第七和第九订单小说迭代算法的帮助下预估技术和辛普森求积公式。采用牛顿插值技术与权重函数,Salimi et al。24)引入了一个新的家庭第八阶最优root-finding算法。在[25],作者构造的一些小说最优迭代算法收敛性和较高的证明提出的方法的适用性,解决一些工程问题。最近,楚et al。26)提出了一个新颖的家庭迭代计划和讨论提出的动态方法借助计算机工具。

在目前的研究文章中,我们介绍一个新的四阶和自由导数算法求解工程问题标量形式的非线性函数。建设这个算法是基于有限差分格式在奥斯托夫斯基的方法。我们还保证所设计的算法具有四阶收敛。然后设计算法应用于一些实际工程问题证明其在其他四阶算法更好的性能和适用性的文学。设计算法的动态对比与其他类似的已经给出了通过计算机程序Mathematica 12.0。

2。主要结果

考虑非线性的问题以下形式: 在哪里 是一个实值函数和一个开区间域。

假设 是一个根(1), 作为一个初始猜测接近准确的根 ,然后泰勒级数的含义 (1)给了我们

如果 是零,那么上述表达式意味着什么呢 这是牛顿root-finding算法(1,2为标量非线性函数。

通过预测,奥斯托夫斯基设计以下两步迭代算法: 这是著名的奥斯托夫斯基的root-finding算法(11为标量非线性函数。

通过牛顿算法,包括上面两步方法可能被转换成三步在以下形式: 这是一个三步迭代方案计算非线性标量方程的零。上述算法的主要缺点是其高每个迭代计算成本,因为它需要六个评估其执行。降低计算成本使其更有效,我们近似的一阶导数和微分免费的,所以它可以很容易地应用于非线性标量函数的一阶导数成为无限或不存在。近似 在预测步骤中,我们采用差分逼近

近似 ,我们利用有限差分格式

使用(6)和(7)(5),我们可以写算法1。

算法1。对于一个给定的 ,计算近似解 由以下迭代计划

算法1是一个新的迭代方案计算标量非线性方程的近似根,只需要四个评估每个迭代。提出算法的主要特征是,它是自由和轻松地适用于所有的标量函数导数的衍生品成为领域内定义。从这个意义上讲,该算法的计算成本很小导致更高的效率指数。

3所示。收敛性分析

在本节中,我们将讨论设计新算法的收敛性判据,即。,算法1所示。

表1
比较在不同的四阶算法。

定理1。假设 方程的根吗 。如果 足够光滑的社区 ,算法的收敛阶1是至少4。

证明。分析了迭代的收敛性判据方案(1),我们假设 是方程的根 和 是错误的 th迭代;然后, ,利用泰勒级数展开,我们有 在哪里 的帮助下方程(8)和(9),我们得到 使用方程(8)- (14算法1)给了我们以下平等: 这意味着 上述方程表明,四阶收敛的算法设计。

4所示。实际的应用程序

在本节中,我们需要五现实问题的标量形式的非线性函数来展览适用性、有效性和效率的新设计的四阶算法。我们比较它与其他著名的四阶算法,也就是说,奥斯托夫斯基的方法(OM) [11),特劳布的方法(TM) (12),Zhanlav方法(ZM评选)27]。

例1。液体渗透的问题:
液压渗透率是流阻的测量。它与流体速度和压力梯度可以表示为 在哪里 表示具体的液压磁导率, 代表半径, 孔隙度。更多细节,请参见[28)和参考引用。的值 和 在(14),我们获得上述问题在接下来的非线性函数: 来解决 最初的猜测已经被选为 在开始迭代过程,结果在表1。

表2
比较在不同的四阶算法。

例2。血液流变学模型。
血液流变学是科学的一个分支,研究生理和血液的流动特性(29日]。血实际上是一种非牛顿流体和视为沉箱流体。沉箱流体的模型表明,简单的流动液体在管,中心核心的液体将插头与小变形和速度梯度发生在墙附近。
研究沉箱的塞流液体流,我们考虑下面的函数形式的非线性方程 计算流量减少,在哪里 。使用 在(19),我们有 来解决 最初的猜测已经被选为 在开始迭代过程,结果在表2。

表3
比较在不同的四阶算法。

例3。Van Der墙的方程。
著名的方程研究介绍了真实和理想气体的行为由范德墙(30.,用以下表达式: 方程(21)可能很容易转化为下面的非线性函数的特定值的参数: 在哪里 气体体积,可以很容易由解决吗 。因为多项式的程度是三,它必须有三根。只有一个正实根1.9298462428在这些身体上可能由于气体体积不能为负数。来解决 最初的猜测已经被选为 在开始迭代过程,结果在表3。

表4
比较在不同的四阶算法。

例4。板辐射定律。
黑色的等温身体内的能量密度计算使用普朗克辐射定律(31日]给出如下: 假设我们要计算波长 的峰值能量密度 。变换(23以非线性形式),我们假设 并获得非线性表达式如下: 估计的根源之一 是 0.0000000000000000代表的最大辐射的波长。来解决 初始点选择 在开始迭代过程,结果在表4。

表5
比较不同的四阶算法。

例5。梁设计的问题。
在物理和工程科学,梁设计问题(32]关于埋置 板桩墙的标量表示为非线性函数的形式 来解决 最初的猜测已经被选为 在开始迭代过程,结果在表5。
在这里,我们选择的准确性 在以下计算机程序的停止准则: 我们使用计算机应用枫13来解决所有的数值问题。
表1- - - - - -5展览设计与奥斯托夫斯基四阶算法的数值比较的方法(OM),特劳布的方法(TM), Zhanlav的方法(ZM评选)。在上面的表的列, 代表的迭代的数量, 表示函数的积极价值 , 显示估计的根, 表示连续的绝对差估计 ,和 和 代表收敛给出的近似计算顺序 通过引入Weerakoon和费尔南多33]。

5。通过计算机技术的动力学分析

在本节中,我们给出一个详细的图形比较新设计的四阶算法通过计算机技术与其他四阶算法通过考虑一些复杂的多项式的形式polynomiographs。polynomiograph是一个图形对象生成的过程称为polynomiography,引进博士Bahman Kalantri 2005年(34]。它被定义为“多项式方程的算法可视化运用不同的迭代技术”(35]。

画动态使用各种迭代算法,通过使用计算机技术最初的矩形 其中包括调查复杂的多项式的根已被选择。然后,对于每一个点 在 ,我们执行迭代的过程。图像的质量通常是相关的离散化 ,即。,if the rectangle 已经被离散成 网格,然后产生图像的质量会更好。

通常,产生的颜色polynomiographs完全与所需的迭代次数找到近似根与给定精度和所选的迭代算法。生产的主要算法给出polynomiograph的算法1。

输入: 多项式, 动静分区,K-maximum不。的迭代, 迭代算法, 准确性,colormap 与C -colormap颜色
输出:polynomiograph复杂的多项式 在该地区
为 ,做
而 做
如果 ,然后
打破
颜色 通过colormap
算法1
Polynomiograph的一代。

总是需要一个迭代停止准则算法,包括重复的步骤,因为它告诉我们关于调查了迭代算法的收敛或发散。这种标准是通常被称为收敛测试以下数学表达式: 在哪里 和 表示连续的迭代和 > 0代表停止准则的准确性。收敛性测试 被认为是真正的迭代算法在考虑是否聚合和假如果是分化。上述停止准则(28)也用于这项研究。各种polynomiographs的颜色与执行迭代找出根与给定的精度 。迭代算法,使用各种不同的审美愉快polynomiographs可以通过改变参数K,在那里K指定的迭代次数的上限。为进一步的信息关于polynomiography以及在不同领域中的应用,可以看到[36- - - - - -44)和参考引用。

用于绘制polynomiographs通过不同的迭代算法,我们认为以下四个复杂的多项式:

colormap用于迭代的着色polynomiographs如图的一代1:


图1
colormap用于生成polynomiographs。

例6。Polynomiographs的多项式 通过不同的四阶算法。
在第一个示例中,我们考虑一个cubic-degree多项式 有三个不同的根源 ,和 。我们使用一个计算机程序运行的所有方法的简单考虑多项式的根 ,结果如图所示2。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图2
Polynomiographs相关复杂的多项式 。(一)奥斯托夫斯基的方法。特劳布(b)的方法。(c) Zhanlav的方法。1 (d)算法。

例7。Polynomiographs的多项式 通过不同的四阶算法。
在第二个例子中,我们把一个sextic-degree多项式 有三个独特的根源 ,和 与多样性两个。我们执行所有迭代算法的迭代过程polynomiographs,结果如图所示3。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图3
Polynomiographs相关复杂的多项式 。(一)奥斯托夫斯基的方法。特劳布(b)的方法。(c) Zhanlav的方法。1 (d)算法。

示例8。Polynomiographs的多项式 通过不同的四阶算法。
在第三个例子中,我们考虑一个quartic-degree多项式 有四个独特的根源 我们创建了图形对象通过执行所有迭代算法,结果如图所示4。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图4
Polynomiographs相关复杂的多项式 。(一)奥斯托夫斯基的方法。特劳布(b)的方法。(c) Zhanlav的方法。1 (d)算法。

示例9。Polynomiographs的多项式 通过不同的四阶算法。
在第四个例子我们取一个eighth-degree复杂的多项式 有四个独特的根 多重性的两个。我们使用一个计算机程序来运行所有的方法画polynomiographs,和结果的形式视觉吸引力的图片如图5。
在上面的例子中,我们比较发达算法各种四阶迭代算法使用一个计算机程序,考虑不同程度复杂的多项式。两个关键特性可以从产生的图形识别。第一个是迭代计划的收敛速度,和第二个功能是迭代计划的动态。低动态中看到的地方小色差,和高动态发现不同地区的很多颜色。黑颜色的图形表示领域的解决方案不能达到指定数量的迭代。上述图片中的暗区表明迭代算法在考虑需要更少的迭代寻找给定问题的解决方案。图形对象表示的颜色相同地区相同数量的迭代需要找到所需的解决方案与给定的精度。注意polynomiographs创建使用我们提出的迭代算法有相当光明和黑暗区域,没有黑色区域比其他类似的顺序算法在文献中。此外,提出了迭代算法的polynomiographs显示较大的收敛区域比其他类似的技术演示更好建议的算法的效率。
我们把数学与计算机程序的所有图形对象 通过使用参数的值 和 ,在哪里 和K显示的准确性和迭代次数的上限,分别。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图5
Polynomiographs相关复杂的多项式 。(一)奥斯托夫斯基的方法。特劳布(b)的方法。(c) Zhanlav的方法。1 (d)算法。

6。结论

采用有限差分格式在奥斯托夫斯基的方法,我们设计了一个新的自由导数算法计算近似零拥有四阶收敛的非线性标量方程。分析设计算法的适用性,我们把一些实际工程问题和解决他们通过电脑工具。表中给出的数值结果1- - - - - -5证明了更好的性能和适用性的算法与其他四阶算法而设计的。我们也提出的动态设计算法并给出一个详细的比较与其他类似的四阶算法在文献中通过计算机工具,揭示了设计算法的收敛性和其他图形特征。导数的新家庭免费root-finding算法可以由应用有限差分格式对现有文献中的方法。

数据可用性

支持本研究使用的数据都包含在这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样这项研究。