文摘

Decomposition-based演化多目标算法(MOEAs)将多目标问题划分为若干子问题通过使用一组预定义的均匀分布参考向量,可以达到良好的整体性能特别是保持种群的多样性。然而,他们遇到巨大困难不规则帕累托在解决问题方面(PFs)因为很多参考向量在搜索过程中不工作。应对这一问题,本文旨在改善现有decomposition-based算法称为参考vector-guided进化算法(RVEA)通过设计一个自适应参考向量调整策略。通过添加策略,将调整根据预定义的参考向量的分布有前途的解决方案具有良好的整体性能和PF所在的子空间可进一步划分为更多的搜索过程。此外,选择压力对RVEA带来的收敛性能主要从规范化目标向量的长度和指标是穷人在评估解决方案的收敛性能与目标大小的增加。的动机,一种改进angle-penalized距离(adp)方法开发更好的区分在每个子空间解决方案与良好的收敛性能。研究该算法的性能,广泛的实验进行比较与3 - 5最先进的decomposition-based算法,5 - 8 -,10-objective MaF1-MaF9。结果表明,该算法获得最佳的总体性能。

1。介绍

在现实世界中,决策者经常遇到的一些问题与多个目标同时得到解决。这些问题称为多目标优化问题(拖把),如果目标的数量大于3,他们被称为许多客观优化问题(两个)。一个拖把或MaOP可以制定如下: 在哪里 表示空间和决定是一个地图来 ,即。,from the decision space to the objective space.是问题的客观价值和数量的目标。主要的目标一个拖把或MaOP相互矛盾,因此很少存在一个解决方案,它可以超越其他所有的解决方案在每个目标。结果,一组解决方案代表之间的权衡所有的目标,被称为帕累托最优解决方案,可以实现和追求的研究。帕累托最优的解决方案被称为帕累托面前(PF)客观空间和帕累托集(PS)在决策空间,分别。

解决多目标问题(拖把)和许多客观问题(两个)出现在许多实际的行业,例如,数据挖掘(1复苏,航空公司机组人员名单2)、软件工程(3),多目标进化算法(MOEAs)和许多客观进化算法(MaOEAs)被视为主要的方法近似PF的拖把,因为它以人群为基础的自然。在过去的几十年里,大量的算法开发了如Nondominated排序遗传算法二世(NSGA-II) [4),基于分解的多目标进化算法(MOEA / D) [5],等等6]。根据自己的环境选择策略,现有的算法大致可以分为四类:(1)Pareto-dominance-based;(2)decomposition-based;(3)指标;和(4)其他人。Pareto-dominance-based算法(4,7,8)通常解决方案划分为不同的nondominated水平和使用第二个标准选择解决方案在过去的水平;decomposition-based MOEAs [9- - - - - -13)原拖把分解为多个子问题和合作的方式解决问题;等指标MOEAs MaOEAs, hypervolume-based许多客观(宣传)14)和指标与参考点适应多目标进化算法(AR-MOEA) [15),它倾向于发展一个指标来评估整体性能和个人根据他们的指示值。

在四个类别,的一个分支decomposition-based MOEAs和MaOEAs整个客观空间分为许多子空间的一组预定义的均匀分布参考向量或参考重量,如RVEA [16]和MOEA / D-M2M [17]。这个分支显示承诺性能保持种群的多样性。然而,仍然有一些缺点在这个分支的算法。首先,当拖把拥有不规则PF,例如,退化或断开,PF不是均匀分布在目标空间中,因此预定义的参考向量不能平分PF可能影响最终输出人口的质量。的PFs 3-objective DTLZ7 MaF6如图1的PF DTLZ7断开,MaF6退化。

此外,虽然上面的两个问题是不规则的PFs, 2或3的PF目标仍然可以分为一些满意度因为客观空间不大和预定义的参考向量仍然可以在该地区人口分布PF所在地。然而,随着目标的数量的增加,目标空间急剧膨胀和客观的参考向量空间分布很稀疏。因此,有时PF除以一些参考向量。直观地描述这一现象,一个例子的优化10-objective MaF1 RVEA如图2。

RVEA,参考向量称为主动当至少一个候选解决方案是与它相关联的。图2显示了活跃的比例参考向量在所有预定义的参考向量在搜索过程中,人口规模是设置为275。我们可以看到,只有不到预定义的参考向量是工作。

应对上述问题,一个新的decomposition-based进化算法。在新算法,称为一个新的定义开发评估候选解决方案在目标空间的位置(因此被称为AP-RVEA新算法)。然后,参考向量自适应调整根据候选人的分布解决方案的基础上角位置的定义。不活跃的参考向量将被删除和一些候选解决方案将被构造成新的参考向量根据他们的位置相对于目标的积极的参考向量空间。通过这种方式,真正的PF所在的子空间将被进一步划分。

此外,adp的度量值(选择指标用于RVEA)负责评估解决方案的收敛性是规范化的目标向量的长度。这个指标不构成足够的选择压力的收敛性能与目标大小的增加。为了解决上述问题,提出一种改进的美国价值AP-RVEA保持有前途的解决方案问题与许多目标。

本文的主要贡献可以概括如下:(1)一种新颖的自适应参考向量调整策略基于候选解决方案在目标空间的位置相对于当前活动提出了参考向量。策略,将调整根据预定义的参考向量的分布有前途的解决方案,它可以被视为一个近似的真正PF。在每一代的战略,真正的PF所在的子空间可以进一步分为更多的子空间,贡献更多的最终结果。(2)应对穷人选择压力而言美国收敛性能所带来的价值,一种改进的adp方法旨在更好的评估价值在每个子空间的收敛性能的解决方案。

本文的其余部分组织如下。部分2提供了参考向量调整的策略的调查。部分3介绍一些基本的定义提出了AP-RVEA。节4,AP-RVEA提议的细节描述。部分5介绍了AP-RVEA的实验结果和其他5算法加(18测试套件。最后,结论和未来的工作都包含在部分6。

2。相关的研究

参考基于矢量MOEAs或MaOEAs有效保持种群多样性在处理拖把或两个19,20.]。然而,由于PF事先是未知的形状对于大多数两个,使用预定义的参考向量获得一组均匀分布解决方案可能不是可行的特别是当有一个不规则的PF的问题。因此,一些关于参考向量的调整的研究近年来已经开发出来。

江et al。21提出了一种非对称Pareto-adaptive ( )方案MOEA / D (5对称和非对称)处理问题帕累托方面。的计划问题的PF满意时有用 ,在哪里是一个参数估计PF的形状和数量的目标。在EMOSA [22),一组均匀分布的权重向量(参考向量)和一组预定义的候选人怀特向量在优化过程中,维护在哪里表示一个正整数 。一个解决方案(与 ),最亲密的nondominated邻居(与 )是标记。新权向量选择从和当且仅当被替换(1) )和(2) 。

在(16),为每个活动子空间(空的子空间),相应的参考向量将被删除,取而代之的是一个单位向量的范围内随机生成的最小和最大的价值。王等人。23)提出了一个算法称为PICEA-w权重在哪里和候选解决方案在优化过程密切相关。因此,合适的权重可以自适应地构造和指导候选人解决方案,真正的帕累托有效(PF)前面。

在Qi et al。24),一种改进MOEA / D与权向量的自适应调整提出了不规则PFs来处理问题。在搜索过程中,权重是周期性调整后重新分配子问题的权重,从而获得更好的均匀性的解决方案。在江25),新参考向量选择组合的亲本种群和根据他们的后代距离当前参考向量。在算法的第一步,所有极端的解决方案将被选择为空的参考向量组。

梁等。26)开发的两个参考向量适应策略称为扩展的参考向量(SRV)和转换的解决方案位置台盟)许多客观的进化算法。SRV介绍中心向量和周围的其他参考向量调整缩放功能;台盟有前途的解决方案在当前一代变成一组新的参考向量。Cai et al。27)也提出了一个decomposition-based MaOEA与两种类型的调整方向向量Pareto-dominance-based机制被用来评估的有效性每个方向向量和无效的方向向量进行调整,以更好地适应真正的PF的形状。

Asafuddoula et al。28)提出了一个提高decomposition-based进化算法与自适应参考向量称为G-DBEA。在G-DBEA,两种类型的参考向量称为活跃的和不活跃的参考向量被维护。在搜索过程中,如果一个孩子喜欢一个不活动的参考向量,这个向量将从组中删除不活动的参考向量和相应的参考矢量的后代将从积极的参考向量的集合中删除。与此同时,如果一个参考向量与任何无关nondominated解决方案在一定时期内,它将被删除从积极的参考向量的集合和垂直距离最小的解决方案参考向量将构造成一个新的参考向量。

赵et al。29日]提出了一种修改decomposition-based许多客观蚁群优化(ACO)算法和采用一种自适应参考点机制,选择理想的点或最低点作为参考点根据候选人的分布解决方案。周et al。30.)开发了一个新的entropy-based进化算法与自适应参考点叫EARPEA熵计算基于参考点和一个学习周期是用来控制适应的参考点。王等人。31日)给一个新的个性化MOEAs称为MOEA / D-AWV权重向量的自适应生成决策者的偏好,最后指导解决收敛于一个首选的分布。

在Deb et al。32),参考点,没有相关的解决方案是直接删除和单纯形的参考点在剩余的参考点是补充道。在程等。33),一个解决方案,从积极参考最相似向量被发现和归一化,然后一个不活动的参考向量将随机删除,取而代之的是归一化的解决方案。刘等人。34)使用神经天然气网络学习参考矢量的分布,从而实现自动稳定的适应。

提出AP-RVEA,经过一段时间的的参考向量将删除。此外,新定义的工作与前途的性能评估解决方案的位置参考向量。然后,将选择新的参考向量的基础上给出的信息 。AP-RVEA的核心思想是自适应调整的参考向量进一步分割子空间的真正的PF可能所在。此外,美国的一个改良版本方法称为F-APD开发基于分数优势关系区分的收敛性能的解决方案。他们相互合作来实现承诺收敛性和多样性以及它们之间良好的平衡。

3所示。背景

3.1。目标空间分解策略

在本节中,一个客观的空间分解策略显示目标空间划分为一系列的子空间(17]。每个子空间拥有一组解决方案,可以视为一个次要问题。换句话说,一个人口分为一组亚种群保持多样性为整个人口。在每一代中,所有的亚种群进行了优化。

定义1(子空间)。起初,均匀分布的单位向量: ,预定义的目标空间划分为子空间 。然后,每个解决方案将与子空间根据他们的解决方案和单位向量之间的锐角。 ,在哪里 表示之间的锐角和 。根据子空间的定义,一个向量属于 ,当且仅当有最小的角相对于其他单位向量。每个解决方案是与一个单位向量优化过程中在一个子空间。相应的参考向量的解决方案的锐角来急性角吗来 。

定义2(邻域子空间)。让是邻里空间的大小。的子空间 ,它的邻域子空间被定义为 ,在哪里 , 。换句话说,邻域子空间的子空间子空间的单位向量的联盟是第一吗最小的锐角,在所有的单位向量。

3.2。RVEA

在上述的基础上客观空间分解策略,RVEA [16]的目标是保持一个良好的收敛性和多样性之间的平衡。采用解决方案和参考向量之间的锐角和目标向量的长度来评估解决方案的总体性能通过使用下列公式称为angle-penalized距离(adp): 在哪里和分别测量多样性性能和收敛性能,之间的锐角th目标向量和 ,和是罚函数相关 : 在哪里人口规模和表示是客观的数字。最小夹角吗和其他参考向量。的价值控制速度的变化和一个更大的意味着更多的强调将分配给收敛性能多样性相比的性能。

RVEA环境选择,选择一个解决方案从每个子空间,并在所有的解决方案在一个子空间,美国最低的解决方案被分配方法将被选中。

3.3。角位置的定义

在本文中,我们试图进一步分裂活动子空间算法与客观空间的优化分解过程中策略。因此,有必要知道的准确位置向量解决活动参考。为此,提出了角位置的定义。

定义3(社区参考向量)。首先,社区解决方案的参考向量的定义是定义。让 ,目标数量,邻里参考矢量的大小。针对一个解决方案 ,其附近的参考向量定义为 在每个 和每个 , 。换句话说,邻里的参考向量是参考向量与第一最小的锐角,在所有的参考向量。

定义4(角位置)。角位置的定义是为了确定一个解决方案的空间位置相对于参考向量。一个解决方案 , 其附近的参考向量的集合。如果 ,的角位置被定义为 。一般来说,解决方案的角度位置与biobjectives之差的绝对值解决方案及其两个邻居参考向量。如果 ,这意味着向量解决方案是在中间的两个邻居参考向量和两个街区之间的空间参考向量可以均匀的向量除以 。如果 , ,方差之间的角度及其附近的参考向量。同样,矢量角位置的解决方案与一个较小的值能够分裂社区解决方案的参考向量之间的空间更均匀。
社区的定义参考向量设计解决方案,同时为一个子空间邻域子空间的定义是。直观地描述两个定义和它们之间的区别,一个简单的例子。我们可以看到在图3, , , , ,和5参考向量;和2解决方案。 , , ,和解决方案和参考向量之间的角度。很明显,小于和小于 ;作为一个结果,与和与 。邻里空间的子空间相应的子空间吗和 。附近的参考向量是和 。角位置的价值是和是 。很明显, 和之间的空间和可以更均匀除以吗当它与之间的空间x和除以 。

4所示。拟议中的AP-RVEA

在本节中,提出的细节AP-RVEA将得到。AP-RVEA的总体框架是在第一,紧随其后的是它的主要组件。

4.1。AP-RVEA的主要框架

显示了AP-RVEA提出算法的伪代码1。所示的算法14行首先初始化参数1 - 4:(1)一组均匀分布参考向量 ;(2)人口个人;(3)功能评估的数量: ;和(4)存档精英个体将存储,在每一代将被更新。然后,主循环AP-RVEA在5 - 12行。在第6 - 7行,产生的后代人口和菲斯将被更新。是组合的亲本种群和后代人口。在9至10行,优化过程的一半过去,参考向量将通过函数自适应地调整 。调整参考向量和精英个人的档案将被用来从结合人口选择有前途的人 。在第12行,新精英的存档解决方案将根据当前存档和生成新的亲本种群 。环境选择策略和参考向量调整策略是本文的两个主要贡献,下一节将详细介绍。

4.2。参考向量调整

函数的伪代码中描述的算法2。在这个函数中,不活跃的参考向量(没有解决存在于其相应的子空间)将被删除,将产生新的有前途的参考向量 ,精英的组合解决方案。这个函数的输入电流参考向量 ,精英个体的集合 ,并结合人口 。这个函数的输出是指更新的参考向量 。

首先,个人在规范化是根据以下方程: 在哪里 和 和 ,和 ,最小值和最大的价值是什么th目标之一 ,分别。规范化范围从0到1。之后,新的参考向量构造 通过这一转变, 。

然后,每个人将相关单位参考向量 ,即。,each will lie in a subspace. In lines 6-7, the neighborhood reference vectors of each individual in获得和存储在吗 。在8 - 10行,不活跃的参考向量将被删除从当前参考向量。行描述的添加新的参考向量是17岁。自从新参考向量选择和参考向量的最大数量 ,一次是0或大于 ,这个过程将会停止。在第12行,美联社(角位置)中每个个体的价值初始化。在13 - 14日,美联社所有个人的价值观将计算和存储。那些个人,个人用最小的AP值将被选择作为一个新的参考向量。接下来,个人,同一个小区参考向量将被删除 。也就是说,通过每次迭代,一个新的参考向量将选择和一些人将被删除 ,一旦有参考向量或是一个空集,这个过程将会停止。应该注意的是,删除一些人是一种惩罚机制。来直观地显示这个函数的详细机制,绘制一个简单的例子。

我们可以看到在图4(一), , , , ,和表示预定义的单位参考向量, , , , , ,和代表6的解决方案。箭头在图4(一)点的解决方案相关的参考向量,例如,与和与 。起初,美联社值计算六的解决方案和解决方案最少的AP值将被选为第一个新的参考向量。在图4(b)的解决方案被选为第一个新的参考向量和没有解决方案与同一个小区参考向量需要删除(第17行算法2)。然后,在图4(c)的解决方案选择第二个新的参考向量。在图4(d)的解决方案和解决方案同一个小区的参考向量(和 ),解决方案从候选解集。在图中移除吗4(e)的解决方案和以同样的方式选择或删除。图4(f)显示最终结果的参考向量被修改后的参考向量调整策略。很明显,活动子空间向量进一步除以新的参考,可能造成更多人口的多样性表现在以下环境选择方法。除此之外,一个解决方案,它在目标空间位置与其相应的参考向量问题是否能被构造成一个新的参考向量。

4.3。环境的选择

RVEA的环境选择策略有两个明显的弱点。(1)在 , 区分工作的收敛性能的解决方案。然而,当目标数量的增加,目标向量的长度差对候选人的人口构成足够的选择压力和选择解决方案与前途的收敛性能。(2)计算每个解决方案的adp方法之后,RVEA从每个子空间选择一个解决方案为新的人口保持良好的多样性,而很难保证每个参考向量可以关联到一个或多个解决方案,尤其是在增加数量的目标。应对上述两个问题,提出AP-RVEA提供了两个方法。

我们选择构建一个新的参数来取代收敛性能的评估 。我们可以看到在算法3,所有的解决方案是第一个规范化线1 - 4。然后,每个解决方案与线5 - 7的子空间。解决方案的方法子空间。灵感来自部分优势关系(35),如果在于 ,新构造参数如下: 在哪里意味着th解决方案和意味着th的目的 。 表示的目标数量的总和超过每个解决方案在于相同的子空间 。 是一个规范化的价值和范围从0到1。对两种解决方案和在相同的子空间,如果 , 超过的收敛性能。值得注意的是,计算在不同的子空间是相互独立的,因此提供了一个好办法保证解决方案具有良好的收敛性能在每个子空间可以发现和选择。改进的adp一样可以作为计算 ,在哪里 ,的长度归一化解决方案,取而代之的是前面提到的新参数。与美国改善方法,缺乏美国原始的方法,它在带来足够的选择压力差可以填满。

的定义更清晰,显示了一个例子,让读者容易理解 。 , , , ,和有5个目标向量。 , ,和躺在第一子空间和是在第二子空间。超过 , , ,和在3、4、2和6个目标,分别。然后,价值是7,客观的总和超过和 。的目标的数量超过和不是用于计算因为和躺在不同的子空间 。可以使用相同的方式计算 , , ,和 。

改进后美国人口的方法在第8行计算算法3,该方法为解决上面提到的第二个问题是在第四行描述。循环将继续到人口规模增加 :在第12行,一个解决方案将改善adp最少的方法将被选中在每个子空间和这些解决方案将被删除在13号线;然后,如果大小的还不到 ,剩余的解决方案将被选择到相同的方式选择的解决方案 。

4.4。档案更新

函数的伪代码算法所示4。这个函数的输入电流 ,人口规模 ,和新亲本种群 。在第1行,主导解决方案将会被过滤掉,剩下的解决方案将存储在吗 。如果 大于 ,在当前的一些解决方案将被删除之前的大小的组合吗和等于人口规模,预定义的归档文件的大小。如果组合的大小和当前小于 ,所有的解决方案将吸收 。更新后的标准是在当代nondominated解决方案优于nondominated解决方案在过去的一代,所以上一代的nondominated过剩的解决方案将被随机移除。在每一代中,将被更新。

5。实验研究和讨论

测试的性能提出AP-RVEA,我们比较它与5最先进的算法:A-NSGA-III [32],MOEA / D [5),(16],MaOEA-IT [36),和MOEA /桑(37]。拟议中的AP-RVEA和比较算法都是在MATLAB和嵌入式编码PlatEMO [38),这是免费的。所有的实验都是在MATLAB R2018a运行。

5.1。实验设置

5.1.1。基准问题

六个算法的性能比较的上下文中MaF1 MaF9取自于测试套件(18),3、5、8、10的目标。这些9基准包含各种属性,例如,断开连接,多通道,不规则的PF,虚伪,等等。在本节中,基准与特定数量的目标被称为一个测试实例。

5.1.2中。绩效指标

超体积(39)(高压)和反向代距离(40)选择评估最终的人口输出六个算法。(1)高压的体积空间组成的一个参考点和一组解决方案的性能,被广泛用于反映人口方面的收敛性和多样性。人口与一个更大的高压值往往拥有更好的整体性能。本文参考点用来计算人口的高压值嵌入PlatEMO每个测试实例。除此之外,在这篇文章中,所有的高压值归一化 。(2)IGD评估人口的总体性能计算人口和真正的帕累托之间的距离。过程中,真正的帕累托是由一组解决方案躺在面前,在PlatEMO数量设置为10000。IGD可以计算如下: 在哪里是一组参考点和表示人口的目标向量。 代表点的最小欧氏距离所有的点 。

5.1.3。终止条件

最大数量的函数评估(mf)采用六个算法的终止条件。MaF1-MaF9的3、5、8、10个目标,mf设置为100000。

5.1.4。人口规模

MOEA / D (5)和其他decomposition-based算法,人口规模在很大程度上是由参考点的总数 - - - - - -客观的问题。的问题 ,一个两层向量生成策略可以用来生成参考向量(或重量)不仅在外部边界,而且在帕累托的内部层方面(7]。因此,人口规模的六算法MaF1-MaF9设置根据目标的数量,也就是说,100年,212年,156年和275年3、5、8和10个目标,分别。

5.2。环境的结果和分析

所有的测试实例运行30倍,和Wilcoxon rank-sum测试 应用于测试高压之间的显著差异指标的人口输出六个算法。高压值的平均值和标准偏差和IGD值如表所示1和2,分别。这些符号 , ,和在两个表意味着相应的高压值或IGD值比,比,等于AP-RVEA。在表的底部1和2,测试实例的数量,每个比较算法的行为比,比,等于AP-RVEA统计。

我们可以看到在桌子上1比较算法,提出AP-RVEA超过所有的36个测试实例,17日的数字A-NSGA-III, MOEA / D, ,MaOEA-IT, MOEA /桑的5、3、7 0,4。此外,AP-RVEA优于五个比较算法23日,23日,20岁,36岁,高压方面的指标和23个测试实例,分别。总之,该AP-RVEA显示了六种算法中最佳的总体性能。对测量结果IGD指标表所示2,虽然具体的统计数据是不同于表1也是显而易见的,提出AP-RVEA显示有前途的整体性能。详细,AP-RVEA执行比A-NSGA-III MOEA / D, ,MaOEA-IT和MOEA /桑23日,22日,21日,32岁的分别和27个测试实例。

表之间存在差异的原因1和2可能在于两个指标的计算。高压的总体性能指标评估人口根据空间的体积决定由一个预定义的参考点和nondominated人口的解决方案。因此,高压值收敛的影响人口在每个每个解决方案的目标。一般来说,它是一个具体的值而不是一个相对价值,而IGD指标评估人口的总体性能计算人口和真正的帕累托之间的距离。在这个过程中,一组均匀分布参考点是用来作为一个近似的真正的PF IGD结果的计算。当目标的数量很小,可以看作是一个很好的参考点近似真实的PF对均匀性和密度;然而,当目标数量的增加,目标空间生长迅速,参考点的数目(PlatEMO,号码是10000)并不足以代表整个PF的问题。因此,在计算过程中可能出现的一些错误IGD值。例如,如果一些解决方案在人群中发生说谎非常接近参考点,然后他们的贡献人口IGD价值也将大于一些解决方案具有良好的收敛,但远离参考点。毕竟,两个的目标空间非常大。 It is difficult or even impossible to guarantee that 10,000 reference points can be densely and evenly distributed on the entire PF to fairly evaluate the overall performance of a population by calculating the distances between it and the reference points. Furthermore, how many points can be said to be densely distributed on the real PF of a many-objective problem is still a problem.

考虑到上述问题,IGD和高压指标可能显示矛盾在一些测试实例。然而,总体结果显示两个指标是一致的,也就是说,提出AP-RVEA获得最具竞争力的性能。

性能优越的AP-RVEA可以归因于以下事实。首先,根据获得的参考向量自适应地调整解决方案与承诺的性能,即的近似PF MaOP,因此可以实现声音获得人口的多样性。此外,参考向量调整后,在每个子空间的收敛性能的解决方案可以更准确地评估一种改进的美国adp方法与原方法。一般来说,参考向量调整策略和改进的adp方法一起工作来得到整个AP-RVEA的性能。

为了直观地显示六个算法之间的比较,其产出数量最大的高压值在30分10-objective MaF1和8-objective MaF5绘制在平行坐标。图5给出了比较结果10-objective MaF1,图6显示的结果8-objective MaF5。

MaF1是一个线性问题没有一个最优解所在的目标在任何子集(18]。对于10-objective MaF1,每个目标范围的价值 。我们可以看到在图5(c),我们可以发现,只有几个解决方案输出 。A-NSGA-III和MOEA /桑,他们不能收敛于真实的PF在一些目标。在人口输出MaOEA-IT MOEA / D,很明显,不会落入一些目标的解决方案 。拟议中的AP-RVEA收益良好的收敛性和多样性之间的平衡根据图的人口。总之,AP-RVEA拥有最好的整体性能10-objective MaF1。

输出数量六算法获得的8-objective MaF5绘制在图6。MaF5凹和偏见问题,严重了PF。每个目标函数MaF5大幅扩展到不同的范围18]。在数据6(一),6(e)6(f)、A-NSGA-III MOEA /桑,和AP-RVEA获得很好的近似的真正PF 8-objective MaF5,不收敛的第三目标。对于MaOEA-IT,我们可以看到,其输出人口的范围而不是 。此外,人口得到MOEA / D似乎有不好的多样性以及收敛凌乱的线路图6。结果在表1证明该AP-RVEA显示了最有前途的整体性能。

6。结论和未来的工作

在本文中,一种新颖的自适应参考向量调整开发策略调整预定义的参考向量根据电流的分布有前途的解决方案。然后,美国一个改进的方法是显示带来更多选择压力的收敛性能的候选人。上述两种方法的基础上,提出一种改进的版本RVEA称为AP-RVEA有效地保持良好的人口多样性和收敛到真实PF。该AP-RVEA与五个最先进的decomposition-based算法相比在36个测试实例来自于测试套件。高压的结果和IGD结果给出结论,AP-RVEA达到六算法中最具竞争力的表现。

在未来,我们希望AP-RVEA可以用来解决一些现实问题与不规则的问题而不是有限的测试问题。除此之外,它也可能是有意义的扩展AP-RVEA解决一些不规则的PFs约束问题(41]。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。