文摘

在本文中,一个3 d混蛋与隐藏的混沌系统吸引子是探索,和耗散度,研究了该系统的平衡和稳定。吸引子类型、李雅普诺夫指数和庞加莱截面不同参数下的系统进行了分析。此外,进行了电路,和良好的相似性之间的电路实验结果和理论分析证明了原系统的可行性和实用性。此外,设计鲁棒反馈控制器基于限定时间稳定理论,保证3 d混蛋主从同步系统在有限时间和渐近收敛于原点。最后,我们的讨论也给验证本文数值模拟。

1。介绍

正如Passival博士说,“混沌科学就像一条河,由许多支流,它来自所有科学”(1]。1963年,洛伦兹第一次构建了一个三维二次多项式常微分方程系统,他发现第一个混沌吸引子在这个系统2]。1971年,窄小的街道和塔肯斯第一次使用动态系统的混沌理论和解释湍流的本质,发现“奇怪”的存在3]。在接下来的几十年里,许多混沌吸引子被发现,如逻辑映射(4),Rossler吸引子(5),陈的吸引子(6陆,吸引子(7]。多年来,混沌和超混沌系统与自激流动调查的焦点(8),这些系统不稳定平衡的边界盆地的吸引力。2011年,列昂诺夫指出,有隐藏的流动除了自励的吸引动力系统(9]。隐藏的吸引子的吸引盆不能相交附近的平衡,这是一个非常重要的特性的混沌系统隐藏的吸引子。Shilnikov条件不能验证混沌系统的混沌特征隐藏流动因为没有同源或杂合的轨道。Sprott给一些简单的混沌系统没有通过计算机数值搜索(或一个平衡10- - - - - -13]。然后,研究人员提出了混沌系统隐藏流动只有一个稳定平衡(14- - - - - -18),不平衡(19- - - - - -21],任意数量平衡[22,23),和一条线平衡24,25]。如今,混沌系统在非线性电路中隐藏的流动起着重要的作用[26),Van der Pol-Duffing振荡器(27)、多级直流/直流转换器(28),与磁滞和中继系统29日]。在这些动力系统,隐藏的振荡的存在会导致不稳定的现象在生活和工业生产。因此,它具有重要意义理解本地和全局混沌系统的动态行为与隐藏的吸引子。

一般来说,隐藏的外观吸引子不希望当一个系统运作正常。如果它发生,这将导致突然和巨大的混沌振荡的扰动,系统可能会崩溃隐藏的吸引子。实际上,像一枚硬币的两面,领域的潜在应用价值chaos-based安全通信(30.)、图像加密(31日),健壮的嵌入式生物认证系统基于混沌(32],等等33,34]。现在建立了从各种各样的混蛋振荡器的研究可以显示混乱(35]。Kengne研究限定时间同步的混蛋振荡器通过理论和实验(36]。Louodop设计研究了约瑟夫森结的非线性混沌混蛋振荡器(37]。Kingni研究自治约瑟夫森混蛋振荡器的动力学行为的两个或两个不平衡分及其应用文本加密(38]。帕纳西的集体行为研究混乱的记忆性混蛋振荡器在动态网络(39]。然而,在这些研究中,反射系统的动态行为和相关的工程应用进行了研究,但控制方法与隐藏的混蛋混沌系统吸引子不参与。至于混沌控制,健壮的方法一直是研究的重点。为了提高混沌同步的鲁棒性,提出楞次洛伦兹系统的鲁棒控制方法40],Mobayen还提出了一些鲁棒控制技术(41,42]。沈提出鲁棒同步和参数识别与有界不确定混沌系统未知参数(43]。霁提出了一种鲁棒自适应逐步退焊法估计不确定性混沌系统同步方法,通过一个模糊参数不确定性和外部扰动扰动观测器(44]。尽管大多数的研究得到的渐近线的稳定同步错误,这些研究不能在有限时间同步或保证系统的鲁棒性。因此,它是重要的来设计一个健壮的限定时间反馈控制器和参数不确定性的主从同步混沌系统的3 d混蛋隐藏的吸引子,这有助于解决突如其来的混沌振荡引起的隐藏的问题,从而提供一个好的参考和灵感解决类似工程振动问题。在这篇文章中,我们进一步设计了鲁棒控制器和相应的混沌电路的3 d混蛋系统隐藏的流动(45]: 与 ,和 实数, 。本文的组织结构如下:在部分2,3 d的混沌动力学行为混蛋系统(1)分析了数值模拟,如平衡稳定,时间序列,分岔,庞加莱映射、李雅普诺夫指数谱(LES),最大李雅普诺夫指数(米歇尔),周期轨道,和混沌行为。在第三节限定时间,讨论了具有不确定参数的混沌系统的同步问题,并限定时间鲁棒反馈控制混沌系统相结合,实现限定时间的稳定性定理。在第四节,隐藏的3 d混蛋系统吸引子电路实现,和鲁棒反馈控制器的可靠性是由数值模拟验证。最后,第五节给出了一个决定性的评论。

2。动力学行为

2.1。耗散度

我们可以使用耗散度公式:

所以 ; 这是移动的体积空间相空间运动。它可以很容易地验证 ,因此,如果 ,它的体积元素 ,体积收缩 在时间t,每卷包含系统轨道降为零 以指数的速度 。因此,系统(1)下的耗散 ,及其极限收敛和仅限于以指数的形式 ,这是一个混沌系统的吸引子。

2.2。平衡与稳定

让 ,和 ,此时,3 d混蛋系统(1)只有一个平衡 。其雅可比矩阵

特征多项式方程 ,根据Routh-Hurwitz判据:当 , ,和 ,有三根负实际部分,和3 d混蛋系统(1)有一个稳定的节点或node-foci稳定。当 , ,和 ,3 d混蛋系统(1)只有一个动态性质。

2.3。系统的相轨迹和时间序列

阶段轨道系统的不同参数可以直接反映其运动状态和行为。当3 d反射系统的参数(1)被设置为 , ,和 和初始状态 ,3 d混蛋系统(1处于混乱的状态。三维相空间吸引子图和三维反射系统的吸引子的投影(1三坐标平面如图)1。

(一)
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(c)
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(d)
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图1
混沌吸引子的3 d混蛋系统(1)和投影 飞机, 飞机, 飞机。(一)x 1−x 2−x 3。(b) 。(c) 。(d) 。

如图1,无法找到吸引子的平衡。因此,3 d反射系统的吸引子(1)是隐藏的吸引子。的时间序列图 , ,和 可以通过集成的3 d混蛋系统(1),如图2。

(一)
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(c)
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图2
时间序列的3 d混蛋系统(1) , ,和 飞机。

图2描述的非周期特征系统,振荡曲线不同于完全随机噪声;每个变量提出了非周期变化连续有界区间。

2.4。参数对系统的影响

系统的非线性行为主要是受系统参数的影响。为了更好地研究这个复杂的3 d反射系统的动态行为(1),使用数值方法分析不同参数下系统的动态行为,如表所示1。

表1
不同阶段的画像系统(1)对于一些固定参数(pv参数值、PPs阶段肖像和Ps庞加莱截面)。
(一)
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(b)
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(c)
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图3
周期1 2或4 3 d轨道混蛋系统(1)和投影 飞机, 飞机, 飞机。(一)一个= 3:31日b= 1,c= 4。(b)一个= 3:34岁b= 1,c= 4。(c)一个= 3:36,b= 1,c= 4。
(一)
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(b)
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(d)
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图4
周期1,2,4和3 d混蛋系统混乱的庞加莱截面(1)与不同 。(一)一个= 3:31日b= 1,c= 4。(b)一个= 3:34岁b= 1,c= 4。(c)一个= 3:36,b= 1,c= 4。(d)一个= 3:40岁b= 1,c= 4。
2.4.1。相空间轨道

的参数是固定的 和 。当参数 选为3.31、3.34和3.36,分别对吸引子相图与周期1,周期2,周期4,如图3。

2.4.2。庞加莱截面

一架飞机是多维相空间,切断和一对共轭变量 和 是固定值在本节中,庞加莱截面。就像2.4.1节参数是固定的 和 。当参数一个选为3.31,3.34,3.36和3.40,分别庞加莱截面图的周期1,周期2,周期4期和混乱,如图4。

从图4当参数 选为3.31、3.34和3.36,庞加莱截面只有一个动点或几个离散点,表明系统的行为是周期性的,但是,当参数选为 ,庞加莱截面是一个不断密集的点,它有分形结构的特点,这表明混乱的行为就会发生。

2.4.3。李雅普诺夫指数

混沌系统的初值敏感性意味着当给定一个非常接近初始值,相空间将与一个指数发散率。李雅普诺夫指数是确定是否系统混乱,根据阶段轨道是否有扩散的特点(46]。此外,根据李雅普诺夫维度,

通过表1,当 , ,和 ,代入到方程(4),可以获得以下方程:

从方程(5),李雅普诺夫维度 为 ,和 ,所以3 d混蛋系统(1)分形李雅普诺夫维度,验证系统(1)是在一个混乱的状态 。为了确定系统(1)是否混乱,我们应该计算系统的李雅普诺夫指数谱(1)固定参数 ,让 有所不同。当 不同的时间间隔 ,3 d反射系统的李雅普诺夫指数谱(1)如图5,3 d反射系统的最大李雅普诺夫指数(1)如图6。


图5
3 d反射系统的李雅普诺夫指数谱(1) 和 。

图6
3 d反射系统的最大李雅普诺夫指数(1) 和 。

根据图6,当 ,最大李雅普诺夫指数 可以观察到。这个观察也验证了表1。

2.4.4。分岔

系统的分岔图也可以用来分析一个系统的状态参数范围内。它可以描述分岔状态,状态变量变化的参数变化。固定的参数 和 。当参数 ,3 d反射系统的分岔图(1)如图7。


图7
3 d反射系统的分岔图(1)与参数 和 。

通过分岔图7,当 ,3 d混蛋系统(1)展览周期行为,提出了典型的周期1,周期2,周期性的 ;然而,当 ,混乱的行为发生。因此,3 d混蛋系统(1)发展从周期到混沌。然后,结合李雅普诺夫指数谱图5,很明显,系统的状态(1)更改参数改变时,这意味着混乱行为只能发生在一定参数范围内。

3所示。鲁棒反馈控制器的设计

3.1。提供鲁棒控制器

随着3 d混蛋系统(1),一类主系统隐藏的流动和不确定参数给出 在哪里 主系统的状态变量,奴隶制度可以描述如下: 在哪里 的状态变量是奴隶制度; 是外部输入控制; 是主人和奴隶混沌系统的参数不确定项。同步错误被定义为 。因此,其误差系统可以表示为

之前设计的限定时间鲁棒反馈控制器同步误差系统(1),下面的引理3.1,在随后的分析中起着重要的作用,是回忆在这里方便。

引理1(见[47])。前提是 是可微的,负的标量函数和 满足微分不等式 ,在哪里 和 都是正的常数, 和 ,然后我们有 在有限的时间 。 是初始值和 是有界的。

基于以上引理3.1,驱动同步误差的误差系统(1)为零在有限时间,提出了一种鲁棒反馈控制器如下: 在哪里 和评论 。

3.2。性能鲁棒反馈控制器的证据

验证限定时间误差系统的稳定性提出了控制器(10),以下给出证明。

假设1。假设积极 使参数不确定性 。

定理1。鲁棒反馈控制器的作用下(10),主系统(6)和奴隶制度(7)可以在有限的时间实现同步 ,在哪里 。

证明。构造李雅普诺夫函数 。区分 给了 。用(8) ,我们可以得到: 然后,用控制器(10)方程(11),我们有 此外,简化方程(12)可以获得如下: 基于假设,1,我们可以得到 然后我们可以知道 因此,我们有 根据引理1,我们有 让 ;有 ;当 , 。

4所示。电路实现和数值模拟

在本节中,为了验证3 d反射系统的正确性1),模拟电路设计,并说明了鲁棒反馈控制器的控制效果,给出了数值模拟。

4.1。电路实现

我们使用LM741运算放大器,AD633模拟乘法器,电阻、电容设计模拟电路,增益的乘数AD633是0.1,和运算放大器的电源电压LM741 ,及其输出饱和电压 。根据3 d混蛋系统(1与隐藏的吸引子),一个混乱的电路设计,如图8。


图8
3 d反射系统的电路原理图(1)。

由于LM741和AD633工作电压的限制,系统的输出电压是减少到原来的1/10。压缩他们10:1,进行时间尺度变换;让 ,在哪里 。然后3 d混蛋系统(1)可以表示为

应用基尔霍夫定律和从图8,相应的电路方程写成 在哪里 , ,和 有关电容的电压吗 , ,和 ,分别。电容器 。比较方程(18)和方程(19),使对应的系数相等,可以获得电阻的值 , ,和 。其他抗性 。上述电路参数下,可以得到一个相图上的数字示波器,如图9。

(一)
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(b)
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(c)
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图9
数字示波器的屏幕截图3 d混蛋系统(1)在(a) 飞机,(b) 飞机,(c) 飞机。
4.2。数值模拟的鲁棒反馈控制器

主系统(6)和奴隶制度(7),参数设置为 , ,和 ,当 ,主从系统(6)和(7处于混乱的状态。作为参数的不确定性 , , , ,和 。所以 , , , ,和 。控制参数选择 , ,和 。系统选为初始值 , 和 , , 。根据鲁棒反馈控制器(10),同步结果如图10。

(一)
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(b)
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(c)
(c)
图10
3 d混蛋主从系统同步轨道。(一)的同步x 1,y 1。(b)的同步x 2,y 2。(c)的同步x 3,y 3。

在图10,主系统的状态 和奴隶制度 往往收敛,在有限的时间和同步实现,美国 , ,和 错误的系统(8)如图11。


图11
限定时间错误 , ,和 3 d混蛋主从系统的轨道。

从以上仿真结果的误差系统(8)实现在有限时间同步,相位同步误差系统的轨道逐渐收敛于原点,同步验证方法的可靠性和鲁棒反馈控制器的设计(10)符合要求。

5。结论

在这部作品中,3 d反射系统的动力学行为与隐藏的吸引子是由数值计算分析。此外,模拟电路的设计实现和测试我们的系统模型。一个很好的定性之间的一致性是显示电路实验结果和理论模型的模拟。然后,对3 d混蛋系统同步和控制,提出了一种限定时间鲁棒反馈控制器和3 d混蛋混沌系统的同步与隐藏的吸引子是在有限的时间实现。最后,数学仿真结果证明了该控制器的性能好。然而,仍然有复杂的动力学和应该利用这个系统的拓扑结构,应该找到更好的同步控制方法。此外,同步和主从控制系统可以实现通过电路实现。这些将在未来提供作品。

数据可用性

的数据支持本研究的发现中可用的文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样这项工作。

确认

这项工作得到了陕西省自然科学基础研究计划(2020 jm - 646),中国的创新能力支持项目陕西(2018 ghjd-21),西安的科技项目(2019218414 gxrc020cg021-gxyd20.3),和优秀的博士生创新基金西安科技大学,和支持计划Sanqin学者在中国陕西省的创新团队。