反馈限定时间冲动在分段线性系统二次稳定域

文摘

本文调查的状态反馈镇定问题一类脉冲线性时变系统在指定的时间间隔和分段二次域(PQDs)。首先,相关概念和PQDs限定时间稳定。第二,限定时间稳定性分析PQDs实现,和各种涉及微分线性矩阵不等式的稳定性条件进行调查。然后,计算驯良的稳定性条件建立了控制设计。最后,给出了一个说明性的例子显示了状态反馈控制设计的有效性。

1。介绍

限定时间稳定性和稳定的应用数学和控制领域的重要性,成为一个日益增长的跨学科研究领域在过去的几十年。他们可以找到有用的在各种各样的应用程序;例如,当火箭发射,它应该控制在指定的区域在一个给定的时间间隔。其他应用包括ATM网络(1),神经网络(2),和汽车悬架系统3]。

在这篇文章中,我们感兴趣的是限定时间脉冲线性系统的稳定性和稳定问题定量意义。系统轨迹限制地区的发展在指定的时间间隔。限定时间稳定的概念不同于定性意义上(4,5),强调渐近稳定系统能够稳定时间达到平衡。大量的研究成果对动力系统李雅普诺夫稳定性与冲动影响发达(见,例如,6- - - - - -9),在其中的引用)。脉冲同步和控制问题也吸引了许多研究的兴趣(10- - - - - -16]。此外,各种限定时间稳定性和稳定问题研究线性时变系统和脉冲线性系统(3,17,18]。最初的域和轨迹域通常的形式椭圆体和多面体3,19]。最近,广义分段二次域提出了初始和轨迹域和稳定性条件建立了用更少的保守主义(20.在最近的一次回顾文献[],还回顾了21]。然而,它应该值得注意的是,现有的稳定和控制方法如(2,3,17,18)只适合椭圆形初始和轨迹域和不能用于广义分段二次域,本文的激励我们的研究。

本文调查了状态反馈限定时间冲动线性系统的稳定性问题。几个充分条件限定时间稳定性,和状态反馈控制设计。与以前的工作在18,19,22),本文主要有以下贡献:(1)分段二次函数和分段二次域的概念已经扩展到脉冲线性时变系统;(2)计算驯良的充分条件限定时间的稳定性与PQDs建立;和(3)有效的线性系统状态反馈控制稳定冲动PQDs设计。

本文的其余部分如下。部分2介绍了脉冲线性系统模型和初步概念。部分3发展与PQDs充分条件限定时间稳定。这些稳定性结果涉及几个计算高效的条件来设计状态反馈控制。在下一节中4,一个数值例子来演示结果。最后,结论部分提供5。

1.1。符号

让表示一组非负实数和正整数的集合。让是 - - - - - -维欧几里得空间 ,时间间隔。让表示的转置和单位矩阵与一个适当的尺寸。让是一个矩阵的对称分量。矩阵 是半正定(正定)如果 对所有 。 相当于 。一组 ,让表示其锥形壳,即 。让表示一组标准化的极值射线生成 ,在哪里 与 , 。分段连续的矩阵值(或向量值)功能在和积极的实数 ,让我们表示 和 。

2。问题陈述

考虑下面的冲动与时间脉冲线性系统: 在哪里 是时间, 是令人满意的 ,和 是控制。此外, , ,和给出了矩阵值函数与适当的维度。一般,我们假设存在一个独特的方程解(1)。

让 和 锥的集合满足下列条件:(1)的尺寸和等于 ;(2)联盟 , ,和工会的 , ,能覆盖状态空间 ,也就是说, ;和(3) 和 对所有 ,在哪里是内部算子。我们表示 锥的十字路口 和 规范化的极值射线生成在哪里 。首先,我们需要以下概念在PQDs分段二次域和限定时间稳定,已被定义在[3,20.]。

定义1(分段二次函数(PQFs))。一个时变正定二次函数 据说是一个分段二次函数在一个锥形分区 的 ,在哪里 对称正定矩阵在锥吗 。

定义2。(分段二次域(PQDs))。紧凑的域的边界是统一的水平曲线的分段二次函数 据说是一个分段二次域(PQD)锥形分区 的 ,也就是说,

备注1。传统上,这两个初始域和轨迹域的形式给出标准的加权(即二次标准。他们在椭球形状)。这些限制将大大方便引入二次李雅普诺夫函数来研究限定时间稳定性和稳定问题。然而,结果不适合多面体域情况。分段二次域不仅表示为椭圆体的类,但也被视为多面体域的概括。它们可以应用到模型的初始和轨迹域不同形式在许多实际应用,例如mass-spring-friction系统和电路(3,20.]。

定义3(与PQDs限定时间稳定)。鉴于两套和 , 系统方程(1)是对限定时间稳定 如果 最初的和轨迹域被描述为在哪里 和 在锥形分区 和 。
本文旨在设计一个反馈控制器 这样的控制脉冲线性系统方程(1)确保与PQDs限定时间稳定。现在,我们需要引入以下引理。

引理1(见[20.,22])。分段二次函数 在给定的锥形分区 ,我们表示 产生的射线。分段二次函数 是连续当且仅当吗 对所有 ,在哪里 。

3所示。主要结果

在本节中,我们建立的几个充分条件限定时间稳定与PQDs脉冲线性系统方程(1)。为简单起见,我们考虑初始设置和时变集在锥形分区分段二次域 。然后,当控制 ,我们有下面的充分条件与PQDs限定时间稳定。

定理1。系统方程(1)是对限定时间稳定 ,在集和是鉴于PQDs,如果存在一个正的单调递增函数和一个分段Lyapunov-like函数 这样 为 和 与 。

证明。我们选择令人满意的 和表示 解决方案的系统方程(1)。接下来,我们考虑的情况 。基于状态方程(8),我们有 此外,状态方程(6)确保 将减少系统方程的解决方案(1),因此我们有 ,为 。针对方程(7),我们说 将会满意。反复使用方程(6)和(7),我们得到 因此,它遵循从方程(9)和(10),这一事实是正的单调递增吗 最后,使用方程(8)和事实 ,我们获得 。它完成了证明。
我们选择一个正定单调递增函数 在哪里 和上面的锥形分区分段二次Lyapunov-like函数作为 在哪里 对称矩阵。然后,一个充分条件的限定时间稳定脉冲线性系统方程(1)可以给出如下。

定理2。系统方程(1)是对限定时间稳定 ,在集和给定PQDs,如果存在分段连续可微的矩阵值函数 这样 为 和 与 。

证明。通过选择 ,它是直接派生,方程(11)- (13由方程()可以担保6)- (8)。然后,通过定理1,我们确保系统方程(1)是对限定时间稳定 。
充分条件方程(11)- (13在定理2只是理论上存在的有用,因为无数的微分线性矩阵不等式。应用 - - - - - -过程参数和使用状态反馈控制 ,我们可以推出以下计算驯良的充分条件。

推论1。系统方程(1)是限定时间可对 在反馈控制律 ,在集和鉴于PQDs如果存在正数 正的实值函数 ,和矩阵 ,令人满意的 , , 这样存在积极的分段连续可微的矩阵值函数 ,这样包含微分线性矩阵不等式得到满足下列条件:

证明。使用 - - - - - -程序和定理5 (20.),我们获得的条件方程(13)- (15)是派生如果条件方程(16)和(19)感到满意。此外,它遵循从引理1与方程(20.)和(21分段二次李雅普诺夫函数) 是连续的。因此,通过定理2这个定理的结论。

备注2。在推论1,解微分线性矩阵不等式和决定锥形分区是影响计算复杂度两个主要步骤。在前一步中,更精确的近似会增加计算的复杂性,并在以后的步骤中,更多的锥形分区将导致计算负担。

4所示。一个说明性的例子

在本节中,我们给出一个例子来演示的有效性条件。让我们考虑以下脉冲线性控制系统: 与 和最初的轨迹域

状态反馈控制没有实现,状态轨迹和脉冲线性系统方程的相位图(10),等距脉冲间隔是数字1和2。从他们身上,我们可以看到,政府一直在外面在 ,因此脉冲线性系统方程(22不限定时间稳定对 。因为在这个例子中初始和轨迹域都是椭圆形,分段二次李雅普诺夫函数将到处都是连续的。因此,方程(20.)和(21)将保证直截了当地。通过使用条件方程(16)- (19),我们可以获得一个可行的解决方案状态反馈矩阵:

然后,应用 方程(22),我们的状态轨迹和相图模拟脉冲线性系统方程(10),等距脉冲间隔的数据3和4,这表明,脉冲线性控制系统方程(22)是对给定的限定时间稳定 。因此,设计状态反馈限定时间稳定控制器是有效的。

5。结论

本文研究了脉冲线性系统的反馈限定时间稳定控制问题对PQDs。首先,分段二次函数和分段二次域的概念。限定时间稳定的定量研究。然后,限定时间稳定性的充分条件与PQDs冲动建立了线性系统。基于这些稳定的标准,计算驯良的条件为脉冲线性系统状态反馈控制设计。一个数值的例子是最后给展示设计状态反馈控制的有效性。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作的部分支持由澳大利亚研究理事会(DP160102819),福建理工大学的研究项目(GY-Z18002)开放基金项目的主要科学研究和创新平台福建科技大学(2018)。

引用

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