调查的复杂性:计数函数初等元胞自动机的地区引发另一个

文摘

多年来,人造生命领域试图捕捉生命在人工系统的重要特性。通过测量数量在这样复杂的系统,希望捕捉生活的复杂性系统的爆炸的原因。主要以离散动力系统如细胞自动机,很少有规则导致高水平的复杂性。在这篇文章中,对于每一个初等细胞自动机,我们计算方法的数量一个有限的区域可以改变一个封闭的有限区域。我们讨论的关系数到现存的可控性概念,物理普遍性和构造函数理论。数值,我们发现特定大小的周边地区首选的封闭区域的大小可以引起更多的转换。我们还发现三个特别强大的规则(90、105、150)从这个角度来看。

1。介绍

1.1。人工生命

人工生命研究“生活”,因为它可以1]。这是开始的一种方法在物理学和看人工系统;动力系统作为人工宇宙和学习生活的性质。这种方法仍然面临基本问题包括缺乏一个正式定义的生活这样的系统。然而,许多指标提出了以识别人工宇宙,因为这样或那样的原因可能是比其他人更适合生活。例子包括措施的复杂性和计算能力。

第一个限制自己离散动力系统如细胞自动机,沿线冯诺依曼的工作于海洋自动机[2),构建一个梯子应对错综复杂的生命系统(见,例如,啤酒3和亚当斯等人。4])。Janzing[所指出的5),这也使得问题更容易计算机科学界和荣誉的教训从量子信息理论物理翻译成计算机科学语言可以提供一个新的视角和新的范式。

因为生活在特定的发展——就是得益于这份了不起常被看作是一个创造性的力量,一个相关的属性可能是多种方式,事情可以变成其他的东西在一个给定的系统。更具体地说,我们感兴趣的许多不同的方式配置一个地区的空间可以改变空间的另一个地区未来的后果。我们预计,系统中,这个数字是高可能保证组合爆炸的上下文相关的可能性,增加生命的概率。

在这个初步调查,我们看一组量化这一概念的基本细胞自动机(ECA)。接下来,我们详细说明我们的量化和证明设计选择。然后我们讨论我们的关系量化在文献中现有的想法。

1.2。方法:数量的功能

我们使用以下符号对细胞自动机。一组是字母和是配置的集合,即。bi-infinite二进制序列。如果我们看一个地区 ,我们写 它的配置。

我们量化的主要特性之一是,它看起来在当地的细胞自动机动力学。我们考虑一个有限的地区叫做环境,它可以是任何形状,和另一个地区称为体积。然后,我们希望看到在许多方面环境如何影响未来的体积。换句话说,有多少转换功能的细胞体积细胞环境诱导。未来的体积是其未来光锥细胞自动机的时空图。这个未来的光锥也受到细胞外环境和体积本身。没有了这些外部细胞修复,将来会发生光锥是不确定的。

即使我们解决外部配置,计算影响整个未来的光锥是棘手的。因此,我们选择一个球(在适当维数的方法CA) 和只计算配置的所有细胞逆光锥的子集的时空图未来细胞完全取决于的配置(见图1插图的逆光锥1 d细胞自动机)。

我们还任意选择周围的环境区域周围的球体体积区域 。很明显,这种环境和体积不是唯一有趣的组合。另一个可能性是选择环境相邻但不是封闭体积。如果我们看到环境转换的机器体积,然后这将简化使用这样的机器。

每个环境然后引发一个函数设置的初始容量配置的配置未来光锥的体积这是逆光锥内 。它可能然后计算这类的许多不同的功能。然而,我们不想数两个等功能不同,如果他们无法逃脱的区别逆光锥。直观地说,这种差异只有一个短暂的效果,不产生持久的影响。这意味着我们只计数功能不同的影响是否可以(至少在原则上)永远持续下去。因此我们只计算体积的不同的功能配置这些细胞能逃脱逆光锥的影响。我们称这些细胞细胞的输出 。

总而言之,我们可以说我们不计数的数量证明地短暂(即。,possibly eternal) transformations that different environments can achieve on the volume.

有两个相关的极限函数我们建议的数量计算。第一个是一个环境功能的最大数量的宽度细胞可以诱导。因为只有这样一个环境的配置,不能超过(这里我们有这样的功能 )。我们会看到在eca,各种大小的功能环境的数量可以诱导耗尽这个极限。

第二个是细胞体积的函数输出数量。这个数字是 一个环境,可以计算所有这些功能可以被称为转换完成的体积 。然而,由于输出细胞我们认为这里生长与环境大小,这是不可能的 或 。输出细胞的不同的选择,例如,选择相同的细胞体积(初始)细胞在稍后的步伐像在物理理论的普遍性5),然而,可能是有趣的。在这种情况下,可能存在转型完成有限的环境。

2。背景

2.1。构造函数理论

构造函数理论(6)则对物理定律语句排除特定的转换的可能性。我们的调查这里调查物理定律,而不是构造函数一般为特定类型的有限的转换构造函数可以实现在有限时间有限的基质。我们正在调查的(有限的)环境(也有限)卷的构造函数和底物。计算所有可能的转换一个环境可以促使一个卷。任何转换,我们没有发现是不可能的。这意味着每一个这样的不可能转换对应一个资源受限的物理定律在构造函数的意义理论。

2.2。可控制性

请注意,我们没有计算的数量(开放或闭环)控制环境未来光锥的体积。

开环可控性意味着计算有多少种不同的配置输出的细胞不同的环境配置可以实现或诱导。形式上,这可以表示为以下设置基数:

在这里 是函数(由特定细胞自动机规则)映射环境配置的一对和体积的配置逆光锥。然后表示限制反向光锥细胞的输出。最多有这样输出单元配置。与为我们的测量,为开环控制,它并不重要多少不同的功能可以诱导以来环境配置多个函数可以用来实现相同的输出配置。例如,把三个环境配置,功能由第一卷状态映射到输出状态 ,第二个地图所有的输出状态的函数 ,和第三的功能映射的一些国家和一些国家 。所以,第三环境配置不添加任何新实现输出配置实现的其他两个环境,不应该贡献积极的控制。然而,在我们的测量,因为第三个函数是不同于其他两个,。我们计算的数量可能的转换,也就是说。,可变换性,其他地区的区域。

在闭环控制,环境是“允许知道”音量状态 。在这种情况下,重要的是有多少不同的输入-输出双可以诱导可以选择如果环境对于一个给定的体积(这是不一样的输入-输出关系的一组环境诱发因为我们可以使用一个不同的环境对于每一个给定的输入诱导函数不是由单一的环境)。形式上,这可以表示为以下设置基数:

然后,任何一组环境功能包含为每个输入输出对一个环境对映射的输入输出是充分的。我们最多需要尽可能多的功能有输入输出对,即。在我们的例子中,功能。看到这个,请注意,对于每一对,我们从不需要不止一个函数映射的输入输出。我们也总是需要至少有一个,但是一个函数可能被重用为其他转换。的例子中,我们使用开环情况下也适用于闭环。第三个函数可以诱导通过选择第一或者第二个适当的为每一个输入,不积极贡献闭环可控性。

2.3。身体上的普遍性

身体被定义为普遍性Janzing [5]。

双射的定义(通用感应):一个CA据说允许通用感应的双射如果为每一个有限区域 和每一个双射的地图 有一个配置 补充的和时间这样 。

如前所述,Janzing [7从这个定义),双射性不会导致更强的概念(通用)普遍性因为每non-bijective函数在一个地区 ,有一个双射函数在一个更大的地区 导致non-bijective函数 。然而,如果我们感兴趣的一个资源受限的物理普遍性的概念(例如,对于一个给定的有限大小的规则做环境耗尽他们的控制能力有限体积的大小在有限的时间间隔 ),然后一条规则,将感应所有双射函数的有限体积不一定会允许所有功能的感应有限体积。

因此,我们应该考虑所有函数的集合的物理资源受限版本普遍性。一定程度的普遍性的控制有限体积的一个有限的环境在一个有限的时间内,我们可以计算出分数的所有功能的有限体积内诱导一个有限的时间间隔。

注意,函数在有限体积的数量的细胞是 。如果一个环境能引起所有这些函数在时间吗在 ,我们可以说这个环境身体普遍为 在 。

函数在有限体积的数量增长更快比环境的能力在时间间隔产生不同的功能随着 。后者是 。看到这个,请注意,对于一个固定的数字的细胞环境,有环境状态。对于一个固定的时间并设置产出的细胞,只有一个函数,然后每个环境状态可以诱导。这意味着,对于输出的时候,我们得到最多函数,这种规模的环境能引起内 。如果我们发现一组细胞体积实际上诱导这许多功能 ,然后我们说耗尽自己的控制能力 。

2.4。感知

我们也可以把体积的角度而不是环境。考虑输出细胞体积的未来状态。我们可以看到许多功能等价类的数量设置的环境配置由等价关系:

这认为环境的配置是等价的,如果他们有相同的影响从卷配置转换输出单元配置。这种等价类的数量是一样的数量我们计数功能。这种建筑的等价类被用来捕捉随机过程的代理模型(8]。但是要注意,目前尚不清楚在多大程度上输出细胞可以被看作是未来的一个代理的当前状态是状态量。因此,尽管建筑在某种意义上是一样的,目的和解释是不同的。注意,相同结构的等价类也可以发现在9),它用于粗粒度的影响形成一个随机变量在两人之间的过渡。

3所示。方法

3.1。元胞自动机

我们使用减少的256 ECA规则88年([等效的定义10];表1),将它们应用到一个有限的和连续的细胞。我们只考虑未来的一部分,是由最初的细胞,即。,逆光锥,如图1。

我们写 指标集的初始细胞 厚度和被称为环境 是体积大小。由于计算的原因,我们只看 。一组与 是一组初始配置和初始配置吗 是一个二进制向量的长度 。一组 是细胞的子集属于环境和我们写吗 (最初的)环境配置。一组 的设置(初始)细胞和体积 是一个体积。对于任何设置初始细胞,我们写 指标集的细胞的光锥 。一个索引 然后是指细胞 后ECA动态的应用程序。输出细胞 被定义为在未来的光锥细胞体积细胞在摩尔附近的细胞没有 。然后,我们写 一个输出配置(见图1)。从一个初始配置 ,我们写 细胞内的配置这一结果从ECA规则的应用 。请注意,我们写 对于一个初始配置即使细胞封装体积,这样的环境 与 细胞在左边和右边分别会更准确。我们也写 整个逆光锥的时空配置(包括时间 )产生的应用迭代, 。这让我们写的配置输出细胞当初始配置 。

我们的算法计算 不同的功能组的数量的初始容量配置组输出单元配置 ,即。,it computes the number of functions

看算法1如何计算。

4所示。结果

在这里,我们总结的结果运行之前所描述的方法。

我们开始通过所有功能数字可视化计算算法1。情节在图2显示计数的功能,为每个卷厚度大小和环境。每个颜色只识别一个截然不同的规则,不承担任何额外的意义。

图3显示的积分函数绘制在图2,即,volume under the number of functions curve. This volume corresponds, for each rule, to the total number of functions accumulated over all computed volume and environment sizes.

我们确定了四个方面的不同的类图中的曲线2,总结如表1。

4.1。A:“Quasi-Constant”

31日规则,功能与环境只会增加厚度和控制体积大小不影响功能的数量如果它包含超过2细胞。图4显示了一个情节的功能如图2的规则,但只有满足以下两个条件:首先函数为一个固定的环境厚度的增加从体积大小1体积大小2,其次然后保持不变的体积大小。

4.2。乙级:“单调”

43规则增加单调甚至不是常数,体积大小1或2。我们注意到,他们没有地方maxima上课这是真的。我们注意到任何规则都严格单调的环境厚度。有一些规则,严格单调厚度为特定的环境,例如, 。图5情节所有规则的功能由一个固定的环境中厚度的增加不仅体积大小从1到2,当体积大小增加,从未减少。

4.3。丙级:“最大值”

14规则,我们找到当地的数量最大值函数对体积大小。这意味着对于一些固定的厚度、环境功能下降的数量增加后,随着体积的大小增加。在图6,我们展示了大量的极大值函数的数量超过环境厚度和体积大小为128规则。

4.4。类D:“例外规则”

对于其中一些规则与当地的最大值,我们发现函数给定环境的最大数量的大小可以诱导实现体积大小大于2。我们称这些规则例外。在图7的数量,我们将展示功能标准化环境状态的数量相应的环境厚度。值在这个图显示每个环境配置诱发不同的函数。在图8,我们显示90规则的特殊情况,我们可以观察到明显的最大环境7厚度和体积大小6。在图9的一部分,我们将展示环境的配置,从而诱导卷不同的功能,环境变量值的厚度和体积大小从1到7。

4.1.1。比较与其他分类

我们将上述分类与分类提出了马丁内斯(10),编号分类。结果如图所示10。对于每一个分类,我们比较每个类的每个类,通过的比率在十字路口的规则数量的类在联盟的规则数量的类。这给许多在0和1之间由灰度表示这里黑色等于1。的比率表明两类包含完全相同的规则,因此其他分类识别完全相同的规则集作为一个单独的类。值为0意味着没有规则是两类。注意规则11、12和16配合我们班包含类的特殊规则。还要注意,分类11 b不是正式分类。

这包括四类由Wolfram标识11),总结如表2。在Wolfram类4 (WC 4)规则,没有任何局部最大值。所有四个规则类4属于我们班:单调,大多常数函数数字。我们注意到所有的特殊规则(类D)在3班。有趣的是,尽管在课堂上三个规则D(90、105、150)都有局部极大值,没有其他3班规则。

5。讨论

我们的研究结果表明,环境对体积不同诱导强烈的功能在ECA规则。

变量的范围内调查,增加环境大小似乎总是增加诱导功能的数量。看到这不是非常明显的考虑以下参数。对于一个固定的体积大小 ,每一个环境配置在给定的环境中厚度将部分环境配置任意厚度较大的环境 。这也意味着,任何功能 引起的仍然是由部分实现的环境。然而,对于厚度较大的环境 ,我们计算函数到输出细胞 在未来这已经进一步向外光锥。这意味着,两个不同的诱导功能 不同厚度较小的环境并不能保证两个不同功能的存在 厚度更大的环境 。

局部极大值的存在表明,一般来说,特定的环境可以改变特定大小的卷在很多方面比其他人。这表明一个优先环境的尺度和体积之间的关系。特殊规则表明,环境有可能耗尽他们的转型能力重要的环境接近一半大小的体积大小(环境大小环境厚度的两倍)。注意特殊规则所有显示最大值/首选的尺度。另一方面,兼容我们的结果,有一个最小的体积大小与环境厚度(增加),给定的环境中耗尽自己的转型能力(例如,图8,这也显示了一个重复的模式)。这一事实本身就是有趣的只有3规则例外。这些规则比其他人更让环境改变卷在许多方面。

我们不但是数量达到一个结论性的解释功能依赖环境厚度和体积大小在结果部分。

环境和体积的首选尺度关系本身就是一个有趣的效果,这可能熊复杂性的本质意义研究生命系统的增长。在一定条件下,环境可能会迅速耗尽他们的转型能力在卷他们附上,反过来限制的领域实现函数连接到生活状态的可能性。在以后的研究中,这种方法可能需要扩展到研究不同体积形状和接触表面之间的环境和卷的数量会影响诱导功能。

注意,如果我们选择限制功能的数量,不包括函数不允许一个额外的输入输出,即。,把体积细胞输出配置,实现,功能会捕获的可控性。在这种情况下,减少诱导功能的特殊规则将意味着失去控制的环境中,尽管设备的体积增加的大小。这与稳定性和可控性之间的权衡,Janzing [5熵的下界涌入)调用。这意味着环境细胞的能力来控制自由度给定体积的冲突与孤立目标控制区域的能力。在未来的工作中,我们要追求这种方式解决问题的进一步控制,可控性和热力学。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从马丁贝赫尔(martin@araya.org)要求。作者没有使用任何第三方数据,数据完全由Mathematica软件代码。其他相关材料、书籍或论文中提到的手稿是适时地引用和参考资料小节中列出的手稿。

信息披露

的观点是作者和出版不一定反映的观点邓普顿世界慈善基金会,公司。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作通过MB在这个出版成为可能的支持从邓普顿世界慈善基金会的资助,Inc .)

引用

1. c·兰顿人工生命:程序的一个跨学科研讨会上生活的综合和仿真系统,addison - wesley朗文出版有限公司,1989年纽约,纽约,美国。
2. j·冯·诺依曼和a·w·伯克斯、“自我繁殖的自动机理论,”IEEE神经网络,5卷,不。1,3 - 14,1966页。视图:谷歌学术搜索
3. r . d .啤酒”的认知域滑翔机在生活的游戏中,“人工生命,20卷,不。2、183 - 206年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. a·亚当斯,a·伯纳·戴维斯和s·沃克,“物理普遍性依赖动态法律和开放式的新奇,“熵,19卷,不。9,461年,页2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. d . Janzing”,有身体万能细胞自动机或哈密顿吗?“2010,https://arxiv.org/abs/1009.1720。视图:谷歌学术搜索
6. d·多伊奇,”构造函数理论”,综合,卷190,不。18日,第4359 - 4331页,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. d . Janzing“简单阴性结果与宏观物理通用控制器接口,“2018年,https://arxiv.org/pdf/1804.05954.pdf。视图:谷歌学术搜索
8. m·贝赫尔和d . Polani”行动和感知的时空模式,”人工生命会议论文集,14卷,第75 - 68页,2017年。视图:谷歌学术搜索
9. d . Balduzzi”在元胞自动机检测紧急流程信息过剩,”2011年,https://arxiv.org/abs/1105.0158。视图:谷歌学术搜索
10. g·j·马丁内斯,“初级细胞自动机分类报告,”杂志的元胞自动机,8卷,不。3 - 4、233 - 259年,2013页。视图:谷歌学术搜索
11. s . Wolfram一种新型的科学美国,Wolfram媒体、香槟、IL 2002。

版权

版权©2021年马丁•贝赫尔和奥拉夫Witkowski。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。