文摘

本研究提出了动态耦合的有效性作为部分混沌系统的同步策略。使用一个辅助系统作为振荡器之间的联系,我们调查的同步耦合系统,我们分析确定地区两个系统实现完全同步。在分析,集成顺序被认为是一个关键参数影响的完全同步,考虑部分系统的稳定性条件。当地的稳定同步的解决方案是使用线性化误差动力学研究。此外,一些统计指标,如平均同步误差和皮尔逊相关用于数字标识的同步行为。两个特殊的例子是,即分数阶Rossler和蔡系统。利用分岔图,它也表明,集成顺序有很强的影响不仅在完全同步的出现,也在个人非耦合系统的动态行为。

1。介绍

同步是一个自然发生的物理现象引起的两个或两个以上的动态实体的交互遍布自然世界(1- - - - - -4]。在振荡的情况下单位,同步现象可以被定义为共同演化的调整节奏。

integer-order系统的情况下,存在一个巨大的和成熟的文学作品,我们可以发现不同的同步动态系统互连方案,,例如,主从同步方案,自适应同步,基于状态观测器和同步,等等(5- - - - - -10]。虽然这些策略是有效的,有限制的应用程序,例如,在某些情况下,这些计划有边际范围的同步响应实现或差的鲁棒性来维持一个稳定的同步状态下外部扰动的影响。这是其中一个原因动态互联已成为一种经典的静态方案。在这种情况下,代理之间的交互是间接地通过适当设计的动态耦合(11- - - - - -13]。这种类型的同步策略表现出更好的性能比静态耦合。特别是动态耦合间隔的增加耦合强度值,可以实现同步行为,和也是可能同步系统不能同步静态耦合(11]。

另一方面,使用分数微积分已经广泛研究了非线性系统(见,例如,14- - - - - -18]),也存在显著的贡献与同步在分数阶系统的研究(见,例如,16,19- - - - - -23])。例如,有工作基于滑动模式应用到分数阶模型来实现同步(24- - - - - -29日]。分数阶系统的建模和分析研究也是一个富有成果的领域,例如,使用Razumikhin近似与延迟(分数阶系统30.,31日),李雅普诺夫理论的推断分级系统(32,33),和均衡的存在性和唯一性的米塔格-莱弗勒标准(34,35]。但是,使用动态耦合的分数阶系统到目前为止似乎是未知的。

因此,在本研究中我们提出一种基于动态耦合的分数阶同步方案。特别是,主从互连是,系统有一个间接的通过分数阶线性系统交互。在分析,Rossler方程(36)和蔡double-scroll振荡器(37被认为是。中需要解决的问题是一个动态的耦合integer-order系统设计分数阶版本同样有效?如果是这样,如何求导顺序影响耦合系统同步的发生?本地同步解决方案的耦合系统的稳定性是研究通过分析动态误差,此外,同步的发生也是数值调查计算皮尔逊等统计指标的时间序列之间的相关性。此外,使用分岔图,我们调查了非耦合系统的动态行为。获得的结果表明,该集成顺序有很强的影响稳定的同步方案,有趣的是,它还产生倍周期级联途径非耦合系统的混乱。

研究的其余部分组织如下:部分2介绍了分数阶微积分基础和简要介绍分数阶系统。然后,部分3描述了该同步方案和同步解决方案的局部稳定性的耦合系统进行了探讨。随后,节4,动态性能的耦合研究使用Rossler和蔡系统作为应用实例。最后,部分6和7分别致力于讨论和结论。

2。预赛

本节给出了简要概述关于分数阶系统的一些基本概念。特别是,卡普托导数,分数阶系统的一般表示,线性定常分数阶系统稳定性的再现。

2.1。分数卡普托导数

在文献中,有不同的分数阶导数的定义,最常见的是Riemann-Liouville和卡普托运营商(38,39]。定常系统的分数卡普托导数所描述的向量场被定义为 与 集成的顺序 ,被γ函数定义如下:

2.2。分数阶动力系统

相应分数阶定常系统可以被描述,一般来说,如下: 受初始条件 在哪里 这样,有理数吗 , 对所有 ,和 。分母的最小公倍数 被定义为并设置 和 。然后,方程(3)可以表示如下38]:

2.3。定常分数阶系统的稳定性

一个线性定常分数阶系统描述 在哪里 状态向量, 是一个常数矩阵, 是相称的分数阶导数。然后,系统的稳定性描述方程(6)确定如下38]:(我)系统(6)是稳定的,当且仅当 (2)系统(6)是渐近稳定的,当且仅当 (3)系统(6)是不稳定的,当且仅当 ,至少一个 ,

从这些条件,很明显,分数阶系统的局部稳定性取决于集成顺序 ,这样一个平衡点的稳定性由分数阶可以修改,因此,在复平面的稳定区域图1(40]。

3所示。提出了基于动态耦合同步方案

动态互联认为在这项研究中提出了在11]integer-order系统和适应这里分数阶的情况。方案,系统之间的交互通过动力系统(图是间接的2)是描述下列方程组: 在哪里 代表主人和奴隶系统的状态向量 为 是状态变量的动态耦合。假设向量场足够光滑,可以是线性或非线性的和力之间的耦合系统用吗 。

另一方面,一个动态耦合的设计涉及两个耦合矩阵,表示 和 。这些矩阵生成的前提下,只有一个元素的每一个矩阵等于1,和其他条目是零,这意味着耦合是仅适用于在一个状态变量的奴隶制度,只考虑一个测量变量的耦合。

最后,矩阵从方程(7)是由 在哪里 ,和设计参数的动态耦合。耦合系统的建设,对于integer-order的情况,是受所谓Huygen的耦合11,41),在其最简单的形式可以被解释为一个阻尼振子。

因为在这项研究的重点是同步,需要给以下定义。

定义1。耦合系统,方程(7),如果是渐近同步

3.1。局部稳定性分析

为了研究同步解决方案中定义的稳定方程(9),我们进行如下。首先,它是假定函数在方程(7)可以写成线性和非线性元件的总和,即。,它是假定 在哪里 是一个常数矩阵和 是一个向量包含非线性项。

接下来,定义为同步错误 。注意,在错误的定义中,我们已经加入了状态的动态耦合。原因是参数等应选用动态耦合,耦合系统同步时,就消失了。然后,通过替换方程(10)(7),并计算相应的同步误差动力学,我们获得 在哪里 在哪里 。此外,注意到这个词 是一种微扰(消失42),因为 。然后,系统的稳定性能方程(11)是完全由矩阵的特征值 。特别是,以下部分中给出的结果2.3,我们有同步误差动态方程(11)是局部渐近稳定

因此,如果有可能找到的值 ,和以上条件满足,则方程(描述的耦合系统7)将实现完全同步,根据定义1。

3.2。统计指标用于检测完成同步

在这项研究中,耦合系统同步的发生(方程(7)也是数值计算研究了以下同步指数。 在哪里系统的维数是同步的,之间的同步误差的绝对值 - - - - - -主人和奴隶系统的状态变量,即 和皮尔森相关(43),计算的 - - - - - -th状态变量描述的主人和奴隶制度 在哪里之间的协方差数据时间序列的主人和奴隶系统的状态变量,然后呢标准差得到的吗 - - - - - -th状态变量的主振荡器(奴隶)。最后,当 ,系统同步。

在下一节中,发病与动态同步耦合是研究两个特定的分数阶混沌系统,即Rossler蔡氏振荡器。

4所示。应用实例1:Rossler系统

分数阶版本的知名Rossler系统[44)是由 在哪里 表示状态变量和 是常数。

据报道,每一个系统都有限制的集成订单可以使用分数阶导数不稳定其动力学(16,17,45]。这可以解释为描述的动力学方程(17)是局限于至少有一个特征值在不稳定的地区,这是真正的只有 至少它的一个特征值 。与 ,雅可比矩阵的特征值获得评估平衡点 是 。自 ,被定义为关键的集成 (部分2获得),并通过替换它 。这个结果证实了分岔图如图3,当地的最大值策划是集成顺序的变化的函数。注意,导数是相同的所有系统的状态变量。插图显示了流动和相应的集成顺序考虑发达的分析。

值得注意的是,分岔图如图3数值计算使用Adams-Bashforth-Moulton (ABM)方法(46)和指导策划后适当的分岔图(47]。

4.1。动态耦合的分数阶Rossler系统

现在,我们考虑两个相同Rossler系统(44)所描述的 在哪里表示主人和奴隶系统的状态变量,分别表示状态的动态耦合,显示力之间的耦合振子, Rossler模型的常数, , 表示的集成顺序的主人,奴隶,分别和动态耦合。

在这里,我们考虑的情况下所有订单的集成是相等的,即, 。然后,系统方程的动态行为(18)- (20.)是数值研究了耦合强度的函数和集成 。为此,方程(18)- (20.使用以下参数值)是数字集成cf。11]: 和初始条件 。另一方面,在间隔耦合强度是不同的 与一个测试尺寸 和集成顺序是不同的时间间隔 在 。

结果如图所示4(一),颜色显示同步指数的值(见方程(14))。同步行为由深蓝色颜色(表示 ),而其余颜色显示不同步的动力学。

此外,从图很明显4(一)地区,对于一个固定的耦合强度,限制行为完全是由集成顺序。例如,对于一个固定的耦合强度 ,同步指数突然变化时,集成顺序时间间隔内 ,我们可以看到在图4 (b),但如果耦合强度增加 ,系统总是实现完全同步。

验证同步区域获得的时间序列分析,我们进行稳定性分析中给出的结果部分3.1。首先,让下面的同步化错误被定义如下: ,为 ,和 。然后,由此产生的误差动力学给出

注意,误差动态方程(21)可以书面形式的方程(11),

请注意这个词 在方程(21)的确是一个扰动消失,因为当系统同步 ,和 因此 。因此,同步解决方案的局部稳定性方程描述的耦合系统(18)- (20.)可以确定条件的方程(13)。特别是,我们计算条件方程(13)的函数集成顺序和耦合强度 。结果如图所示5(一个),蓝色区域对应的值和的条件(13)不满意,因此,同步解决方案是不稳定的,而白色区域,条件(13)满足然后同步解决方案预计将稳定。为了比较,图5 (b)显示了图的重叠4与图5(一个)。可以看出这是一个很好的协议之间的数值分析结果。

备注1。在前面的分析,我们认为情况的系统集成和动态耦合是相同的。然而,我们也进行了数值研究,集成订单是不同的。特别是,我们有数值综合方程(18)- (20.)之前使用参数值考虑,作为主人和奴隶的集成订单系统,而动态耦合的集成顺序是固定的。集成的订单 不同的时间间隔 , ,并考虑到集成顺序 。结果如图所示6(一)蓝色区域对应的同步( )。从获得的结果,很明显看到主人和奴隶系统的集成顺序应该是几乎相同的观察一个同步行为和更大的差异是容忍,只要两个系统的集成顺序的方法。
另一方面,数字6 (b)显示结果的情况下,只有集成顺序动态耦合是多种多样的,而振荡器被假定整数阶,也就是, 。在这种情况下,方程(18)- (20.)是由不同的集成数字集成顺序动态耦合的间隔 和相应的同步指数,由方程(14),计算。结果如图所示6 (b)两个不同的耦合力,这些的选择值对应于这些报告(11和那些获得图4 (b)。

5。应用程序示例2:蔡系统

如果蔡美儿系统中描述(37)与分数阶导数模型,然后描述的系统方程(23)进行了分析。 在哪里是卡普托的分数阶导数的定义, 表示系统状态变量, 蔡氏电路是常数,是一个非线性函数中定义方程(24),与常量值 。

以同样的方式至于Rossler分数阶模型,描述的系统(23)是分析确定最低分数阶,可以没有稳定动力学建模,即 ,自 。这个结果证实了分岔图如图7,当地的最大值策划是集成顺序变化的函数。插图显示了流动和相应的集成。

5.1。蔡分数阶系统动态耦合

在上述Rossler系统一样,一双蔡氏振荡器(48)耦合的动力学方程组(定义的连接和25)- (27)被认为是。 在哪里表示主人和奴隶系统的状态变量,分别是美国的动态耦合,中定义的非线性函数方程(28),力之间的耦合系统。

在报道11),以下值在本研究中用于分析发达; 为 ,和初始条件 。另一方面,在间隔耦合强度是不同的 与 和集成顺序是不同的时间间隔 步长。

蔡识别同步的耦合区域的分数阶系统,耦合的分析力的函数集成开发。结果如图所示8。注意,彩色地图表示的价值度量最黑暗的蓝色代表 ,这意味着系统已达到完全同步。

类似于Rossler耦合系统进行稳定性分析,耦合的动态误差模型对蔡氏振荡器中描述方程(25)- (27)所描述的

由于蔡氏电路的非线性的性质,是不可能执行相同的Rossler系统分析;相反,必须使用雅可比矩阵的误差模型,方程(30.),评估系统的平衡的点。蔡氏电路以来点位于对称平衡 对于前面定义的值,其中一个点的选择不会影响分析。 在哪里 。

在定义系统方程所示(30.),它可以执行系统稳定性分析,动态模型的稳定的蔡耦合误差是寻求通过修改集成顺序和力的耦合。分析的结果显示在图9(一个)然后与地图得到的时间序列分析在图8 (b)。与Rossler情况下,分析结果能够描述系统的边界是不稳定的。

备注2。同样,Rossler系统的情况下,我们也调查了发生同步的分数阶蔡氏振荡器作为一个函数的导数订单振荡器同时保持在固定的耦合系统 ,导致地图如图10 ()。的结果分析,蔡美儿的行为系统动态耦合集成顺序变化如图10 (b),集成振荡器保持固定的订单 。

6。讨论

从显示的结果在这项研究中,可以确认介绍本研究的研究问题制定,根据使用的动态耦合混沌系统的分数阶能够诱导完全同步,据报道在同行的整数。同样,值得注意的是,从同步行为的转变同步并不是突然的,因为存在一个区域耦合系统可能出现间歇性的现象。这些区域表示数据的模糊区域4和8。

如果振荡器的建模与部分衍生品,但固定集成顺序耦合系统的维护,实现所需的同步行为,条件只是两个振荡器集成顺序相同。小的变化模型的集成顺序一些导致系统失去同步,如图6(一)和10 ()。相反,同步似乎有一些鲁棒性对集成顺序变化的动态耦合,提供振荡器集成顺序相同,所示的数值结果数据6 (b)和10 (b)。

它也是值得注意的 飞机存在地区的系统更容易同步。这是解释为孤立的振荡器的分岔图,给出数据3和7,修改在集成顺序原因重要定性系统的动态变化,模型都能够呈现混乱或周期性行为,为一组参数integer-order动力学总是混乱的地方,只因为导数的修改订单。这不仅表明系统之间的同步要求低耦合力周期和准周期的行为,但也清楚地表明,集成顺序的变化可以被关联到一个向量场的修改,也可以实现在integer-order系统通过修改系统参数(17]。

局部稳定性分析是在良好的协议与数值分析,如图5和9。值得注意的是,然而,稳定性条件只是必要条件。这个结果是相似的在谈到平衡稳定的点在混沌系统中,在获得稳定鞍点2索引支持混沌行为的发生但是并不能保证一个奇怪吸引子的发生在系统(49]。

值得一提的是,在分析的情况下解决没有相同的导数的方程,提出的算法实现Petraš[50];否则,Adams-Bashforth-Moulton (ABM)方法使用(46),这是一个泛化的古典反弹道导弹积分器是众所周知的一阶交换系统的解决问题(40,51]。

注意,这里给出的结果的前提下取得了相同的振荡器。它仍然需要确定对动态耦合参数的鲁棒性不匹配或外部干扰的振荡器。

7所示。结论

爆发,我们分析了分数阶混沌系统同步的交互通过线性定常动态耦合,也被部分衍生品。结果表明动态耦合引起的能力同步系统,并集成秩序的强烈影响发病的同步行为已经证明。

中观察到的局限性在于动态耦合的集成顺序变化敏感的系统。因此,主人和奴隶系统应该有相同的集成。此外,它已被证明,这里使用的线性化方法的局部稳定性研究同步解决方案只提供必要的条件。需要进一步调查来获得更强的稳定性条件。也许使用横向李雅普诺夫指数可以解决这个问题。它仍然是未来的工作将这些结果扩展到双向以及网络的情况下。此外,这将是有趣的调查是否紧急行为或其他类型的同步行为可以发生在耦合系统根据订单的系统集成和耦合。

最后,我们希望指出,这里给出的结果适用于卡普托分数导数的定义。此外,这些结果使用两个不同的数值方法,即《反弹道导弹和Petraš积分器的方法。作为未来的工作,我们计划把这些结果与不同的部分运营商,如Riemann-Liouville运营商或Atangana-Baleanu运营商等等。

数据可用性

使用的数据来支持这个研究的发现包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

j·l·e·m .感谢CONACYT金融支持(cvu - 706850项目:a1 - s - 26123), j . p . r .意识到博士后的机会留在CICESE,和p . a . m . r .他的教导和富有成果的讨论。