文摘

古诺双寡头博弈是一个两个坚固的市场目标是利润最大化。是理性的每个公司以最小的销售最大化其利润约束。因此,限制利润最大化的模型(CPM)发生在业务需要增加利润最少的销售限制。CPM模型,企业利润最大化下的最低销售限制,是一种替代利润最大化模型。当前的研究构造一个双头垄断游戏基于等弹性的需求与异构同质商品策略。如果销售约束,没有约束,古诺均衡的局部稳定性条件。最初的结果表明,该双头垄断模型将更容易稳定如果公司施加一定的最低销售限制。两个路线混乱使用2 d数值模拟分析了分岔图,其中一个是周期倍分岔,另一个是Neimark-Sacker分叉。四种形式的吸引子共存了盆地的吸引力,这是周期性流动和混沌吸引子共存,周期吸引子的共存和准周期的流动,几个混沌吸引子的共存。我们的研究结果表明,游戏参数对稳定性的影响取决于预期的规则和限制销售的公司。

1。介绍

1838年,安东尼·奥古斯汀古诺介绍了双头垄断的概念在他的书中《研究数学原理的理论财富。他认为两家公司在市场竞争的情况下生产同质产品,他们的利润最大化。许多研究古诺游戏已经进行了两个(垄断)或更多的球员,以动态游戏在离散时间域(1- - - - - -6]。大多数离散时间寡头动态,被认为是在过去的二十年是基于利润最大化的单一目标的公司(7- - - - - -10]。最近,稳定、周期和混沌的动态行为这些市场可以分析这些模型的基础上11- - - - - -15]。

从经济角度来看,多目标游戏的优势在许多情况下更现实。通常,一个寡头垄断的利润最大化模型作为一个单一的目标。这是不现实的,因为很多情况下有多个目标。鲍莫尔(16)提出了一个替代模型称为约束销售最大化业务销售额最大化的基础上最低利润约束。鲍莫尔的想法的模型作为一个商业顾问是根据他的亲身经历,他发现,企业销售,而不是利润最大化。费雪(17,18)得出的结论是,最大化利润受到最低销售约束更理性的业务,从而导致一种新的模式称为约束利润最大化。从那时起,已经有一些研究在寡头垄断模型的动力学约束。最早是由Kamerschen和史密斯(19),显示他们的双头垄断模型的稳定性取决于生产成本和线性需求函数的系数。在他们的工作,包括风险最小化到利润最大化寡头垄断模型,艾哈迈德et al。20.)表明,给风险最小化减少利润更多的重量。在另一个工作,艾哈迈德et al。21)表明,多目标寡头垄断模型比单目标更稳定。莫特(22)表明,在双头垄断模型混合销售和利润最大化的目标下,纳什均衡发生在销售最大化条件而不是利润最大化条件。最近,易卜拉欣(23)派生的局部稳定性条件的双头垄断模型纳什均衡最低销售限制。

决策机制中发挥着重要作用的输出调整过程。一些常见的机制是天真的期望,适应性预期,有限理性,当地的近似。所有上述研究考虑齐次球员的情况下,一家公司或者出现采用同样的决定机制。然而,在实用、更现实的假设是球员们采用异构的决策机制,它的特点是通过莱纳德和西村(24],窝Haan [25],Agiza和Elsadany [26,27],和Tramontana Elsadany [28]。Dubiel-Teleszynski [29日]研究了异构古诺博弈与非线性成本函数和这个游戏的非线性动力学进行了探讨。Tramontana [30.和丁等。31日]分析了异构双头垄断游戏等弹性的和线性需求函数,分别。两个作品显示存在的两种不同的路线复杂的动力学。卡瓦利et al。32)研究动态与异构球员根据当地古诺双寡头垄断的方法和梯度规则与内生反应当地垄断的方法。佩科拉和Sodini33]分析了稳定转换曲线异构古诺双寡头的延迟。

上面的文献综述报告表明,利润最大化的问题公司讨论在动态情况下没有约束。最近,某些游戏模型进行了调查和复杂的动力学和一些约束,如全球古诺双寡头市场的分析和多稳定性游戏基于消费者盈余(34,35]。在游戏动力学模型参数的影响,希望吸引子共存,和全球动力学约束竞争的游戏企业社会责任(CSR)和社会福利(SW)一直在研究[36,37]。

这项工作的目标是重新考虑CPM古诺双寡头博弈通过提供一个与异构球员等弹性的需求函数和Tramontana开发模式30.)的基础上最低销售限制。在本文中,我们分析一个类似的双头垄断Tramontana游戏(30.),但是利润最大化最小销售约束。动态平衡点结构反映了相应的经济解释。陪审团稳定性判据[38)和数值模拟提供本地边界的稳定均衡和纳什均衡获得游戏的内部复杂性。理论平衡点的稳定性和临界曲线的推导noninvertiable地图研究,和游戏的动态行为进行了数值模拟。我们证明游戏参数的连续变化不仅会导致游戏崩溃的稳定性增加的复杂性的游戏行为,如共存的流动,流动的临界分岔,盆地和全球分岔的吸引力。

本文组织如下。节2双头垄断模型和非线性系统描述的动态产品的公司。节3,当地的纳什均衡的稳定性条件确定。节4,我们现在的数值模拟以及当地的分岔分析,盆地的景点,临界曲线,路线复杂的动力学。最后,一些言论提出了部分5。

2。模型

我们认为市场主要由两家公司生产完美的替代产品。让公司的产量 和表示两家公司的总输出。我们回忆起一个等弹性的需求函数,基于柯布-道格拉斯效用函数管理市场(39]: 在哪里是商品价格。让每个公司的成本函数

现在,每个公司的利润

认为是一个常数约束的销售。该公司销售额最大化其利润受到约束: 相当于最大化公司的支付函数作为目标函数我: 在哪里是正的参数和与销售相关的约束。通过区分支付函数关于 ,我们获得 在哪里代表一家公司的输出。解决方案(6)给公司的反应函数如下:

该公司的反应其他公司的输出响应函数。

我们认为每个公司的情况采用不同的机制在每个时间段的调整其输出。后Tramontana和Elsadany28Tramontana]和[30.),我们假设公司1有限理性,其产出的增加或减少取决于边际收益函数的最后时期。这个调整过程是由 在哪里 代表的速度调整。

公司2,我们假设它天真地预计,其竞争对手的输出是一样的最后时期,也就是, 。鉴于这种假设,使用最好的反应函数(7),公司2将决定其输出 使用下面的调整过程:

的动力输出的两家公司所表达的离散动力系统如下: 在哪里 。当 ,系统(10Tramontana)减少游戏被认为是(30.]。

系统(10)是一个不可逆转的二维映射的迭代确定竞争公司的轨迹。我们调查的影响参数对该系统的动力学。讨论本地解决方案的系统的定性行为(10),首先,我们需要调查当地的平衡稳定性和分岔点的游戏(10这两家公司之间)。

3所示。纳什均衡和局部稳定性

平衡的系统(10通过不动点的条件 和 在离散系统(10),我们获得

求解方程(11)和(12)同时收益率以下纳什平衡点: 在哪里是一个积极的平衡提供了吗 。的纳什均衡游戏(10)是一个独特的定点和Tramontana是相同的平衡(30.)当 。系统的雅可比矩阵(10)是 与特征多项式 在哪里和跟踪和雅可比矩阵的行列式(14),分别。

所需的纳什平衡点局部渐近稳定的条件,相应的雅可比矩阵的特征值是在单位圆。根据陪审团的标准(34),纳什平衡点的局部稳定性条件如下:

如果只有两三个不等式(16),以下三个行为发生(38]:(我)一段翻倍分岔时获得 (2)超临界或折叠分岔时获得的 (3)当获得Neimark-Sacker分岔

命题1。纳什均衡的点(13)是稳定的 ,在哪里

证明。证明取决于地图的雅可比矩阵(10)在(14在纳什均衡),当评估点(13)成为 和跟踪和矩阵的行列式(18) 用(19)(16)和一些代数的计算后,第一个条件(16)很满意 ,而其他两个条件降低 和 。这就完成了证明。

命题2。纳什均衡的点(13)可以通过倍周期或不稳定Neimark-Sacker分叉

证明。获得证明非常简单,通过减少表达式 。
节4分岔和混沌的特性中演示了通过当地深度分析数值模拟混沌吸引子等初始敏感性,断断续续的混乱,multistationary属性。游戏的隐藏复杂性研究使用混沌和分岔理论来揭示两个异构企业之间竞争的复杂性。

4所示。数值模拟的动态博弈行为

本节中的数值模拟显示了一些见解纳什平衡点的局部稳定性(13),证实了我们的结论部分2。事实上,我们会看到的动态地图(10)变得更加复杂,由于地图的轨迹各自为政的情况,当有一个轻微的改变在初始数据。例如,通过修正参数 ,和 ,我们得到了 和 ,这意味着 ,因此,纳什均衡变得不稳定周期倍分岔。有趣的是,在初始数据 和 ,我们报告两个不同的分岔图对应 ,和 在不同的参数 。图1(一)显示了这些分岔图,蓝色的 而红的 。我们可以看到,一段2-cycle出现之前 ,特别是在 。这表明不同的流动可能对不同参数共存 。这种流动是很重要的,我们详细调查后。现在,我们专注并报告一些流动的地图(10在最初的基准 保持其他参数值固定的。在分岔的阈值 ,我们获得 的特征值 和 ,这两个是真实的一个绝对值大于1。这意味着纳什均衡变得不稳定周期倍分岔。

图1 (b)显示地图的动态始于2-cycle时期,这是由正方形纳什平衡点时由一个圆。为了研究地图的动态的进化,我们已经进行了进一步的数值模拟,如图1 (c)- - - - - -1 (f)。在图1 (c),我们现在4-cycle在一个稳定的时期 。这种动态是紧随其后的是一个稳定的时期8-cycle和一个稳定的时期16-cycle发生 和 ,分别(图1 (d))。后,特别是在 ,一个稳定的时期32-cycle出现。我们应该强调吸引力的稳定时期的盆地周期方法32-cycle时期变得更加复杂。进一步提高参数6.78产生一个动态的四个变成四个相连的领域无关的领域6.782(图1 (e))。此外,地图的动态接着20-cycle一个不稳定的时期 紧随其后的是四块混乱地区 变成一个不稳定时期12-cycle 。最终,地图的行为改变成一个两件套混乱 最后演变成一个整体混沌吸引子(图1 (f))。

所有数值模拟进行了迄今为止在参数值,满足第二个条件(16)。相反,现在我们假设参数值,满足第一个条件。让我们假设以下参数值, ,和 相同的初始数据 。用(18),一个获得 的特征值 这是复杂的,有一个绝对值大于1。这意味着纳什平衡点稳定将变得不稳定由于Neimark-Sacker分支在不同的参数高于临界值 。在图2 (b),在 ,吸引子变成了一个稳定的螺旋点(红色),并作为参数增加,稳定螺旋扩大规模(黄色)。纳什均衡是由圆在前面的图中。作为继续增加,螺旋变大之前改变成一个吸引不变的闭合曲线与毛边Neimark-Sacker分岔。这些螺旋和边绘制在图2 (c)在 (红色)和 分别(蓝色)。在 和 ,吸引不变的封闭曲线变大一些粗糙的边缘,如图2 (d)。很明显的密切值参数准周期性的运动是如何产生在纳什由于这种类型的分岔点。增加此外产生持续不变的闭合曲线在纳什,但他们边开始消失,绘制图2 (e)(蓝色)。后,尤其是当方法7.847,关闭7-cycle不变曲线变成一个稳定时期,插图的方块图2 (f)。这个图分析了盆地的吸引力这个循环,青色的颜色指的是纳什点的盆地,而黄色代表循环的盆地。当我们增加参数直到它等于7.894,之前的循环成为一个封闭曲线不变。

其他不变的封闭曲线,不同于以往的构造图 和 ,如图3(一个)。这种动态情况后,在图3 (b)后的地图,我们得到一个有趣的行为增加到8.143,也就是说,多个稳定的共存10-cycle时期。增加参数再次更改周期10-cycle成混沌吸引子23-cycle在随后将成为一个稳定的时间 。在图3 (c),我们把这一时期23-cycle复杂盆地的吸引力。这个图表明不同的灰色轨迹。移动上面的 ,特别是在时间间隔 ,地图的动态演化(10)将相互之间时期23-cycle和混沌吸引子。因此,形成一个稳定的时期26-cycle纳什点图3 (d)在 ,以上这个值,地图的动态演化(10)成为一个混沌吸引子,体现在人物3 (e)和3 (f)。

到目前为止,我们已经讨论了复杂的动态地图(10通过改变参数并保持其他参数值固定的。现在,我们要分析地图时的行为或和其他参数成为固定包括不同 。让我们开始我们的调查,假设以下参数值, ,和 ,而被认为是分岔参数。

在图4(一)一倍,据报道在不同的分岔图 。增加进一步引发了一连串的周期倍分岔了更高的周期性出现的时间和路线混乱形成。确认存在的混乱是最大李雅普诺夫指数对应的分岔参数 。我们可以看到在图4 (b)最大李雅普诺夫指数为负 。实际上,第一期发生在翻倍 。它是绘制在图4 (c)盆地的在相同的参数值和吸引力 。灰色的颜色表示不同的和不可行的轨迹 ,而白色表明nonconvergent点。作为增加,周期2-cycle继续直到出现方法0.721 6-cycle时期就出现了。增加参数0.7245进一步产生一个12-cycle时期。这两个盆的吸引力周期图给出4 (d)。这个参数转移到0.725导致六件套混沌吸引子。这些流动的相平面如图4 (e)有趣的行为,即动态的地图(10)的变化从一个混沌吸引子的稳定时期2-cycle盆地是在同一个图。

我们结束这部分的数值调查以下的地图数据的动态行为4 (f)和5(一个)。他们给8-cycle信息一个稳定时期,两个螺旋点变化的混沌吸引子,和两个封闭的不变曲线由于Neimark-Sacker分岔与混沌吸引子。相反,当 ,一个Neimark-Sacker分岔参数发生。我们给图5一些数值模拟显示不同的行为映射为不同的值的分岔参数。

5。不可逆转的地图和临界曲线

由于盆地的复杂结构的景点,我们在这里讨论的一些重要特征映射(10)。通过设置 和 在二维地图(10),这两家竞争公司的时间演化是通过迭代的地图 给出的

了解盆地的结构及其定性变化,上面的倒数地图变得很重要。地图(23)是一个不可逆转的地图。这可以从给定的一个点 ,其等级1像原可能是4;这四个点是通过求解代数系统中给出(计算23)对和 。相空间可以分为几个区域用 ,在哪里指的是数量的1级原象在相平面对应于每个地区。任何两个相邻区域不同于由两个真正的原象。临界曲线概括了临界值(本地最大或最小)的一维二维框架是两个或两个以上的原象相吻合的轨迹。同样的,表示的临界点(当地极端点)。包含所有的点下面的雅可比矩阵的行列式(23)消失:

我们应该强调地图(23)是未定义的 。这意味着就变成了 。临界曲线可以很容易获得 。可以看到从图6(b),分离相平面分为两个区域:和 。该地区没有像原等级1,而该地区吗有两个像原或1级。即使我们无法获得这些原象的解析表达式,我们仍然可以使用数值计算获得这些点。在参数值 ,和 ,我们只有两个1级原象的点位于地区 。其中一个位于下方和其他点上方,如图6(b)。因此,地图(23)是一个不可逆转的地图。图6(一)代表了相平面对应相同的参数值。灰色的颜色指的是不同的和不可行的轨迹用 。其他两个颜色表明盆地纳什的吸引点和吸引力的时期的盆地2-cycle与纳什共存点,用和 ,分别。一般来说,不同的轨迹沿着轴可获得从一个初始条件的轴。这意味着像原这个轴可以计算如下。让点 。然后,它的原象的真正解决方案下面的代数系统得到这一点(23):

从第二个方程(25),一个可以看到的原象点位于同一不变的轴 或直线 。

命题3。真正的原像点 属于同一个不变的轴 或者躺在曲线:

证明。替换 在(23),我们得到 从第一个方程(27),点的像原属于同一个不变的轴 或躺在曲线由以下方程: 从(28),这个词 必须积极的条件下吗 。解决(28)对完成了证明。

命题4。地图(23)有两个真正的原象和 ,在哪里

证明。证明非常简单,通过替换 或 在(27)。
因此,两个原象和角点的超平面描述了盆地的吸引力。外的所有点这个超平面不能产生任何可行的轨迹。

6。结论和未来的工作

本文特征复杂的异构行为古诺双寡头游戏中玩家优化他们的利润在最小销售限制。在销售限制,没有约束的情况下,稳定的分和当地的稳定状态条件下的纳什均衡。我们证明,该游戏本身产生两个路线混乱:flip Neimark-Sacker分岔,尽管不同的最低销售约束的参数值存在于公司。块1 d分岔图被用来进一步说明这两个航线混乱。我们还用数值模拟来描述游戏的动态现象通过2 d分岔图,1 d分岔图,最大李雅普诺夫指数,时间序列图、相图,盆地的景点,等等。

我们的数值结果表明纳什均衡点非常敏感的任何改变调整速度和最小销售约束参数,后者参数是本研究的主要区别和Tramontana [30.]。此外,这两个航线混乱产生复杂动态行为时参数的变化大。数值模拟还表明,景点的盆地的可行和不可行轨迹地图(10)取决于成本,调整速度和最低销售约束参数。

基于本研究的结果,经济公司有更好的机会实现纳什均衡通过设置最低销售约束在一定价值,而不同的调整速度不时根据稳定性条件。然而,如果这是不可能的,另一种方法,可以控制它们的输出对纳什的稳定是通过使用一个控制参数的方法,如延迟反馈控制,可以在未来的研究探索。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的研究支持项目数量(RSP-2021/167),沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。