文摘

建设部分超级巨浪,本文首先引入了整合部分偏导数。基于整合部分偏导数及其属性,一个分数薛定谔(NLS)方程,然后推导可积性松散,一线和二阶分数流氓波解的最后。获得的分数流氓波解具有平移协调,提供,在某种程度上,自由度调整的位置坐标平面上的超级巨浪。结果表明,获得的一线和二阶分数比相应的流氓波解是陡NLS方程integer-order衍生品。此外,二阶分数流氓波解的时间经历了从开始到结束也短。至于不对称分数与不同背景和振幅超级巨浪,本文提出了一种构造方式通过修改获得一线和二阶分数流氓波解。

1。介绍

超级巨浪是一种当地的海浪,这是第一次发现的海洋。在高场强,超级巨浪可能引发作为一个额外的现象(1]。虽然不同于海啸发生在海洋的超级巨浪非凡的破坏性。最近,超级巨浪尤其是光学得到了高度重视[2- - - - - -14]。这是Solli et al。2]报告生成的光学超级巨浪通过广义NLS方程。2010年,严4)获得金融超级巨浪通过一个非线性的期权定价模型。

著名的聚焦和散焦NLS方程: NLS-type方程的基本模型;可以减少一些广义NLS方程,方程(1)。两个例子,第一个我们引入广义NLS方程得到以下表格中使用非线性光纤(15]: 在哪里 , ,和 传播距离的函数吗 ,代表群速度色散、非线性和分布,分别。第二个是可积耦合NLS方程(6]:

此外,(2 + 1)维耗散Davey-Stewartson-I (DS-I)方程(7]: 这被视为一个扩展方程(1)到二维空间,可以转化为一个等价形式的方程(1通过使用变量的转换) 和

分数微积分已经应用到许多领域(16- - - - - -30.),它显示了其不可替代的作用。2014年,Fujioka et al。17)描述部分光学孤子通过一个扩展的NLS方程零色散和部分非线性。2020年,刘和陈31日)派生的时空分圆柱Kadomtsev-Petviashvili (cKP)和修改cKP方程更好的描述ultrarelativistic等离子体中离子声波传播的波。为了充分理解尘埃声波的传播特征和周期性孤波在尘土飞扬的等离子体,Zhang et al。32)派生modifed Zakharov-Kuznetsov (mZK)方程和获得的一些精确解time-fractional mZK方程。从数学的角度来看33),有本质区别流氓波解和孤子解。虽然流氓波解是不稳定的,他们也不同于非自治孤子。NLS-type方程不仅有孤子解,也有流氓波解。在本文中,我们想获得一个fractional-focusing NLS方程: 然后,我们构造第一和二阶分数流氓波解;在这里, 和 coprime正整数, 这是一个奇怪的号码 嵌入到部分偏导数 和 持有(见定义1)。注意,当 ,方程(6)减少integer-order聚焦NLS方程(5)这是第一个超级巨浪的数学模型。

本文的其余部分组织如下。节2,我们现在整合部分偏导数及其属性。在第三节,我们推导出部分NLS方程,给其宽松的表示。在第四节,我们bilinearize分数NLS (6),然后构造首次和二阶分数流氓波解和展示他们的非线性动态演化。在第五节,我们首先讨论不对称的建筑部分,二阶超级巨浪通过修改获得分数流氓波解,本文同时结束。

2。定义和一些基本的属性

我们首先提出整合部分偏导数的定义(34]。

定义1 (34]。让函数 任意常数 ,和分数阶 ;然后,整合部分偏导数的定义如下: 的正整数 和 coprime和 是一个奇数。作为一个补充的定义1,我们让 。
当方程(7)持有,我们说 是 可微的对 如果 和 不相关的 和 ,然后 成为通用版本(35)整合分数导数的(36哈利勒等人提出的。
我们下一个列表的一些基本属性中定义的整合部分偏导数的定义1。这些属性的证明类似的(35,36),我们省略了。

属性1。如果 是 可微的对 ,然后

属性2。如果 和 是 可微的对 然后 在哪里 和 都是常数。

财产3。如果 和 是 可微的对 和 分别,然后

性质4。部分衍生品的一些常见功能结果: 在哪里 和 是常数。
的这一节中,我们终于显示在图1四个不同的整合部分的偏导数 关于 通过设置 和 。
可以看出,分数阶越小 是,大它的导数函数的值 是多少。这自然就提出了一个问题:我们是否可以构建这样的流氓波宽度和波峰的解决方案依赖于分数阶,陡和更多的破坏性比相应的integer-order情况。下面的工作将澄清的存在这样一个分数流氓波方程解决方案(6)。此外,我们将构造,第四节,另一个部分流氓波方程解(6),它花费更少的时间比整数阶从发生到结束。陡峭的波峰或短时间接近超级巨浪的特点之一,也就是说,它突然出现和消失。除此之外,值得注意的是,这个流氓波解构建本文具有坐标参数。这样的流氓波解是不再局限于坐标原点和往常一样,和他们的立场是有选择性的。此外,修改后,这样的分数流氓波解也可以显示不对称。


图1
整合部分偏导数 不同的订单。

3所示。宽松的部分NLS方程

对部分NLS方程(6),我们有如下定理1。

定理1。部分NLS方程(6)是松懈的可积的,宽松的表示: 与 在哪里 表示共轭复数。

证明。直接计算告诉 与此同时,很容易验证的关系: 用方程(21)和(22)方程(19)的收益率 这是完全等价的方程(6)。证据就是结束了。

4所示。部分流氓分数NLS方程的波解

这部分由三部分组成的流氓波方程的解决方案(6),一部分是双线性形式的方程(6)和其他三个部分第一和二阶分数流氓波解和非线性动态分析。

4.1。Bilinearization

双线性形式的部分NLS方程(6),下面的定理2到达。

定理2。假设 在哪里 和 是真实的,复值函数 和 分别,然后分步NLS方程(6)双线性形式如下: 在哪里 和 部分版本(24)副大臣的双线性算子(37]:

证明。首先,由转换 我们写方程(6), 其次,我们假设 然后方程(29日可以减少) 此外,让 的帮助下部分双线性算子(27),我们终于可以重写方程(31日)和(32),方程(25)和(26),分别。因此,考虑到方程(28)和(30.),我们已经完成了证明。
基于部分双线性形式(25)和(26),部分N孤子方程解(6)可以获得。然而,本文的出发点是构建流氓波解,我们忽略他们。接下来,我们将使用方程(31日)构建部分胭脂波解的方程(6)。

4.2。一阶分数流氓波解

一阶分数流氓波解决方案,我们有定理3在下面。

定理3。部分NLS方程(6)具有以下一阶分数流氓波的解决方案: 和的最大峰值

证明。我们首先假设 在哪里 ,和 都是待定常数。用方程(34)和(35)方程(31日),取消公分母,然后收集系数相同的权力 实部和虚部,我们开一组代数方程对这些破坏了真正的常数。此外,解决代数方程派生集的产量 在哪里 是一个非零实常数,这里没有提及的所有其他待定常数都是零。最后,从方程(28),(30.)和(34)- (36),我们到达一阶流氓波解决方案(33)。
自 和 然后,我们有 ,因此,完整的证明。

4.3。二阶分数流氓波解

二阶的分数流氓波的解决方案,我们有定理4在下面。

定理4。部分NLS方程(6)有以下二阶分数流氓波的解决方案: 和峰值点 是 在这里,

证明。灵感来自于工作(38)和方程(39),我们假设 在哪里 都是真实的进一步待定常数。通过一系列的操作,如用方程(40)和(41)方程(31日),取消公分母,分离的实部和虚部,和收集系数相同的权力 ,然后一组代数方程对这些破坏了常量。解决这一组代数方程,我们可以确定方程(40)和(41) 通过使用方程(28),(30.)和(42)- (46),我们可以很容易地得到方程(39)。当 和 方程(40)和(41)给 和 ,分别。然后,我们得到 证据就是结束了。

4.4。非线性动态进化和比较

在本节中,我们将展示一线和二阶分数流氓波解(33)和(39)的非线性动态演化。与此同时,为了比较,我们也显示相应的NLS方程的流氓波解(6)的整数。

在数据2- - - - - -5一阶流氓波解决方案(33)与平移协调及其比较参考没有平移协调所示。可以看出,部分流氓波的宽度(33)在x设在远远小于相应integer-order流氓波。

(一)
(一)
(b)
(b)
图2
一阶分数流氓波解决方案在线(颜色)(33)及其与整数阶的比较。(一) 和 ;(b) 和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图3
轮廓的一阶分数流氓波解(颜色在线)(33)及其与整数阶的比较。(一) 和 。(b) 和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图4
一阶分数流氓波振幅的解决方案(33)及其与整数阶的比较。(一) , ,和 。(b) , ,和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图5
动态演化的一阶分数流氓波解决方案(33)及其与整数阶的比较。(一) , ,和 。(b) , ,和 。

类似的差异也发生在二阶流氓波解决方案(39)与平移协调及其比较参考没有平移协调,但分数流氓波的宽度(39)x设在和t设在都小得多比相应的integer-order流氓波,看到数字6- - - - - -9。这表明,除了陡峭的波峰,从开始到结束的时间分数胭脂波也短。分数阶的减少 ,高和介绍波峰second-rogue波解决方案(39)正越来越近,直到几乎在一起,总是保持 在点 (见图10)。

(一)
(一)
(b)
(b)
图6
二阶分数流氓波解决方案在线(颜色)(39)及其与整数阶的比较。(一) 和 ;(b) 和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图7
轮廓的一阶分数流氓波解(颜色在线)(39)及其与整数阶的比较。(一) 和 ;(b) 和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图8
一阶分数流氓波振幅的解决方案(39)及其与整数阶的比较。(一) , ,和 ;(b) , ,和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图9
动态演化的一阶分数流氓波解决方案(39)及其与整数阶的比较。(一) , ,和 ;(b) , ,和 。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图10
二阶分数流氓波解决方案在线(颜色)(39), 和 。

5。讨论和结论

总之,我们有派生部分NLS方程(6)与宽松的可积性通过引入整合部分偏导数(7)。基于转换方程(31日),一线和二阶分数流氓波解(33)和(39)与平移的协调方程(6得到了)。翻译协调提供了一定程度的自由调节部分流氓波解的位置(33)和(39在坐标平面上)。

一阶分数流氓波解决方案(33)也可以通过使用限制 在[一样14)和方程(28);在这里, 这是一个部分1 -方程解(29日)。使用类似的分数的限制类解决方案如方程(47)来构造二阶分数流氓波解决方案(39)是值得研究的。

除了陡度和瞬时性,不对称也是一个了不起的流氓波的特征。也是值得探索的构造非对称超级巨浪的分级模型。在数据11- - - - - -18,两个不对称(见图(13日)为例)一线和二阶分数超级巨浪与不同背景(见图13 (b),14(c)18 (b)为 ,而 )和大的振幅(见图14(b)和(18日)为 和 )基于显示解决方案(33)和(39),假设的价值 定义1中总是返回一个复数所有x <当q是一个偶数。8.0计算机通过数学仿真结果表明,与分数阶的减少 ,四介绍波二阶的分数超级巨浪逐渐超过最高峰值。这不同于通常的二阶超级巨浪。然而,在这种情况下,这样的一线和二阶流氓波解不满足方程(6)。这是因为,当 与 是一个复杂的数字, 不再是一个实值函数之前,然后呢 和 不是方程的解决方案(31日)。事实上,当 它不能变换方程(6)方程(29日),但 是有效的。尽管如此,它可能是重要的,本文提供了一种方法来构造非对称部分超级巨浪通过修改获得一线和二阶分数流氓波解。


图11
不对称阶分数流氓波在线(颜色) 和 从解决方案(修改33)。

图12
轮廓不对称的一阶分数流氓波在线(颜色) 和 从解决方案(修改33)。
(一)
(一)
(b)
(b)
图13
振幅和动态演化的不对称阶分数流氓波 和 从解决方案(修改33)。(一) 。(b) 。
(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图14
不对称阶分数流氓波在线(颜色)和它的振幅和动态演化 和 从解决方案(修改33)。

图15
不对称二阶分数流氓波在线(颜色) 和 从解决方案(修改39)。

图16
轮廓的不对称二阶分数流氓波在线(颜色) 和 从解决方案(修改39)。
(一)
(一)
(b)
(b)
图17
波振幅的对称二阶分数流氓 和 从解决方案(修改39)。(一) 。(b) 。
(一)
(一)
(b)
(b)
图18
动态演化的不对称二阶分数流氓波 和 从解决方案(修改39)。(一) 。(b) 。

数据可用性

本文使用的数据可从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作得到了中国辽宁BaiQianWan人才项目(2019),国家自然科学基金(11971475),中国自然科学基金会中国辽宁省教育部门(LJ2020002),和中国新疆自治区自然科学基金(2020 d01b01)。