文摘

通过将计算机用户的安全意识纳入susceptible-infected-susceptible (SIS)模型,本研究提出了一种新的恶意软件传播模型,命名为“SID模型,D舱表示节点与用户的群体意识。通过定性分析,基本的生育数量 是给定的。此外,证明了平衡无毒化是全局渐近稳定 小于1,而病毒平衡是全局渐近稳定如果 比一个大。然后,给出了一些数值例子验证了分析结果。最后,我们提出了一些有效的控制措施根据理论和实验分析。

1。介绍

恶意软件是通用术语用于指定故意创建的任何信息程序进行未经授权的活动,在许多情况下,有害的系统被提出(1]。有一个增加的趋势在数量和类型的恶意软件。据报道在2),有一个指数级增长数量的病毒,在2017年,有15107232个不同的恶意文件,我们从来没有见过的,主要是因为技术的进步和互联网人口增加。因此,有很多研究者试图开发有效的方法和工具来检测恶意软件从microperspective [3- - - - - -5]。

虽然科学方法打击恶意软件主要集中在设计有效的方法来检测和删除恶意软件(6),同样值得恶意软件的传播行为进行建模和开发有效的控制策略,此外,为了防止它的爆发。这些模型大部分是动力系统的常微分方程(7]。区划的,即节点分为不同的类型,如敏感、暴露,感染,回收的、和待验的。因此,大量的模型(SIS模型(8,9先生,)模型(10,11),西珥模型(12),和SIRQ模型(13])。

近年来,大多数恶意软件传播模型提出的将一些新的隔间纳入现有的模型。在[14),通过考虑节点保护云,氮化镓等人提出了一个SIP计算机病毒传播模型。更具体地说,保护节点在云可以不会被感染,但可能会被转换成一个年代舱在一定概率。同样,考虑到设备可以被恶意软件感染,但不能破坏,SIRC模型是建立在15],C代表承运人设备。

另一方面,用户的意识也获得了很多研究人员的关注。在[16),作者指出,用户意识的缺失可能会导致一些安全问题。在[17),Furnell还声称,钓鱼是一个重大的安全威胁,并不能完全解决的问题单靠技术;在这种情况下,用户意识是非常必要的。毫无疑问,用户对网络安全意识是至关重要的。考虑到用户意识也起着重要的作用在降低恶意软件的传播,一种改进的模型基于SLIR模型与用户意识提出了在18]。在[18),计算机不是感染或接触的用户可能要安装杀毒软件,这里的概率称为用户意识。

在[1),作者提出了这个问题,电脑的感染率可能会有所不同从计算机到计算机。例如,如果用户担心安全问题,应该减少感染率。相比之下,如果用户有危险行为,感染率应该更高。启发,本研究旨在解决这一问题的不同的感染率的电脑/无需用户意识。不同的工作(18),一个新的部件(D舱)纳入经典的SIS模型。这里,D舱表示节点的组与安全意识,而S代表了节点与危险的行为。显然,感染率小于S D节点的节点。除此之外,在19,20.),作者提出和W隔间类似于年代和D隔间在这篇文章中,转化率的两个是一个常数。然而,我们注意到用户感知的变化与感染的数量。感染的数量越高,感知越高的用户。所以,我们认为意识的速度转换相关感染的数量。

这项工作的主要贡献如下:(1)描述计算机病毒传播是建立一个新的模型从用户感知的角度(2)两个模型的平衡获得:传染平衡点和病毒平衡,而且,他们的本地和全局稳定性证明,分别。(3)通过定性分析和仿真实验,提出了有效的控制措施,以防止的爆发和传播恶意软件

本研究的剩余材料组织如下:部分2制定该恶意软件的传播模型。节3当地的稳定性,无感染和病毒的平衡进行了分析,分别,而部分4处理全球两个平衡的稳定性。节5,一些数值模拟说明所得理论结果和执行有效的控制措施。最后,部分6总结了这个工作,给一些缺点。

2。数学框架

模型提出了工作是分为若干部分的模型,计算机分为3类:易感节点(年代)可以很容易被恶意软件感染,节点与用户感知(D)可以被恶意软件感染更加困难年代节点,以及被感染的节点(我),可以感染其他节点。转移图如图1。下面的符号和假设将被采纳的续集。


图1
模型的转移图。
2.1。符号

:的数量年代节点在时间t :的数量D节点在时间t :的数量我节点在时间t :节点的总数t :的速率节点连接到网络 :的速率节点断开网络 :的感染率年代节点造成的我节点 :的感染率D节点造成的我节点。很明显, 。 :的转化率年代节点D节点造成的我节点 :的回收率我节点由于杀毒软件的影响

2.2。模型的假设

(我)所有新节点访问年代节点(2)在时间t的感染力量年代来我是由 ,的感染力量D来我是由 。(3)由于恶意软件的传播,用户逐渐意识。在时间t力量的转换年代来D是由 。(iv)在时间t,恢复用户节点都有改善,和恢复力我节点 。

2.3。模型公式

考虑上述假设,模型的动力学是由下列常微分方程组:

根据 ,我们有 。显然,当 , 。因此,系统(1)可以简化为以下限制系统:

很容易验证所有可行解的方程(2)是有界的,最后落在该地区 定义为

很明显,系统(2)无感染平衡 。

基本的繁殖数量 被定义为电脑被感染的感染的平均数量设备感染期间。 通常作为一个阈值参数,预测感染是否会扩散。对于系统(2),我们有

如果 ,系统(2)有一个病毒平衡 : 在哪里

3所示。局部稳定性

在本节中,我们将分析两个本地的平衡系统的稳定性。

定理1。 是局部渐近稳定如果 。然而, 是不稳定的,如果 。

证明。通过线性化系统(2) ,我们得到特征方程: 因此, 一方面,所有方程的根(8)-真正的部分,因此, 是局部渐近稳定如果 。另一方面,方程(8)至少有一根与积极的现实,因此, 是不稳定的,如果 。

定理2。 是局部渐近稳定如果 。

证明。通过线性化系统(2) ,我们得到特征方程: 因此, 在哪里 下面的不平等可以从部分获得2: 。我们也可以从第二个方程获得一个方程的系统(2): 。
我们有 和 ,所以 。
它遵循的赫维茨(21标准的两个根(11)有负的实际部分。因此,宣称的结果。

4所示。全球的稳定

定理2显示,平衡 和 在系统(2分别是局部渐近稳定。然后,我们打算SID流行病模型的全局稳定性分析在这一节中。一个著名的方法来确定系统是否有周期性的轨道是Bendixson-Dulac [22)标准。下面的引理将是有用的在续集证明均衡的全球稳定点。

引理1。系统没有周期轨道 对于系统(2)。

证明。定义 构建霍华斯函数(22), 在内部的 ,一个可以 因此,遵循从Bendixson-Dulac标准22)的内部 对于系统(2)不包含周期轨道。
我们应该考虑的边界 在考虑室内区域。假设一个任意点( )边缘的吗 。在那之后,以下将讨论三种可能性,分别为:(1)案例1:当 和 ,然后 (2)例2:当 和 ,然后 (3)案例3:当 , ,和 ,然后 因此,它符合上述三个案例,没有周期轨道过去( )对于系统(2)。总之,没有周期轨道 对于系统(2)。现在,已经完成的证据。
然后,我们可以着手证明平衡 和 的系统(2分别对应)是全局渐近稳定的条件。

定理3。 全局渐近稳定对吗 如果 ,而 全局渐近稳定对吗 如果 。

证明。与定理的基础1和2和引理1根据Poincare-Bendixson定理(22),一个人可以得到平衡 是全局渐近稳定系统(2)对 如果 ,和 全局渐近稳定对吗 如果 。现在,我们完成证明。

备注1。定理1- - - - - -3提出了一个恶意软件不能完全抑制的现象,如果 。但根据定理1,一些因素也可以抑制恶意软件的传播。在另一个方面,与这些相关参数,可以减少感染的比例。这也提供了一个有效的遏制恶意软件的传播方向计算机。

5。数值模拟

本节是给一些数值模拟来验证我们的理论结果。

例1。考虑系统(1)与参数 , , ,和 ;然后, ,和一些初始值在表1。
在图2, 是全局稳定的,如果 。更重要的是,我们可以得到一个结论:初始值和全球稳定如果无关吗 。

表1
模拟初始值。

图2
情节的时间系统中给出例子1。

例2。考虑系统(1)与参数 , , ,和 ;然后, ,和系统的初始值与给定的表相同1。
在图3, 是全局稳定的,如果 。我们也可以发现,初始值对恶意软件的传播,如果没有影响 。通过比较图2与图3,保持基本的繁殖数量 是一种有效的方法来防止恶意软件的突破。


图3
情节的时间系统中给出的例子2。

例3。我们将说明不同意识转化率的影响 ={0.02,0.08,0.14,0.20,0.26}对系统(1)。考虑系统(1)与参数 , ,和 和初始条件 , ,和 。
从用户感知恶意传播中发挥着重要作用,人物4显示时间块的数量被感染的用户提供不同的感知转化率。我们可以发现意识转化率越高,数量越小被感染的用户。所以,提高用户意识可以有效地控制感染用户的数量。


图4
感染节点的时间块数量的系统条件中给出的例子3。

例4。由于的重要性 ,我们将讨论参数如何影响进化的恶意软件传播。中给出的参数表2。
我们可以发现, 和 有一个积极的线性关系如图5。因此,我们可以保持联系 在一个较低水平,在电脑中有效地防止恶意软件的传播。 和 有一个积极的线性关系图吗6。图7显示, 减少, 增加。因此,它是合理的减少计算机的在线率和增加断开的电脑当恶意软件传播和爆发。图8显示, 如果回收率增加将大幅下降。所以,在电脑上安装最新的防病毒软件是另一个控制恶意软件的传播的有效对策。

表2
仿真参数。

图5
的影响 在 。

图6
的影响 在 。

图7
的影响 在 。

图8
的影响 在 。

例5。最后,我们比较SIS模型,模型通过几组仿真实验。SIS模型与感染率 和回收率 提出了在23]。在这里, 和 。初始条件是 , ,和 。中给出的参数表3。
在图9,我们可以清楚地看到,最后的感染节点数SID模型总是小于相应数量的SIS模型。因此,提高用户的安全意识是有意义的。

表3
仿真参数。

图9
情节的时间系统中给出的例子5。

6。结论

启发用户意识起着重要的作用在恶意软件的传播,提出了一种新型基于SIS模型。通过数学分析和仿真实验,验证了模型的合理性,并提出,如果我们提高用户感知恶意软件传播之前,防止恶意软件的传播就会实现。此外,生物和恶意软件模型有很多类似的行为。因此,比较生物和恶意软件的模型是有意义的。新型冠状病毒传染性疾病通常称为COVID-19和已经成为这个世界上最大的挑战24]。研究冠状病毒的传播,有很多关于COVID-19数学模型(25- - - - - -27]。本文提出的模型还可以用来描述COVID-19的传播。在这种背景下,年代节点代表那些没有采取任何措施COVID-19, D节点代表对COVID-19人采取措施,如戴着面具或呆在家里,我和节点代表的人被感染,可以感染别人。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(61903056和61903056)和重庆的基础研究和前沿技术研究项目(cstc2019jcyj-msxmX0681和cstc2018jcyjAX0154)。