文摘
流行病动力学是一个至关重要的方法在研究计算机网络病毒的传播。本文提出了一种最优控制措施的基础上西珥point-to-group信息网络病毒传播模型。首先,考虑到需要防病毒措施在现实中,介绍了最优控制问题,然后控制计算机病毒传播模型point-to-group建立信息网络。第二,最优控制措施是通过制定控制成本之间的权衡和网络病毒入侵所造成的损失。第三,理论上最优控制策略研究Pontryagin的极大值原理和哈密顿函数。最后,通过数值模拟,有效措施控制病毒的传播在point-to-group信息网络。
1。介绍
鉴于情况的关键基础设施和人类日常活动越来越依赖于信息网络,至关重要的是,要了解他们的弱点和发现潜在的风险威胁到他们的安全。网络病毒是导致网络安全的主要威胁。观察重要的相似之处生物流行病的传播和网络病毒,Kephart和白色的开创性工作使用流行病模型的研究致力于研究蠕虫的传播特性和有针对性的对策1- - - - - -3]。之后,一些生物流行病模型,如susceptible-infected-susceptible (SI / SIS)和susceptible-infected-recovered(先生),已经适应了网络病毒传播行为的(4- - - - - -10]。基于这些经典模型,很多程度上模型、节点之间有更多的状态转换,也被提出了调查网络蠕虫的动力特性(11- - - - - -15]。这些以前的研究有助于揭示网络蠕虫的动力现象,为网络管理人员提供了有效的理论指导,以保护网络安全。
最优控制理论已被广泛应用于控制疫情的传播(16- - - - - -20.];然而,据我们所知,研究研究,结合最优控制理论和模型的网络病毒是很少的。朱et al。21)与控制,建立了延迟计算机病毒模型和最优控制策略的存在性和唯一性证明。刘等人。22]提出了一种恶意软件动态模型的影响用户的安全意识,此外,开发有效的预防策略与人类干预由最优控制理论。杨et al。23)提出了小说冲突的舆论传播模型基于微分对策理论,这是导致了错误信息约束和竞争的病毒式营销。这些以前的研究表明,最优控制策略是有效的防止网络病毒的扩散。
上述现有模型假设网络病毒的感染是“点对点”,即。,被感染节点感染易感节点一次。事实上,有一个情况,一个节点受感染的一组节点信息共享网络,比如广受欢迎的电子邮件系统和即时消息软件。调查的影响最优控制策略在信息共享网络病毒流行,本文流行病模型最优控制措施解决,基于[24]。
我们的主要贡献如下:(1)提出了一种病毒传播模型与变量的防病毒措施point-to-group信息共享网络;(2)最优控制函数构造调整杀毒强度;(3)优化解决方案的存在是证明理论。
本文组织如下。部分2制定模型和相应的最优控制策略。最优控制策略研究部分3。部分4代表了一些数值结果。最后,部分5总结了纸。
2。模型和最优控制策略
2.1。模型公式
信息共享网络是一个复杂的通信网络包括大量的节点(计算机、终端、或实体等),在其中一个节点收到信息可以发送到网络中其他节点的信息。我们可以代表一个无向网络的信息共享网络,如图1。
我们的模型是基于的网络病毒流行模型point-to-group (P2G)信息传播提出了华元,陈主任(24]。这个模型假定个体在信息网络系统有四个州:敏感(年代),暴露(E)、感染(我)和恢复(R)。在任何时候,节点的四个州之一。个人和国家的作用下可以切换病毒感染和防病毒措施。考虑以下两个事实:主机将经历一个潜伏期( - - - - - -在过渡的状态) - - - - - -状态 - - - - - -因为用户不立即打开链接或电子邮件用户可能会使免疫宿主与对策 ,和这些对策可以看作是多态病毒的策略,可能会导致以下状态转换的路径: 使用实时免疫的对策 清洗主机被感染后病毒 清洗主机被感染后病毒
因此,模型是制定下列常微分方程: 在哪里是旧的替换率节点,过渡率来自哪里来 , 回收率从吗来 , 网络中节点的总数,描述了实现实时的免疫和的影响描述了清理病毒和免疫的影响潜伏期中的节点,代表了过渡率从来 ,在哪里 和r邻居节点的平均数量(各种状态)与受感染的直接连接节点。
2.2。最优控制策略
在系统(1),参数 , 防病毒措施的强度。在现实中,他们应该是变量,所以在本文中,我们将引导一个控制功能进行调整 , 。对于我们的目的,我们想要找到的控制策略可以获得最小的损失和成本当网络安全的事故发生。让 显示一个容许控制集合。考虑网络病毒造成的财务损失相关的感染节点的数量。假设单位时间平均损失引起的节点是常数 。然后,整个损失引起的感染所有节点在单位时间正比于被感染节点的数量 ,表示为 。定义损失函数;然后,在时间间隔 , 可以计算如下:
此外,对策需要企业的投资,如购买杀毒软件和用户的安全教育。著名的Gordon-Loeb模型显示的最大安全投资从经济学的观点不一定是最优的25]。平衡是至关重要的,企业的损失是最小的最低投资信息安全网络安全事件发生时。让期间的成本部署安全系统的时间间隔 。定义 受 在哪里是一个权衡系数。方程(4)是控制系统,我们将关注。针对方程(4),我们的目标是找到一个控制功能最小化目标函数如下: 在哪里是损失的总和,对网络安全的投资。
为研究的动力学控制系统(4),我们可以计算出基本的繁殖数量和平衡的动力学微分方程理论(26]。从方程(4),很容易发现第四个方程不会影响的动力学方程(4)。不失一般性,我们可以省略第四个方程当讨论动力学方程(4)。它是容易的表达基本的繁殖数量,这是由
当 ,方程(4)唯一的平衡 这意味着网络病毒将完全消除时间的评估。当 ,方程(4)流行的平衡除了 ,在哪里表达的是
3所示。解决最优控制策略
获取最优控制的解决方案,我们需要定义的拉格朗日和哈密顿函数最优控制问题(4)和(5)。事实上,可以给出的最优问题的拉格朗日
接下来,我们将寻求一个最优的函数满足的积分方程(8)是最低的。为此,我们定义哈密顿如下:
定理1。存在一个最优控制函数这样 。
证明。根据Kamien和施瓦茨的结果(27),很容易证实的存在一个最优控制函数系统(4)。
首先,控制集和相应的状态变量不是空的。控制设置凸和关闭。同时,系统方程的右边部分(4)是有界和连续的,可以写的线性函数状态变量。除此之外,
上凸
,并且存在一个常数
和两个正数和这样
因此,我们得出结论,存在一个最优控制函数。
接下来,我们将找到最优解决方案通过Pontryagin的最大原则。
定理2。给出一个最优控制变量和相应的系统解决方案(4), , , ,和 ,存在伴随变量 令人满意的 与边界条件
证明。通过区分哈密顿(8)对状态变量 和 我们获得伴随系统如下: 利用最优性条件,我们有 由此可见, 考虑到可行域的功能 ,我们获得 因此,我们可以有一个最优控制函数如下: 因此,我们有以下优化系统:
4所示。数值模拟
在本节中,将会进行数值模拟来比较系统(1)没有与系统最优控制(16)与最优控制、系统(1)和(16用龙格-库塔四阶)将得到解决。如表所示1的参数值。此外,我们假设系统的初始状态 数据2和3描述的数值结果和 ,分别。
图2表明暴露节点的增长率显著降低系统的最优控制,进化速度从暴露节点被感染节点明显放缓。因此,采取最优控制措施,网络管理人员可以有更多的时间来保护信息系统当病毒侵入。
一样的图2,图3表明感染节点的增长率远低于最优控制措施,没有最优的控制措施。此外,感染节点规模也减少了网络系统的最优控制。
为测量的发展随着时间的推移,最优控制策略4被描述。从图4,一个可以看到控制策略保持稳定状态,然后控制的强度增加而增加受感染的节点。随后,控制强度降低,减少病毒的传播。
5。结论
这项工作的目的是模拟病毒患病率在point-to-group信息共享网络,然后找出某些控制病毒传播的最优策略。考虑到投资和收益的权衡,网络安全防御措施的强度应该随病毒损伤的严重程度。因此,基于e-SEIR模型(24),我们考虑控制参数随着时间而改变。首先,我们提出了目标函数,研究最优控制策略参数 。第二,最优控制策略的存在性和唯一性。最后,执行一些数值实验,表明病毒流行的规模和速度将大大减少通过最优控制策略。在未来,我们需要更多努力来跟踪真实数据来测试我们的结果。
数据可用性
所有的数据用于支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作得到了中国山西奖学金委员会支持的研究项目(2020 - 139),培养优秀科研项目的高等教育机构在山西(2020 kj025),重庆市教育委员会科学技术研究项目(批准号。KJZD-K201901504和KJQN201901537),中科院“西部之光”项目,教育部人文社会科学研究(19 yjczh047)和忻州教师大学学术领袖项目。