文摘
传统方法对空气弹簧的刚度分析是基于确定性的假设的参数是固定的。然而,不确定性广泛存在,空气弹簧的力学性质对这些不确定因素非常敏感。空气弹簧模型的不确定性,介绍了区间/随机变量模型。响应分析的区间/随机变量模型的空气弹簧系统,一个新的统一的正交多项式展开法,命名为稀疏quadrature-based间隔和随机时刻任意多项式混沌方法(SQ-IRMAPC)。SQ-IRMAPC,声学系统的反应相关的间隔和随机变量是基于当下任意正交多项式近似的扩张。有效地计算和随机正交多项式系数的区间扩张,介绍了稀疏的正交。拟议中的SQ-IRMAPC来分析一个空气弹簧的力学性能与间隔和/或随机变量,及其有效性已被充分证明比较它和最近提出的正交polynomial-based间隔和随机分析方法。
1。介绍
空气弹簧是广泛用于隔离振动提高乘客的舒适铁路车辆。刚度是一个重要的特征参数对空气弹簧的性能进行评估。传统方法分析空气弹簧的刚度是确定性方法的输入参数是固定的(1]。然而,由于制造误差和其他因素,相关材料性能的不确定性是不可避免的。(所示1),空气弹簧的刚度非常敏感的输入参数,如绳角和材料。因此,它是理想的预测空气弹簧系统的响应的不确定性。
空气弹簧的不确定性,应该建立合适的不确定的模型来描述不确定参数。概率统计方法可以被视为最有价值的不确定性分析方法,因为它可以为工程设计提供详细的统计特性的响应(2]。在概率统计方法,被建模为一个随机变量的不确定性,其详细的统计特性是可用的。研究在随机不确定系统的响应分析是相当成熟,提出了不同的概率方法,包括蒙特卡罗方法(MCM) [3),扰动随机方法(4),和多项式混沌方法(5,6]。在各种概率方法中,多项式混沌方法是最受欢迎的不确定性传播随机分析方法由于其良好的精度和效率。
在多项式混沌方法,响应的兴趣是近似正交多项式(7]。利用最优随机多项式的基础上,可以收敛指数多项式混沌方法进行随机分析。为了构造最优随机多项式的基础上,大量的多项式混沌方法已经开发(8- - - - - -10]。广义多项式混沌(gPC)已成为使用最广泛的多项式混沌方法由于易于多项式的基础建设(7]。gPC, Askey计划采用的正交多项式建立多项式混沌扩张。然而,Askey方案只能提供最优多项式依据一些众所周知的概率分布。对于复杂的概率分布的随机问题,非线性变量变换应该采用gPC和gPC的准确性可能恶化。获得最优随机多项式的基础上任意概率分布有关,任意多项式混沌(APC)开发。在APC的框架8),最优随机多项式与任意的pdf文件可以构造数值基础。最初,APC的多项式的基础是构建根据使用PDF gram - schmidt正交化。随后,Oladyshkin等人发现,APC可以直接基于矩阵的随机变量(9]。基于当下任意多项式混沌(MAPC)可以避免的拟合误差引入的建设为随机变量PDF, MAPC的收敛性明显优于传统的APC (10]。
在这些上面的随机方法,需要大量的统计数据获得的时刻或PDF随机变量。然而,在实践中,可用的数据可能不足以构建精确的统计特性的随机变量。有限的概率信息的不确定性问题,大量的非概率方法和不精确概率方法已经开发出来,如区间分析(11,12),模糊集(13,14],p-box理论[15),证据理论(16- - - - - -18]。在大多数这些非概率方法,定义的不精确概率不确定参数是必需的,而在区间的方法,只能获得变量的范围。在实践中,作为一个不确定的边界参数是更方便,区间分析技术已成为一个非常流行的非概率方法。过去几十年里,大量的区间分析技术已经开发出来,比如一阶摄动技术(19),修改后的一阶摄动技术(20.),间隔因子技术(21),技术理性的扩张(22],多项式区间扩张方法[23,24),和顶点法(25,26]。
正如上面提到的,概率法和区间法适合解决不确定问题与纯随机变量或纯区间变量。但在实际工程中,间隔和随机变量可能存在同时如果可用的信息不确定参数是不同的。因此,工程应用提示一个不断增长的需求开发混合区间和随机分析方法。特别是,大量的混合时间间隔和随机分析方法提出了基于摄动技术和多项式混沌理论。混合摄动方法可以实现高效的间隔和随机变量的不确定性分析,但它仅限于小不确定问题的不确定性水平(27]。解决大型混合不确定问题的不确定性水平,吴等人提出了一种混合集成切比雪夫多项式混沌法区间扩张和gPC (28]。基于gPC和dimension-wise分析技术、许等人开发了一个混合动力响应分析的不确定性分析方法以系统[29日]。基于参数的盖根堡多项式Askey计划,阴等人提出了一个统一的区间多项式混沌方法和随机分析声学系统[30.]。改善混合多项式混沌方法的准确性不确定复杂的概率分布,以问题APC最近开发了混合时间间隔和随机分析(31日,32]。APC可以获得最优随机多项式任意pdf文档,相关基础APC-based混合不确定性分析方法显示了更好的精度比传统的gPC-based混合不确定性分析方法。
从整体的角度来看,APC领域取得了巨大的成功间隔和随机分析。在间隔和随机任意多项式混沌方法,使用高斯求积计算膨胀系数。然而,IRAPC通过使用高斯求积的计算负担指数变量的数量将会增加。空气弹簧系统总是涉及大量的不确定参数时,计算负担和空气弹簧的有限元分析是相对较大。因此,有必要提高计算效率的不确定性量化IRAPC特别是用于空气弹簧的响应分析。
本文旨在开发一个健壮的正交多项式方法扩张区间和/或空气弹簧系统的随机分析具有任意统计数据。避免错误估计引入的随机变量的PDF格式,介绍了基于当下多项式混沌混合区间和随机分析。尤其是最优多项式的选择区间分析的基础是合理的基于当下多项式混沌理论的框架。有效地计算基于当下的膨胀系数多项式混沌,介绍了稀疏的正交。基于基于当下间隔和随机多项式混沌扩张和稀疏网格正交,新方法命名为稀疏Quadrature-based间隔和随机时刻任意多项式混沌(SQ-IRMAPC)方法。该方法被用于分析对空气弹簧系统响应的不确定性,以及该方法的有效性与最近提议的间隔和随机APC的方法。注意,该方法之间的主要区别,最近提议间隔,随机APC方法不同的集成方法用于计算膨胀系数。
2。MAPC基本理论
MAPC的正交多项式,来源于时刻的随机变量,将用于近似响应的兴趣。MAPC扩张的近似函数可以表示如下: 在哪里的保留订单MAPC扩张,代表了膨胀系数估计,表示多项式的基础秩序 ,和随机变量的不同而变化。在MAPC [9],多项式的基础上可根据随机变量不知道PDF的时刻。作为比较,gPC的多项式的基础(7)和原始APC (8)获得条件是随机变量的PDF是定义良好的。
的正交多项式MAPC可以用这位连任三届的递归式如下:
在上面的方程中,和表示要估计的递推系数。在MAPC的框架,和可以从一个汉克尔矩阵的随机时刻。汉克尔矩阵的随机时刻可以表示为9] 在哪里 是th随机变量和的时刻应不少于MAPC扩张的保留订单。
条件下,汉克尔矩阵是正定的柯列斯基分解可以计算,即 。Rutishauser [32)派生的显式解析公式获得柯列斯基的递推系数矩阵的条目 。递推系数的可以表示为 在哪里 是th行th列的元素 , ,和 。多项式的基础上通过方程(2)∼(4)可以满足正交关系如下: 在哪里克罗内克符号和指示表示随机变量的PDF。在MAPC的框架,可以任意离散或连续函数。
在上面的方程可以计算积分的高斯求积如下(32]: 在哪里和分别是高斯节点和高斯权重,是高斯节点的总数,和可以从雅可比矩阵的特征值分解组装和 。特别是,雅可比矩阵可以表示为(9]
特别是,如果 和 ,在这是 尺寸单位矩阵,然后期望的和可以由 在哪里是第一个组件的吗th的列向量 。的系数可以任意设置这样的约定吗 。
3所示。SQ-IRMAPC方法
在本节中,介绍了MAPC间隔和随机分析,建立IRMAPC扩张。此外,稀疏的正交计算IRMAPC的膨胀系数。IRMAPC和稀疏的正交的结合,一种新的混合不确定性分析方法,称为稀疏Quadrature-based间隔和随机时刻任意多项式混沌(SQ-IRMAPC)方法,提出了。
3.1。IRMAPC扩张
在本节中,随机和区间变量被认为是在 。含有随机变量的函数和一个区间变量 。因此,函数的输出将会有两个随机变量和区间的特点,并提出IRMAPC方法近似的反应IRMAPC扩张。
IRMAPC扩张函数可以表示为 在哪里
在传统IRMAPC,膨胀系数计算了 在哪里 和 表示区间变量和随机变量的高斯节点,分别 是高斯的重量, 表示高斯相关节点的数量th变量,和表示高斯相关节点和重量th变量,分别和可以通过方程计算(8)和(9)。
它可以找到从方程(12)的总数确定系数是高斯点 。显然,高斯点的总数将增加指数与越来越多的不确定参数,这可能会导致巨大的计算成本。为了提高计算效率,基于当下多项式混沌扩张区间和随机分析,引进稀疏高斯求积计算膨胀系数。
3.2。利用稀疏正交确定膨胀系数
稀疏正交是基于Smolyak算法,已经广泛应用于数值积分和插值和图像处理领域。在本节中,稀疏的基本原理推导出正交计算膨胀系数。
一个连续函数上定义 可以表示为多项式近似的混乱扩张 ,在哪里表示多项式的保留顺序混乱的扩张。根据Smolyak的嵌套层次基础原理算法,近似函数的差分格式33]
此外,对于一个 - - - - - -尺寸问题,近似函数与秩序Smolyak算法可以对比 在哪里表示多维指标之和 和表达张量积的操作。通过张量积的运算、方程(14)可以表示为
因此,广场上的集成点网格可以被定义为
集成点的数量估计基于稀疏网格方法
相应的权重系数
3.3。最优选择多项式IRMAPC扩张的基础
根据Witteveen和场(8),MAPC扩张的准确性通过使用不同多项式的基础上千差万别。因此,当MAPC扩张延长间隔分析和混合动力分析、关键过程是确定最优多项式的基础与每个随机变量和每个区间变量。随机变量的多项式的基础来源于随机变量的时刻(通过方程(2)∼(4)可以被视为最优随机多项式的基础(11]。为区间变量,也可能存在一个最优区间多项式的基础上。在以下文本,最优选择多项式MAPC将讨论区间分析的基础。
本节的主要目的是选择一个最优区间多项式依据区间分析的框架,基于当下任意正交多项式的扩张。区间分析是找到响应的最大值和最小值。理论上,基于当下的准确性任意多项式通过减少误差区间扩张可以提高基于当下任意正交多项式在最大和最小扩张。然而,最大或最小可能任意点的偏差范围区间变量。因此,当使用基于当下任意正交多项式展开近似响应,我们可以确定可能误差的最大值在一个区间如下(33]: 在哪里表示阶基于当下任意正交多项式的扩张。在所有的阶基于当下任意正交多项式扩展,如果满意 然后可以被视为最优区间多项式的基础。在方程(14),表示全民所有阶基于当下任意正交多项式的扩张。根据理论,维尔斯特拉斯(33),是可用的。然而,当 ,的计算是相当困难的。此外,多项式的基础保留顺序的不同而变化 。因此,在一般情况下,一个多项式的基础是相对较小的数值近似代替吗 。在本文中,基于当下任意多项式的基础将使用相对较小的区间多项式的基础。
根据正交理论的扩张,多项式的基础取决于其相关权函数或时刻。为了确定区间多项式的基础上,权函数的影响将调查了通过一个简单的算例。
例子:假设 ,变化的范围在哪里(−1,1)。
考虑不同的权重函数,包括切比雪夫扩张的权函数;权函数的权重为零的中点或边界间隔(−1,1)如图1;这两种权重函数命名为凸形状权函数和凹形状权函数,分别。为了清楚起见,每个权重函数的表达式是列在表中1。基于当下任意正交多项式的扩张与不同重量功能如图2。
这可以从图中找到2那基于当下任意正交多项式的扩张与凸或凹形状相对较大的权函数。的主要原因可能是基于当下任意正交多项式扩张将引入大错误在域重量接近于零(32]。作为对比,基于当下任意切比雪夫正交多项式展开的权函数或常量权函数很小。此外,它可以从图中找到2那基于当下任意切比雪夫正交多项式展开的权函数比与相对较小的恒定的权函数。基于上述分析,切比雪夫加权函数将被用作重量区间多项式的函数基础上,它可以表示为
从应用程序的MAPC随机分析,我们可以发现,当那一刻是设置为 ,可以正交多项式 。这表明,将正交多项式基础加权函数是由切比雪夫多项式的时刻 在哪里 切比雪夫多项式的权函数。因此,可以确定每个区间变量的时刻根据方程(22)。
一旦决定的那一刻,区间分析的多项式基础可以通过方程计算(2)∼(4)。
3.4。计算统计的范围
计算统计的范围,有两个主要步骤。在第一步中,被视为常数区间变量参数,和MAPC扩张可以写成下面的形式: 在哪里
由于正交多项式的基础上,响应的期望和方差可以表示的膨胀系数如下:
用方程(18)(19)和(20.),我们可以重写的期望和方差响应如下:
在第二步中,我们可以计算的期望和方差通过以下过程:
从上面的过程,我们可以发现感兴趣的反应混合区间和随机变量可以用SQ-IRMAPC近似在一个统一的形式。本文的最大响应值的均值和方差计算通过使用遗传算法。
4所示。SQ-IRMAPC空气弹簧刚度分析的混合时间间隔和随机变量
4.1。建立了空气弹簧的有限元模型
图3显示了空气弹簧的有限元模型。的牛顿迭代法进行了分析计算,空气弹簧作用分为很多载荷增量的步骤(34]。在每个loaded-increment步骤,建立了近似方程。这个分析是利用有限元分析完成。在有限元分析中,流体元素命名FAX2用于模拟空气,在波纹管模拟rebar-reinforced表面元素和4-node双线性轴对称固体元素。有24183个1512个SFMAX1 CAX4R元素和元素在整个有限元模型。通过有限元分析,可以得到空气弹簧的刚度。更多细节可以找到相关的计算(1]。
4.2。空气弹簧的刚度与间隔和随机变量
本文将应用提出了混合区间SQ-IRMAPC方法和随机分析的空气弹簧。不确定空气弹簧系统的不确定参数的随机时刻或pdf文件是可用的可视为随机变量,用 ,而其他的不确定参数可视为区间变量和用 。因此,空气弹簧的刚度可以表示为 。基于SQ-IRMAPC扩张,可以近似刚度 在哪里
在上面的方程中, 表示节点的空气弹簧的刚度稀疏正交。后确定多项式的基础和膨胀系数,期望和方差的边界刚度可以根据方程(26)∼(28)。
的主要过程SQ-IRMAPC空气弹簧的刚度分析方法与混合时间间隔和随机不确定性可以概括为步骤1:确定随机变量的时刻步骤2:确定根据方程(区间变量的22)步骤3:计算多项式的基础上通过方程(2)∼(4)步骤4:产生高斯节点和权重通过方程(8)∼(9)第五步:计算节点的空气弹簧的刚度稀疏正交第六步:获得膨胀系数通过方程(30.)第七步:计算的期望和方差的刚度通过方程(26)∼(28)
5。数值例子
5.1。空气弹簧的刚度分析与区间的不确定性
在本节中,空气弹簧的不确定参数假设为区间变量。获得不确定参数的偏差范围,五个空气弹簧的材料性质不同使用阶段的测试。图4显示了空气弹簧是用来确定不确定参数的不确定范围。表1列出了不同参数的变化范围。
(一)
(b)
SQ-IRMAPC用于预测区间不确定性的空气弹簧的刚度。调查SQ-IRMAPC的计算效率和准确性,传统的IRAPC [31日]介绍了计算空气弹簧的反应。由于巨大的蒙特卡罗方法的计算成本,高阶勒让德扩张法将被用作参考方法在这个数值的例子(31日]。空气弹簧的刚度计算通过使用不同的方法显示在图4。空气弹簧的初始压力是0.5∼0.68 MPa。SQ-IRMAPC IRAPC,保留订单是2。
从图可以看出5上界的刚度比下界的刚度大得多,这意味着刚度不确定参数非常敏感。因此,有必要考虑不确定性分析空气弹簧的刚度。
通过比较使用不同的方法计算出的结果,可以发现IRAPC和SQ-IRMAPC都可以实现高精度。的相对误差SQ-IRMAPC略高于IRAPC;主要原因是大量的多项式的基础是IRAPC留存。然而,增加多项式基的数量将会导致更大的计算负担。的计算时间SQ-IRMAPC IRAPC 和 。因此,与传统的IRAPC相比,提出SQ-IRMAPC可以大大提高计算效率。
5.2。空气弹簧的刚度分析与混合时间间隔和随机不确定性
在这个数值的例子中,杨氏模量和线的截面假设为随机变量,而其他参数被假定为区间变量见表2。尤其是,只有原始统计数据的随机变量。杨氏模量的原始统计数据和截面线所示的数据6和7。
拟议中的SQ-IRMAPC和IRAPCM都用来计算空气弹簧的刚度。在SQ-IRMAPC IRAPCM,保留订单设置为2。表3显示了相对误差范围的期望和方差由传统IRAPCM和SQ-IRMAPC产生。参考结果获得通过使用高阶勒让德扩张。此外,不同的方法的执行时间也见表3。
从表3相对误差产生的提议SQ-IRMAPC和传统IRAPC还不到3%。它表明该SQ-IRMAPC能实现高精度的空气弹簧的刚度分析混合区间和随机不确定性。然而,它可以从表中找到3的执行时间提出SQ-IRMAPC比传统IRAPC要少得多。因此,从应用程序提出了混合不确定性SQ-IRMAPC空气弹簧的分析,我们可以得出结论,提出比传统IRAPC SQ-IRMAPC可以获得更高的效率。
6。结论
本文介绍了区间和随机模型来处理不确定性在空气弹簧。空气弹簧系统的有效计算刚度区间和随机变量,一个新的时间间隔和随机多项式混沌方法命名为稀疏Quadrature-based间隔和随机时刻任意多项式混沌(SQ-IRMAPC)提出。在SQ-IRMAPC,基于当下任意多项式混沌用于近似响应的兴趣。特别是,基于当下的最优选择多项式对区间分析调查。膨胀系数是计算通过使用稀疏正交。SQ-IRMAPC已经申请了空气弹簧的刚度不确定性,主要结论包括以下:(1)基于当下的最优选择多项式可以改善的准确性基于当下多项式混沌扩张区间分析(2)空气弹簧的刚度对不确定参数非常敏感;因此,应该考虑不确定性的空气弹簧的刚度分析(3)相比传统的区间和随机任意多项式混沌方法基于高斯求积,稀疏quadrature-based间隔和随机任意多项式混沌方法可以大大提高计算效率
数据可用性
多项式混沌方法的MATLAB代码用于支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
本文是在湖南省自然科学基金的支持下,中国(没有。2020 jj5686)。