文摘

通过一阶的均值法,我们引入极限环的最大数量可以从哈密顿系统的周期轨道分岔。此外,扰动已被用于一个特定类的多项式微分系统。

1。介绍

正如我们知道的第二部分([16希尔伯特问题1,2)想找一个统一的上界极限环的数量的多项式微分系统的给定的程度,我们参考读者看到[3,4]。极限环问题,中心问题是固定在指定类的系统。例如,我们指Kukles系统(见,例如,(5- - - - - -9])和Lienard系统给出的 在哪里 是一个多项式的变量 的程度 。对于这些系统,1977年,林家的et al。10提出猜想,如果 有学位 ,然后系统(1最多) 极限环(·)表示的整数部分功能。他们证明这个猜想 。的猜想 最近证明Chengzi和Llibre [11]。

假设多项式 和 在变量 度 和 ,分别;然后,Llibre et al。12)建立广义多项式微分系统,如下: 在哪里 极限环。

Llibre和Makhlouf13]研究了极限环的数量以下的广义多项式微分系统: 在哪里 是一个多项式的学位 , ,和 是正整数,然后呢 是一个小的参数。

他们介绍了以下定理。

定理1(见[13])。让 多项式的次数 ,和 ;然后,多项式微分系统(3)至少可以有 极限环。

另外,建元和Shuliang [14]研究了极限环的最大数量的多项式微分系统: 在哪里 是一个小的参数, , ,和 是一个多项式的学位 与 。

在这个手稿,我们讨论的最大极限环数的多项式微分系统: 在哪里 是一个多项式的学位 , 是一个小参数, 。很明显,系统(5), 是一个哈密顿系统哈密顿吗

更准确地说,我们的主要结果如下。

定理2。足够小的 ,系统(5最多) 极限环分支周期轨道的中心 , ,通过使用平均一阶理论。
定理的证明2节中给出3。

定理3。考虑系统(5), ,在哪里 是一个正整数;然后,对于 足够小,极限环的最大数量的多项式微分系统(5)分支周期轨道的中心 使用平均一阶理论 定理的证明3在第四节给出。同时,给出了一个例子极限环(见图1)。


图1
系统的极限环的例子1与 。

2。一阶均值法

在这里,我们国家的基本结果平均一阶理论,用来证明的主要结果。

定理4。考虑以下两个初值问题: 在哪里 和 这是一个开放的领域 , , , 和 周期函数的周期吗 的变量 ,和 的平均函数吗 关于 ,也就是说,

假设(我) , , , ,和 定义良好的、持续的和有界不断独立 在 。(2) 是一个常数独立的 。(3) 属于 时间尺度上 。然后,以下语句:(一)时间尺度上 ,我们有 (b)如果 是一个平均系统的平衡点(10),这样 然后系统(9)有一个 - - - - - -周期解 作为 (c)如果(13)是负的,相应的周期解 方程(9)根据 是渐近稳定的 足够小;如果(13)是正的,那么它是不稳定的

平均理论的更多信息,请参阅,e . g。,(15- - - - - -17]。

3所示。定理的证明2

的 - - - - - -三角函数定义为李亚普诺夫(18]。让 和 是下面的初值问题的解决方案:

此外,满足以下属性:(一)的函数 和 是 定期与 在哪里 是伽玛函数。(b)为 ,我们有 和 (c) (d)让 和 是 - - - - - -三角函数,当 和 甚至都是(见[19])

我们需要一阶平均理论证明定理2。我们写系统(5) - - - - - -极坐标 ,在哪里 和 。通过这种方式,系统(5)将成为应用平均写在标准形式理论。如果我们写 ,然后系统(5)成为

治疗 作为自变量,我们从系统(17)以下: 在哪里

通过介绍了部分的符号2,我们得到 我们写 在哪里

众所周知,

因此,

简单的计算,让 ;因此,(24可以减少)

积极的0的数量 ,正如我们所知,等于以下: 然后,找到真正的积极的根源 ,我们必须找到一个多项式的变量的零 :

现在,我们把多项式(27)如下:

的程度 是有界的 ,我们得出这样的结论: 有最多 积极的根 。因此,定理2是证明。

4所示。定理的证明3

考虑多项式微分系统(5),问= np。从方程(25),我们得到

零的正数 等于:

我们写(30.)如下:

让我们写(31日),

找到积极的多项式的根的数量 ,我们区分两种情况。

案例1。为 ,多项式项数(32)是 现在,笛卡尔附录将被应用的定理,以及适当的系数 可以选择的简单积极的零号 在大多数 因此,(a)的定理3是证明。

例2。为 ,多项式项数(32)是 笛卡尔阑尾的定理,我们可以选择适当的系数 为了简单积极的根数 最多是 因此,(b)的定理3是证明。

例1。我们考虑系统(5), ,和 在这种情况下, 和 和 时期是T-periodic函数 。从方程(5),我们得到 在使用(16),我们得到 所以, 这个多项式有两个积极的实根, 和 。根据声明(a)的定理3,系统有两个极限环分支周期轨道的中心 , ,使用一阶的平均理论。图1展示了极限环1。

附录

我们记得笛卡尔定理对于真正的多项式实根数(例如,证据,看到[20.])。

笛卡尔定理:考虑以下实多项式: 与 和 真正的常数 。自 ,它可以表示, 和 承认一个变化的迹象。如果数量的变化迹象 ,然后 承认最多 积极的真正的零。在aditios,它总是可以挑选的系数 ,在哪里 完全承认 积极的真正的零。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

这个工作没有任何的利益冲突。

确认

第五作者扩展他们的感谢院长以来哈立德国王大学科研经费申请这项工作通过一个研究小组计划格兰特(R.G.P-2/1/42)。