文摘
描述和分析Rucklidge系统的不稳定周期轨道,一个所谓的符号编码方法介绍,已被证明是一种有效的工具来探索隐藏在这些周期轨道的拓扑属性。在这部作品中,不稳定周期轨道到一定拓扑长度Rucklidge系统通过提出了变分法系统地调查。Rucklidge系统的动力学探索通过相图分析,李雅普诺夫指数,庞加莱首先返回地图。符号编码周期轨道的两个和四个字母基于轨迹相空间中的拓扑结构下实现两组参数值。同时,分岔周期轨道的探索,大大提高Rucklidge的动态系统的理解。multiple-letter符号编码方法也可以适用于其他非线性动力系统。
1。介绍
混乱,普遍的非线性现象,已经成为一个受欢迎的研究兴趣,在过去的半个世纪里,在多元化和多学科科学社区。经典洛伦兹系统,描述了大气对流,是一个著名的混乱的确定性系统和混乱的历史上一个重要的里程碑(1,2]。自那时以来,各种混沌系统具有特殊的动态行为已被许多研究人员(构造3- - - - - -5]。例如,Rossler系统提出了只有一个非线性项(6),陈系统构造使用混乱anticontrol方法(7),和陆系统进一步发现(8),这是关键陈洛伦兹系统和系统之间的桥梁。一些混沌系统也提出了使用由Sprott[详尽的计算机方法9- - - - - -11]。最近,在外部周期性扰动的存在,周期和混沌运动的摄动修正平等width-Burgers方程(12)和摄动双重权力Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程(13)进行了探讨。
在流体力学中,二维对流的问题在水平层的布西涅斯克流体横向常量被Rucklidge[探索14]。Rucklidge系统是一个经典混沌系统显示极其丰富的动态行为,它有潜在应用领域的安全通信。许多理论和数值结果Rucklidge系统已经在文献调查。在[15),分数阶的同步Rucklidge系统,研究了基于三种不同的方案。霍普夫分岔Rucklidge系统研究的分析方法(16),连接轨道的存在也证明。在[17],作者设计和模拟混沌振荡器的同步和掩蔽通信电路和研究Rucklidge吸引子。讨论了小振幅Rucklidge系统极限环(18,分岔分析平衡是由计算第二个李雅普诺夫系数或第一个李雅普诺夫在稳定边界的值(19]。Rucklidge的混沌行为的控制系统进行了分析通过各种控制技术(20.- - - - - -22]。在[23),分析Rucklidge系统的可积性探索。最近,一种新的方法来生成double-scroll混沌吸引子从Rucklidge系统通过反正切函数提出了系列(24]。
湍流流动的不稳定周期轨道最近在流体动力学的研究引起了极大的关注,因为他们提供的基石无序动力学(25]。希望不稳定周期轨道可以用作湍动的基本组件。在混沌系统中,不稳定周期轨道也扮演了一个重要的角色在动态行为的分析。除了人口嵌入式奇怪吸引子(26],混沌系统的动态平均值可以计算周期扩张(27,28),表达长期平均在混沌轨道的平均周期轨道,以分层的方式。如果系统是双曲线,长周期轨道跟踪的短,周期扩张收敛迅速增加的周期长度(29日,30.]。
非线性动力系统的不稳定周期轨道不容易提取,特别是在高维混沌系统,以及各种设计方法出现了定位周期轨道在过去的几十年里31日]。最近的研究集中在寻找周期轨道快速和准确,和变分法,介绍了通过局域网和Cvitanović,可以用来计算周期轨道方便(32]。另一个问题是,即使一些周期性的轨道计算,它仍不确定是否所有的短周期轨道。解决这个问题的一个关键步骤是建立适当的符号动力学,可编码所有可能的轨道及其拓扑布局(33- - - - - -35]。符号动力学进行彻底调查,通常用于一维单峰映射。然而,很明显难以构建符号动力学与多个临界点或2 d地图地图。在上述研究工作,只有少数分散Rucklidge系统周期轨道提取使用现有的数值方法。由于缺乏有效的建立适当的符号动力学,没有线索存在多少周期轨道和它们是如何相互关联的。为了描述和分析Rucklidge系统的不稳定周期轨道,本文总体方案提出构建多元化的符号编码基于轨道的周期轨道在相空间拓扑发现周期轨道系统的分类。
本文的主要贡献和新奇总结如下。(1)我们系统地研究短期不稳定周期轨道长度一定的拓扑Rucklidge系统提出了变分法。(2)我们开发一个拓扑分类方法和构造不同符号编码的不稳定周期轨道的两个和四个字母Rucklidge系统两套参数。与两个字母的符号编码方法相比,multiple-letter符号编码方法可以作为证据的概念更能燃料的研究涉及到复杂的系统。(3)我们探索音叉分岔,倍周期分岔,界定分歧Rucklidge系统周期轨道的同伦进化方法。
剩下的纸是组织如下。节2Rucklidge的动力系统进行了讨论,和经典的非线性分析工具的使用有助于证实其混乱的行为。在第三节,定位不稳定周期轨道的有效Rucklidge混沌系统,介绍了变分法。第四节介绍了这项工作的主要结果,分类的一般方法周期轨道的混沌系统。不同的符号编码的周期轨道Rucklidge系统构造两组不同的参数 和 。在第五节Rucklidge系统,各种分岔进行了讨论,从而显著改善Rucklidge的动态系统的理解。一些结论是在上一节。
2。Rucklidge的动力学系统
Rucklidge系统是一个双对流模型的过程,在一个实行垂直磁场模型对流在一层均匀旋转的流体,与运动局限于高而薄的卷。Rucklidge系统也有类似的形式到洛伦兹系统,但它不属于广义洛伦兹系统的范畴。两个二次非线性的系统是由下列常微分方程描述(14]: 在哪里 状态变量,这两个参数展开和是积极的真正的常数。在这些状态变量,对流振幅成正比,的变化率吗 ,和水平平均温度成正比。方程的体积收缩1可以评估) ,这意味着系统是耗散什么时候 。因此,Rucklidge系统的轨迹最终收敛于一组测量零以指数的速度 ,和当时的渐近运动通过流将定居到一个吸引子。
如方程所示(1),Rucklidge系统是对称的 - - - - - -轴。让左边的系统(1)等于零,积极的参数 ,三个平衡系统(点1)可以得到:
的雅可比矩阵方程(1)是
对于典型的参数 ,Rucklidge系统是处于一种混乱的状态。图1显示系统的混沌轨迹在不同阶段空间数值模拟获得的初始条件 , ,和 。上述参数的特征值可以计算雅可比矩阵(3),如下:
(一)
(b)
(c)
(d)
特征值表明是一个马鞍和是两个不稳定的动态点。此外,混乱的轨迹有两个翅膀交替旋转两个nonhyperbolic固定点附近,和旋转周期计算从上面的特征值 。相应地,定点的弗洛凯乘数是 和 。
在混沌系统中,参数的变化会影响系统的稳定性,导致该系统在一个不同的状态。获得系统的动态模式(1)对不同参数,划分图可以画。图2提出了一种全局的观点 参数空间,表明不同的动态行为特征不同的音调。最大李雅普诺夫指数计算得到的伪彩色映射 网格的参数 ,颜色的位置与最大李雅普诺夫指数的大小有关。深蓝的颜色对应于最消极的最大李雅普诺夫指数,代表一个固定的点,黄色对应于一个零值的最大李雅普诺夫指数,代表一个周期轨道,和红色对应于最积极的最大李雅普诺夫指数,代表混乱。
不同的参数值, ,对应于一个混乱的状态(见图2),固定的三个特征值点是 和 。因此,也为这些参数对应于两个saddle-foci。系统的部分维度,这表明吸引子的复杂性,也可以计算。的Kaplan-Yorke维度系统(1)被定义为 在哪里最大的整数表示满意 和 。因此,Kaplan-Yorke尺寸参数 是 。自从Kaplan-Yorke维度之间noninteger 2和3,它表明一个奇怪吸引子。混沌时间序列的功率谱和连续的宽带特性显然也支持这一结论,如图3。
(一)
(b)
的奇怪吸引子Rucklidge系统是由众多不稳定周期轨道,和第一个返回地图可以帮助做出初步预测周期轨道的符号编码的选择。我们选择上述两组参数,因为他们第一次返回映射图明显不同,这表明系统的周期轨道会有不同的复杂性。图4(一)显示的第一个返回地图Rucklidge系统参数 特殊的庞加莱截面 。地图是一张点集具有一定的层次结构。该参数是单峰的,这意味着所有的不稳定周期轨道可以用两个字母编码。然而,值得注意的是,第一个返回不是单峰映射参数 ,如图4 (b)。它提出了三峰返回地图,和四个分支存在,这意味着需要编码多个符号序列周期。在这种情况下,拓扑结构的不稳定周期轨道在相空间变得更加复杂,这是值得进一步研究。有效地计算不稳定的周期,变分法用于计算(32),并验证了该方法的适用性各种混沌系统(36- - - - - -38),包括耗散或哈密顿系统。我们将复习下一节中的变分计算方法。
(一)
(b)
3所示。变分计算方法
周期性的轨道是一个经典和量子混沌动力学的基础。当我们探索和寻求理解混沌系统的动力学,周期轨道的知识是至关重要的,因为它们的骨架整体动力学,特别是对于任何混沌不变量(39]。设计了许多数值方法计算周期轨道(31日),如逆迭代和牛顿方法,也适用于寻找周期1 d地图,多点拍摄方法,它适用于确定长周期连续时间流,和我们在这项研究中使用的变分法。变分法保留多点拍摄方法的鲁棒性,可以快速收敛于真实的周期轨道,当初始循环猜是适当的。在变分法的应用,一个虚拟的演化方程推导(32]: 在哪里 循环速度矢量,参数化 , 流速度矢量,是虚拟时间,相关的迭代的数量,是用来调整时期, 速度场的梯度矩阵。
单调减少成本函数存在时,循环发展向循环:
虚拟时间趋于无穷时,循环猜逐渐演变成真正的周期轨道。图5显示了变分法的原理图。不仅位置还在混沌吸引子的周期循环可以由变分法计算:
离散化的循环,采用有限差分格式:
我们采用五点近似: 在哪里 。离散化后,方程(6)成为 在哪里 , , ,和是一个 - - - - - -维行向量,这限制了协调变化。在实际计算中,可以使用带状右下方分解计划加速计算,并采用伍德伯里公式把循环和边界条件的计算(40]。此外,随着虚拟时间步骤不是很重要在某些情况下,较大的时间步长可以选择进行欧拉积分,从而使一个有效的寻找真正的周期轨道。
通过适当的修改,变分法还可以用来计算不变的花床和连接轨道在一个非线性动力系统41,42]。这个方法不仅可以用来计算周期与某些参数值也调查周期轨道的变形参数变化时(43]。在第五节中,我们将使用这种方法来分析Rucklidge系统分岔行为。
4所示。周期轨道的拓扑分类Rucklidge系统
在本节中,我们利用变分法计算周期轨道和构建适当的符号编码周期Rucklidge系统。经过几个短周期轨道,我们寻求见解的环绕行为轨道,提出一个系统的分类方法。我们提出本文的主要结果:不同的符号编码两个和四个字母Rucklidge系统中成功建立了两组参数,这表明在拓扑分类方法是有效的编码周期轨道。此处使用的搜索和分类过程也可以应用到其他低维混沌系统耗散。
4.1。周期轨道的两个字母的符号编码
我们计算的参数值的不稳定周期轨道 Rucklidge系统。在变分法的应用,有很多方法来初始化这个问题(44]。首先,猜想循环,适用于周期轨道的计算是一个先决条件。来洞察的一般形状周期性轨道,经典的四阶龙格-库塔算法最初用于集成动力系统数值,和快速傅里叶变换近的轨道碎片被计算。高频模式被移除,逆快速傅里叶变换的状态空间产生了循环平稳猜测可能被截取来初始化数值计算。它是方便和有效地定位周期轨道的初始化方法。
庞加莱第一次返回映射两个单调分支为这组参数意味着只需要两个符号实现分区的间隔。一个有趣的方法是提出建立符号编码利用拓扑的轨道。图6(一)显示了最短的周期,发现了一个简单的拓扑结构,通过变分方法,预测到的地方飞机。图6 (b)显示了发现周期和两个平衡和 。建立了周期性轨道的符号编码如下:(1)轨道段围绕左平衡一旦用了象征0(2)轨道段围绕正确的平衡一旦用符号1(3)长周期轨道编码使用0和1轨道碎片作为基本构建块
(一)
(b)
因此,周期性的轨道图6 (b)是周期01。但是,我们发现周期0和1不存在,所以他们修剪。图7(一)显示001年周期,代表轨道碎片,循环两次在左定点和正确的。图7 (b)显示0011年周期,由两个0的轨道碎片和两个1轨道碎片。数据7 (c)和7 (d)显示两个周期的拓扑长度5。使用定义的符号规则,周期的拓扑长度5,他们要求根据他们的拓扑表长度1。这两个简单的轨道段被视为基本构建块构造长周期轨道符号编码的基础上,与任何拓扑和周期轨道长度可以计算。此外,方程的对称性(1)代表交换对称0和1的符号序列。因此,001年周期对称对应是011,它们有相同的时期。周期01共轭与自身,是0011年周期。结果,没有其他循环周期01和0011年同期。
(一)
(b)
(c)
(d)
4.2。符号编码周期轨道的四个字母
我们现在调查Rucklidge系统的不稳定周期轨道参数 。我们所知,几乎没有关于这些参数值的不稳定周期信息,和更复杂的拓扑结构的调查很少报道。出于这个原因,我们的工作将扩大的拓扑分类方法建立适当的符号编码。尝试几次后,我们获得了一些短周期轨道,和循环猜测是初始化如下所述。我们数值综合方程(1),然后提取近轨道因不同的形状,并手动连接,形成封闭的轨道初始化搜索。这个初始化方法的计算提供了一个良好的循环短Rucklidge系统的不稳定周期轨道。图8(一个)显示最短的周期轨道相对简单的拓扑结构,这是一个转左定点。有四种不同情况下,周围的轨道上循环一次左右平衡,和三个周期轨道数据所示8 (b)- - - - - -8 (d)。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
符号编码用四个字母来建立标签这组参数下的周期如下:(1)光滑的椭圆形状,轨道段围绕向左或向右平衡一把象征用0或1(2)轨道段围绕向左或向右平衡一把形状的机翼,沿着相对较大的延伸 - - - - - -轴是用符号2或3(3)复杂的周期轨道编码通过使用上述四个轨道碎片作为基本构建块
这部小说符号编码方法意味着与拓扑周期长度的1是由符号编码的0,1,2,3。我们发现周期0和1是修剪,像以前的参数。这个循环图8(一个)被标记为周期2,其对称周期和周期3表示。这个循环图8 (b)由两个相对较小的轨道碎片的扩展 - - - - - -轴,所以贴上周期01。利用上面的四个基本构建块,其他周期可以计算符号编码和分类的小说。这个循环图8 (c)由一个0轨道碎片和一个3轨道碎片,所以它被称为循环03。数据8 (e)- - - - - -8 (g)与拓扑显示三个周期长度的3。这里采用的拓扑分类方法显示其有效性在编码周期。图8 (h)显示了一个长周期的拓扑长度8。如此复杂的不稳定周期轨道很难找到没有指导和知识的符号编码。我们发现总共14不稳定周期轨道的最大拓扑长度3和排序表2。
一旦不稳定周期轨道从混沌吸引子中提取,我们可以继续计算拓扑不变量,如链性每个周期的数量和连接的双周期(45]。两个周期的链接数量表示的匝数相互交织在一起的。因此, ,和连接在一个简单的方法可以计算出数量: 在哪里表示跨越两国签署周期轨道和 。因此,连接之间的循环次数和可以计算通过计算签署过境点的数量。可以采取或根据是否交叉或在十字架下45]。有许多应用程序链接的数量在不同的学科46,47]。相应地,对循环链性数量 ,代表一个周期轨道与自身的联系,可以计算吗
我们也计算了连接数量的其他周期和周期2和14个周期的链性数字拓扑长度3 Rucklidge系统 ,如表所示2。Rucklidge系统的不稳定周期轨道与当前讨论的参数值有更复杂的拓扑结构,因此,必须调用符号编码由四个字母构成,通常很难构造。拓扑分析提供了一个途径建立有效的符号编码和系统分类所有短周期在一个混沌系统。第一个返回地图有时可能会非常复杂,并且很难进行象征性的分区。的拓扑属性轨迹可以揭示迷人的动态结构,这可能不是直接可见庞加莱第一返回地图但是非常重要的构造一个符号编码。决定如何实施等高维状态空间中观察到流体系统仍然是一个悬而未决的问题。表明本文装配时间较短的周期轨道碎片是一种很有前途的候选人方便编码周期轨道没有调用非常复杂的拓扑结构的研究。
5。分岔周期的Rucklidge系统
周期及其稳定性的数量可以改变参数改变时,即分岔行为可以多样化48]。在本节中,我们探索的三个不同的分岔周期Rucklidge进化系统通过引入同伦方法,它显示了在不同情况下的灵活性。Rucklidge系统,当参数值稍有变化,大多数短周期轨道几乎没有变形,除非系统发生分岔。因此,循环使用可以选择特定的参数作为初始循环下计算的。同伦演化方法的优点是,不需要事先选择一个特定的庞加莱截面;另一个优点是由于使用连续的数值稳定点。利用这种初始化的方法,只有几个迭代计算是需要找到一个新的周期轨道。
5.1。的音叉分岔
在这里,我们讨论的进化参数时不稳定的周期或由变分法改变,进化和同伦方法可以很容易地应用于初始搜索。我们第一次调查周期01,由不同的变形在保持相同的值的参数 。周期01,使用当前的计算参数,用作初始猜测计算周期轨道参数。图9(一个)显示了同伦进化情况下,和表3展示了进化。图9 (b)显示变形的循环01价值增加的价值是固定在2,总结如表3。通过稳定的周期的进一步分析,我们发现周期01时是稳定的 。当 ,周期01仍然稳定,但更弱。当 ,周期01变得不稳定。
(一)
(b)
(c)
我们现在检查周期12个不同的连续变形价值观以同样的方式和价值固定在6.7,如图9 (c)。表4展示了进化。我们发现周期12时才出现 ,它的值是稳定的增加到 ,在周期12失去稳定。李雅普诺夫指数也显示良好的定性协议同伦进化的结果。图10 ()显示Rucklidge系统的李雅普诺夫指数谱参数作为 。李雅普诺夫指数随时间聚合。当 ,这三个系统的李雅普诺夫指数 , ,和 。因此,我们的结论是,一个音叉分岔发生在 。
(一)
(b)
5.2。的倍周期分岔
音叉分岔通常是倍周期分岔的前体。当 和 ,我们发现对称不稳定周期01与不对称稳定的共存周期03和12(见图11)。周期12时也会变得不稳定增加到1.3,只有系统中不稳定的周期。因此,发生倍周期分岔 ,导致混乱的状态。也证明了分岔行为的李雅普诺夫指数的计算参数 ,的收益率 , ,和 ,如图10 (b)。
(一)
(b)
(c)
通过不同参数的分岔图或计算检测混乱的过渡。图12(一个)显示分岔图和参数为 的初始值使用本地最大值的方法,及其相应的最大李雅普诺夫指数计算数值的典型Benettin方法呈现在图13(一)图12(b)显示分岔图和参数为 相同的初始值。分岔图一致的不同的动态行为与各种参数如图2。分岔图12(b)显示了一个时期1振荡之后,倍周期与周期窗口混乱交错的过程,这也验证了我们上面提到的分岔的结论。此外,相应的最大李雅普诺夫指数谱图13(b)也反映了这一结论。
(一)
(b)
(一)
(b)
5.3。的界定分歧
在前面的讨论中,我们调查了分支,基于拓扑的周期轨道长度为2。现在,我们使用周期轨道的拓扑长度1探讨界定分歧。在这里,我们解决这个参数 而让不同的连续变形周期2和3。图(14日)显示了同伦的进化周期2,表4列出了数值结果。在图所示的四个周期轨道(14日)都贴上周期2,因为他们的拓扑结构都是相同的;也就是说,每个周期只剩下周围旋转不动点一次。虽然蓝色和红色的周期轨道曲线都呈现出以形状,类似与拓扑周期长度的2,由于这一事实协调的不动点为9.3,他们实际上并不旋转合适的定点。通过对称,周期3也经历了类似的变形(见图14 (b))。通过上面的计算,我们发现周期2和3的形状变得越来越相似的下降价值,他们不再存在一些参数值。例如,当使用变分法计算周期2和3,没有融合的时候 。两个周期碰撞的临界值后,一起消失,这意味着系统经历一个周期轨道的界定分岔 。由于可能的分岔周期轨道,当一组新的参数,值得注意的是,先前发现的一些周期可能不再存在,和新周期对应于新时期可能出现。因此,如果Rucklidge系统中的参数不同,相应符号编码也需要改变。
(一)
(b)
(c)
最后,根据上述结果,我们调查的进化行为轨道周期的参数改变。二次曲线拟合方法用于探索相应的周期的周期2和变量之间的关系(见图14 (c)),这是表达的
表3和4表明,条件 ,更大的参数是,周期越大。相比之下,对 ,作为参数增加,减少。我们还证实,这一结论适用于所有的短周期轨道。
6。结论
在本文中,我们研究了拓扑分类Rucklidge系统的不稳定周期轨道。我们的动机是开发一个有效的周期轨道的符号编码方法在非线性动力系统的研究,使我们能够扩展符号动力学的应用多通道的地图。我们表明,符号编码基于轨迹拓扑非常有效的分类中所有的短周期Rucklidge系统。此外,在参数变化,三个不同的分岔,包括一个音叉分岔,倍周期分岔,界定分岔,周期轨道的详细探讨了使用同伦演化方法,和轨道周期的演化规则作为参数变化对所有发现的周期也进行了总结。这提供了一个新的路径规划可能周期轨道在某些参数。本文提出的符号编码方法不仅适合Rucklidge系统也适用于其他典型的混沌系统。特别是,它可以扩展到解决大量的具体物理问题在不同的体制,如recolliding周期轨道在阿托秒物理(49),牛顿三平面周期轨道(50),和混乱在混合光学双稳态系统(51]。
有些动力系统的不稳定周期轨道不仅嵌入到吸引子还在nonattracting混沌集,这被认为是负责混乱的瞬态动力学。吸引子外的不稳定周期轨道,形成混乱的马鞍,也可以使用变分法计算。这里采用的拓扑分类方法似乎适用于符号编码以外的轨道周期吸引子,从而使我们能够分类周期和分层的方式命令他们。与此同时,建筑符号编码基于轨道的拓扑可能也有助于标签同宿轨道和heteroclinic系统并分析其相互关联。此外,吸引子的拓扑结构的直接结果是同时拉伸和折叠包的轨迹,其属性是合成支管汇,命名模板(52- - - - - -56]。模板描述了所有的不稳定周期轨道的拓扑组织中存在混沌吸引子,可以在连接矩阵的方式提出使用双周期之间的链接数据提取的奇怪吸引子和庞加莱首先返回映射结构。因此,本文提出的方法可以提高识别混沌吸引子的拓扑结构。
multiple-letter符号编码方法也可以适用于一些离散动力系统。如何实现符号编码在动力系统,没有固定的点仍然是一个挑战。显然,还有丰富、复杂的特征和现象Rucklidge系统的周期轨道。因此,未来将进行更详细的分析和探索研究。我们希望,本文的研究将进一步刺激研究混乱,促进深入了解低维混沌系统耗散的周期轨道。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关这项研究的出版物。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金(批准号11647085和11647085),山西省青年科学基金(批准号201901 d211252),科技创新项目的山西高等教育机构(批准号2019 l0505和2019 l0554)。