文摘
本文的目标是估计不可测的变量的多稳态混沌系统使用Luenberger-like观察者。首先,混沌系统的可观测性进行了分析。接下来,李普希茨常数确定该系统的吸引子。Raghavan提出的方法论和肖提出的结果被用来尝试找到一个观察者。尝试都是失败的。尽管如此,Luenberger-like观察家仍然可以使用基于提出的收益。观察者的性能测试,数值模拟显示了估计误差收敛到零。最后,混沌系统及其观察者使用32位微控制器实现的。实验结果证实良好之间的协议实现和模拟观察人士的反应。
1。介绍
由于缺乏或高成本的传感器、一些变量与系统动力学的相关不能用于测量。然而,如果系统必须监控或一个状态反馈控制器实现,这样应该估计不可测的变量。因此,一个聚合的动态系统(观测方案)基于系统模型和可衡量的州必须结合重建不可用的变量。首次Luenberger提出,在1996年,一个观察者和线性系统的设计方法1]。目前,线性系统的状态估计问题很好理解,和解决方案。然而,非线性情况下更具挑战性。对于这种情况,首先建议提供的一个解决方案是肖(2Luenberger观察者)的结构应用于李普希茨非线性系统。在这种情况下,结构被称为Luenberger-like观察者。基于这个观察者,肖提出了充分条件保证估计误差的渐近收敛于零。但是,没有找到观察者获得提供了设计过程。在[3),高夏和显示的必要条件指数观察者的存在。Tsinias为观察者提供了充分条件和一个简单的方法设计(4]。事实上,这种方法是直接扩展线性观测器设计的情况。基于离线解决方案的一个代数黎卡提微分方程,Raghavan和亨德里克提出迭代过程的观察者设计类李普希茨非线性系统(5]。在[6- - - - - -11),不同的观察者对混沌系统进行了研究。主要使用一个观察者在混沌系统同步(12- - - - - -19]。
混沌系统是一个具有以下属性的动力系统:(1)对初始条件的敏感性高,(2)密集的周期轨道,和(3)混合拓扑。因此,它是不可能进行准确预测其长期动态行为(20.- - - - - -23]。尽管如此,国家可以保证的有界性。混沌系统可分为根据平衡的性质分,(a) no-equilibrium系统;在这种系统中,没有真正的平衡分,(b)稳定平衡系统(24];在这种情况下,所有特征值的实部与平衡点是消极的,(c)线平衡系统(25];有无限数量的平衡点沿着一条直线,和(d)曲线平衡系统;平衡点形成一个轨迹如一个圆(26),广场(27],three-leaved三叶草(28]。所有这些提到的系统属于一般类混沌系统的隐藏的吸引子。
一些混沌系统有一个额外的非常有趣的性质:他们可以有两个或多个吸引子共存29日- - - - - -37]。对于同一组参数,可以达到每个吸引子根据选定的初始条件。这样的系统被称为多稳混沌系统(38- - - - - -41),在过去的十年里,他们已经收到了越来越多的关注由于其潜在的应用(42- - - - - -44]。
本文的关注重点是多稳混沌系统的状态估计Kapitaniak和合作者提出的在45使用Luenberger-like观察者)。系统有两个相同的流动参数。本文的主要贡献如下:第一次Kapitaniak系统(a)盆地的吸引力彻底研究,(b)的可观测性分析,(c)提出了一个观察者,和(d)系统及其相应的观察者使用32位微控制器实现的。
2。多稳态Kapitaniak混沌系统
一个三维混沌系统不动点吸引子和一个隐藏的奇怪吸引子在[45]。每一个流动可以根据选定的初始条件。给出了系统的数学模型如下: 在哪里 ,和系统的状态。通过使用狼的算法,系统的李雅普诺夫指数(1)可以计算 和 。作为 ,它可以确认系统(1)是混乱的。此外,Kaplan-Yorke维度可以确定 。通过检验,给出平衡点 。与它相关联的特征值 。因此,可以得出结论,这个平衡是稳定的。例如,可以达到这个平衡点的初始条件 。关于奇怪吸引子,这可以达到,例如,通过使用初始条件 (见[45])。这个吸引子的预测 和飞机呈现在图1。
(一)
(b)
(c)
吸引子是通过模拟方程(1)使用仿真软件®与解算器数值(Dormand-Prince)相对公差1e−6,绝对宽容1e−7日开始时间0,停止时间500秒。如果停止时间增加到1000000秒,可以确定系统的混沌状态1)属于以下设置:
因此,以下范围 和可以建立:
最后,重要的是要提到系统(1)短暂可以表示为 在哪里
3所示。盆地的吸引力
吸引子的吸引盆由状态空间中的点集,导致吸引子(46,47]。当前系统(1)有两个流动包括不动点吸引子和混乱的隐藏的奇怪吸引子。两盆的吸引力吸引子图所示2在 - - - - - - 飞机(图2(一个)),在 - - - - - - 飞机(图2 (b))。在第一种情况下,飞机选择这样 。轨道开始在每个像素在一个感兴趣的区域之后,直到他们回到庞加莱截面或发散到正无穷,和相应的初始点相应颜色:红色,如果确定了混沌吸引子,亮绿色,如果确定不动点吸引子,和白色,否则。类似地,出于完整性的考虑,我们选择飞机包含平衡 并执行类似的操作。合盆地的吸引力可以欣赏,如图2 (b)。
(一)
(b)
此外,它是重要的分类和量化吸引力的盆地基于报告的工作(48]。根据概率函数结果,认为远距离是分类和量化的基础混沌吸引子的盆地。在很远的距离上的函数,幂律缩放: 在哪里在远处的概率是一个初始条件从吸引子是盆地内的景点,和和分类和量化参数。基于这些参数,盆地的混沌系统可以分为四类48]。如图3所示,系统(1)有一个类3分形盆地noninteger幂律伸缩。混沌吸引子的吸引盆延伸到无穷,但由于盆地的余维数几乎 ,盆地最有可能有一个狭窄的宽度。
4所示。问题公式化
让我们关注的并不是所有的系统(1)可用于测量,因为相应的传感器不存在或他们是非常昂贵的。在这种情况下,我们可以表示系统(4), 在哪里是输出向量和以适当的维度是恒定的输出矩阵。在这个工作中,我们考虑到输出是由
这意味着
复制不可用的状态和 ,我们需要使用一个动态的系统称为一个观察者。对于线性的情况,Luenberger提出了一个著名的观察者的结构。对于非线性的情况,我们可以使用这个结构称为Luenberger-like观察者的泛化。对于系统(7),观察者是由 在哪里观察者的状态和吗是一个常数矩阵。Luenberger-like观察者是由原系统的模型(真实状态取而代之的是估计的状态 ),加上一个线性修正项。
观察者的国家之间的区别(10)和系统(7)被定义为的估计误差
状态估计的问题包括找到一个适当的增益矩阵以这样一种方式 也就是说,渐近收敛于零。
5。可观测性分析
在试图找到观察者获得,或者一般来说,使用任何观察计划,必须解决的基本问题。即是什么条件的重建问题系统的不可测的州有一个解决方案吗?
定义1。(见[49,50])。系统(7)据说是可观测的时间间隔
,如果输出的知识在
可以唯一地确定初始状态完全。
线性系统的可观测性分析是一个众所周知的问题。然而,对于非线性系统是微妙的,更加复杂。结果讨论了非线性系统的可观测性51)和引用。在这项工作中,这些结果总结等的系统与一个独特的输出系统(7)。
考虑到扩展输出向量
的可观测性矩阵被定义为非线性情况
推论1(见[50])。。系统(7)是附近的局部可观测的点在时间 ,如果
备注1。尽管卡尔曼滤波的线性系统的可观测性条件是必要的,充分的,条件表达(14)仅仅是充分的。
首先系统的可观测性分析(7),扩展输出向量计算
接下来,可观测性矩阵可以确定
很容易证明
因此,系统(7失去了可观测性只有当
。
6。Raghavan观察者
在本节中,观察者获得是使用Raghavan试图确定的过程。首先,李普希茨常数系统(7)必须被发现。
6.1。李普希茨常数测定
定义2。(见[49,52])。一个函数 据说是局部李普希茨 如果存在一个常数(称为李普希茨常数),这样 ,下面的不平等是适用的: 最后,据说是全局李普希茨如果它满足(18), 。
引理1(见[49,52])。。如果一个函数 连续可微的一组吗 那么它就是局部李普希茨 。
考虑到引理1哈利勒(52)提出了一个程序来计算李普希茨常数(53]。虽然这个过程产生保守的结果,这项工作的目的就足够了。首先,函数在(5),让我们计算其雅可比矩阵
让我们定义矩阵作为 在哪里
因此,是一个矩阵,其元素的最大绝对值每个雅可比矩阵中对应的元素(19)的设置 。接下来,可以确定为
最后,李普希茨常数在一组是由 在哪里表示的two-norm 也就是说, ,和表示的最大特征值 。
6.2。Raghavan设计过程
Raghavan提出的过程是基于下面的结果。
定理1(见[5])。。鉴于系统(7)和它的观察者(10),如果存在 这样下面的代数黎卡提微分方程()有一个对称的,正定的解决方案 : 然后,通过选择观察者获得 ,的估计误差 渐近收敛于零与李普希茨常数 。
备注2。对称的存在的必要条件,正定的解决方案是一对
被检测到。
让我们应用算法1我们的问题。我们必须确认
可检测。让我们定义可观测性矩阵使用(6)和(9),
的秩3,对吗
可见,比检测能力更强的条件。现在,通过设置
,我们使用算法1实现Matlab®命令”是“方程解(24)。该算法给出了一个结果,直到14日迭代时
。这个值,对应的方程解(24)是
但是,可以很容易地验证,不是一个对称矩阵。此外,较小的值不产生一个对称矩阵。因此,该算法已经失败了。
|
6.3。扩展系统
如果算法1不工作,一个可能的解决方案可能是规模混乱的系统(1)。
考虑的变量 定义为 在哪里 是积极的常数。通过一阶导数(27)关于时间和替换(1),一些代数操作后,可以发现
简洁,系统(28)可以表示为 在哪里 和是系统的输出(29日),也就是说, 。
找到的李普希茨常数扩展系统(29日),的雅可比矩阵确定是 和矩阵(31日),也就是说, ,是由
因此,扩展李普希茨常数可以作为计算
试图找到一个积极的结果的算法1,重要的是要减少 。这可以通过减少和和增加 的最小值是3.3。虽然不同的值 和测试,算法1不工作扩展系统(28)。因此,可以推断,不存在有Raghavan观察者Kapitaniak系统(1)。
7所示。肖观察者
在[2),肖提供了一个充分条件保证估计误差的渐近收敛于零。然而,一个系统的过程设计没有提供。利用这个结果,首先,用户必须提出一个观察者的增益值通过试验和错误。
定理2(见[2,49])。。鉴于系统(7),相应的观察者(10),一个对称正定矩阵 ,和一个观察者获得 ,提出的用户,这样赫维茨,如果下面的李雅普诺夫方程: 有一个对称正定解满足如下不等式: 在哪里和的最小特征值吗和的最大特征值 ,分别;然后,估计误差渐近收敛于零。
应该注意的是,关系(35如果的最小特征值)可以增加和/或增加的最大特征值减少了。根据(54,55),(比35)可以最大化 。应用定理2我们的问题,几个值获得观察员提出了。尽管穷举搜索,不平等(35不能满足)。在这种情况下,扩展系统(28)被认为是。几个的组合值 和观察者获得测试。但是,尝试再一次成功。因此,可以推断,肖观察者不存在Kapitaniak系统(1)。
8。Luenberger-Like观察者
尽管前面的负面结果,重要的是要考虑到定理1和2只提供充分条件。如果这些条件不满意,这并不意味着不存在的Luenberger-like观察者。事实上,在这一节中,Luenberger-like观察者的存在(10)Kapitaniak混沌系统(1验证了数值模拟。考虑下面的观察者获得价值 :
一旦获得提出了《观察家报》(10)可以很容易地模拟。混沌系统模型(7)和相应的观察者(10)是基于仿真软件®。混沌系统的初始条件 在节2。美国不可用,合理提出观察者的初始条件简单 。对于一个公平的比较对以下部分的实验结果,完成仿真使用解决ode4(龙格-库塔)固定步长为0.0004秒,时间0开始和停止时间10秒。在图4所示的观察过程,而在图5,估计误差的信号提出了。
(一)
(b)
(c)
从图可以欣赏5,估计误差渐近收敛于零。
9。单片机实现和实验结果
使用两个小小的USB开发板来完成对实现基于单片机72 MHz Cortex-M4 3.3 V信号。混沌系统(7)第一板上实现,而相应的Luenberger-like观察者(10在第二个董事会)实现。这个实现的框图如图6。
两个系统是使用解算器实现ode4(龙格-库塔)固定步长为0.0004秒。因为观察者需要的信号作为输入,一个微控制器必须设置之间的单向沟通。交流是通过使用一个基于PWM模拟到数字的转换和数字模拟转换器基于单片机。以下过程完成:(1)第一个单片机与混沌系统提供了美国 和 (2)发送的状态是PWM端口(10位分辨率和5 Mhz频率),以及美国了,(3)PWM信号去RC滤波器的截止频率30 Hz,(4)该滤波器的输出被第二微控制器的模拟到数字转换器。这个转换器有10位分辨率和采样频率的5 MHz,(5)数字信号扩展到原来的范围,(6)第二单片机Luenberger-like观察者生产状态 和 (7)按比例缩小的观察员国,(8)这些国家被发送到PWM港口,和(9)信号去第二个低通滤波器。混沌系统的状态和观察者的州是由串行通信的计算机可视化(见图7)。与此同时,低通滤波器的输出被发送到一个示波器来验证测量。
促进我们的结果的实现过程和生殖,主微控制器和从单片机的伪代码如下:主微控制器的伪代码:开始初始条件的状态定义步骤的时间主循环函数(){计算通过龙格-库塔方法{x1x2x3}应用抵消原系统的状态积极的价值观在PWM港口和分配的比例因子的值在所有范围的PWM端口Sx1 = (x1 +偏移量)比例因子Sx2 = (x2 +偏移量)比例因子Sx3 = (x3 +偏移量)比例因子发送通过PWM端口值PWM输出⟵(Sx1)PWM输出⟵(Sx2)PWM输出⟵(Sx3)计算时间延迟样品时间}观察者单片机的伪代码:开始初始条件的状态定义步骤的时间主循环函数(){读值的系统通过模拟到数字转换器和删除偏移量和比例因子x1 _r⟵(模拟输入/比例因子)抵消x2 _r⟵(模拟输入/比例因子)抵消x3 _r⟵(模拟输入/比例因子)抵消计算观察员国,使用x1 _r国家和龙格-库塔方法{x1 _Ox2 _Ox3 _O}计算误差实际或原系统和观察者之间的系统应用抵消观察员国得到积极的价值观在PWM港口和分配的比例因子的值在所有范围的PWM端口Sx1 _O= (x1 _O+偏移量)比例因子Sx2 _O= (x2 _O+偏移量)比例因子Sx3 _O= (x3 _O+偏移量)比例因子发送通过PWM端口值PWM输出⟵(Sx1 _o)PWM输出⟵(Sx2 _o)PWM输出⟵(Sx3 _o)真实系统的发送状态,观察系统的状态,和错误的系统通过串行/ USB端口计算时间延迟样品时间}
在数据8和9,并给出了实验结果。观察过程如图8第一,第二,第三,分别实现的系统。最后,实现了混沌系统之间的估计误差和实现观察者可以欣赏在图9。
(一)
(b)
(c)
数据可用性
实验单片机数据用于支持本研究可从第二作者要求的电子邮件:(电子邮件保护)。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者非常感谢j . c . Sprott博士他宝贵的帮助。数据2和3是他的礼貌。这项工作是由SIP,格兰特Instituto Politecnico Nacional (20200083)。作者也承认EDI-IPN和SNI-Conacyt的支持。