研究混沌系统的振幅调制原理

文摘

探索混沌信号的调幅现象已成为近年来十分关注的议题。本文主要集中在初步研究混沌系统的振幅调制原理。首先,两个三维混沌系统与二次产品方面介绍了研究混沌信号的振幅调制现象。发现第一个系统的信号幅度可以由偏二次系数控制。但是第二系统,非线性系数可以用来控制信号振幅。然后,混沌系统的振幅调制原理初步研究探索非零平衡点之间的内在关系和相空间轨迹,并进一步验证通过引入统一参数两个三维混沌系统。作为一个必要条件,原则提供了一个可行的和简单的方法来创建和分析一个振幅调制混沌系统。

1。介绍

混乱引起了很多关注,在许多科学领域由于其独特的特征,如对初始条件的敏感性和参数偏差,与本地的奇怪吸引子,但在全球范围内的轨迹,未来行为的不可预测性,等等(1- - - - - -4]。在过去的几十年里,建筑的问题,分析和混沌系统的应用已成为一个非常活跃的话题(5- - - - - -10]。

混沌系统的信号振幅可以通过控制一个或多个经常调制系数的动力学方程,而李雅普诺夫指数和功率谱密度保持不变(11- - - - - -14]。自从变量可以被直接控制新振幅参数避免超过带宽和幅度的限制,这种系统可以解决矛盾的信号处理和信息保留在实际放大电路,所以它是一种很有前途的类型的系统混沌加密的现实,混乱的雷达,混沌通信和混沌信号处理。

一般来说,提出了调幅系统与二次非线性,振幅参数二次项的系数,从而非线性调制的信号振幅部分或全部状态变量(11- - - - - -15]。事实上,虽然混沌系统拥有唯一的非线性项,对应的系数可以控制信号幅度,因为它独特的决定变量的规模(16- - - - - -18]。作为一个例子,一个简单的用一个非线性混沌系统是回忆 , , (16]。因此,它产生的系统 , , 与替换 , , 。因此,非线性项的系数可以控制振幅的根据 。然而,最近的研究中发现,与指数非线性动力系统,二次项系数不能提供振幅调制(19]。因此,很自然地,一个有趣的问题是提出了“混沌系统中的每个非线性项系数能否控制信号振幅。“另一个更为重要的问题是“什么是构建的原则和分析振幅调制混沌系统。“然而,据我们所知,没有这样的信息系统在文献中到目前为止,它仍然是开放和挑战性。

本文试图提供一些这些问题的答案通过引入两个混沌系统仔细筛选。不同于系统用一个线性或非线性项,目前系统已经nonunique线性项和三个二次叉积项。这两个非线性系统的基本动力学理论和数值分析。有点奇怪的是,只有一个二次非线性系数的系统可以用来控制混沌信号的振幅。但是第二系统,没有二次非线性系数可以用来控制混沌信号的振幅。发现并不是所有系数的非线性项可以提供振幅控制的兴趣和灵感。作为这项工作的进一步关注,混沌系统的振幅调制原理,基于非零平衡点之间的内在关系的分析和相空间轨迹。虽然它不是一个调幅的充分必要条件,拟议的构造和原理提供了一种可行的方法分析振幅调制混沌系统。此外,这种方法是简单的实际操作,希望启发揭示混沌系统的振幅调制机理。

本文组织如下。介绍后,我们提出一个混沌系统与局部非线性系数用来控制振幅。节3,我们引入了另一个混沌系统,没有非线性系数用来控制振幅。振幅调制的原则处理4。最后,一些结束语部分5。

2。混沌系统和部分非线性系数幅值控制

2.1。系统描述

报告系统具有四个线性项和三个二次叉积项,它是由下列常微分方程:

很容易知道该系统是对称的x₃设在如图所示的坐标变换(x₁,x₂,x₃)⟶(−x₁,−x₂,x₃)。

通过考虑平衡条件 , , ,五个平衡系统(点1)确定

和特征方程推导出

在选择参数集一个= 28日b= 20,c= 3,d= 1,e= 5,f= 1,四个非零平衡分计算P₁(3.4641,3.0743,3.5499),P₂(3.4641、27.3230−−31.5499),P₃(−3.4641、27.3230−31.5499),和P₄(−−3.4641,3.0743,3.5499)。和对应的特征根

显然,平衡点P₀是一个界定,二维稳定流形和一维不稳定流形。但对于剩余的非零平衡的点P₁来P₄,λ₁是负实数和λ₂和λ₃真正成为一对共轭复数根与积极的部分。因此,平衡四个点的动态分二维不稳定流形和一维稳定流形。

在选择一个= 28日b= 20,c= 3,d= 1,e= 5,f= 1和5000年代计算时间,这三个有限时间系统的李雅普诺夫指数(1)正交方法计算了3.29613 > 0,0.01355−19.34679 < 0。获得和Kaplan-Yorke维度D_肯塔基州= 2 +(3.29613 + 0.01355)/ 19.34679 = 2.1711,暴露的部分功能。因此,系统(1)是混乱的。相应的混沌相图、庞加莱映射平面上x₂= 0是描绘在图1。

2.2。分析振幅调制

定理1。的参数f在跨产品词x₁x₂局部参数的非线性振幅调制,可控制的信号幅度幂函数的指数分别,但振幅的变量仍在相同的范围;此外,李雅普诺夫指数谱参数的变化保持不变f。

证明。考虑到变量替换( ),系统(1)是转向 因此,当参数f线性增加,系统变量的信号振幅 , 根据指数的幂函数变化 ,分别,但振幅的变量在同一范围内。
当用平衡点特征方程(3),它拥有 在方程(6),参数的影响f就被消除了。我们可以画一个类似的结论对于其他平衡的点。作为一个例子,我们插入平衡表达式(3)获得 也就是说,参数f不产生影响的特征根方程(7)。因此,当参数f不同领域的实数,李雅普诺夫指数谱保持不变。这就完成了证明。
李雅普诺夫指数谱和相应的分岔图f如图2,验证了理论结果。
人们普遍认为二次混沌系统的非线性项的系数可以调制信号幅度的部分或全部状态变量(11- - - - - -14]。的分岔图如图3(一个)。从表面上看,系数e可以调节信号振幅非线性。但从放大图,可以看到出现一个明显的周期性的窗口,和李雅普诺夫指数谱进一步验证观察、描绘的人物3 (b)和3 (c)。混凝土和李雅普诺夫指数谱和分岔图d还表明,并不是所有的二次项系数可以调制信号幅度,见图4。尽管如此,报告系统依然强劲的混乱在一个大范围的参数d和e。因此,推荐系统可以在安全通信作为一种重要的候选人。

3所示。混沌系统的非线性与Noncoefficient振幅控制

3.1。系统描述

我们考虑另一个三维自治系统有五个线性项和三个二次叉积项,如下:

系统(8)具有三个平衡点,,分别描述

在选择参数集一个= 24b= 12,c= 1,d= 1,e= 1,f= 1,k= 1,= 6,两个非零平衡分了P₁(6、1、12)P₂(2−−12日,12)。对应的特征根

显然,平衡点P₀是一个界定,二维稳定流形和一维不稳定流形。和平衡分P₁和P₂与二维不稳定流形和动态分维稳定流形。

相应的有限时间由正交方法计算李雅普诺夫指数0.926059,0.051479,10.972296−。获得和Kaplan-Yorke维度D_肯塔基州= 2 +(0.926059 + 0.051479)/ 10.972296 = 2.0891,暴露的部分功能。因此,系统(8)是混乱的。典型的混沌相图、庞加莱映射平面上x₂= 0是描绘在图5。

3.2。分析相位调制

在系统(8),系数k是一个相位参数,可控制的信号阶段同时进行。可以验证了反相转换的不变性 。的分岔图x₁和x₂反向对称,李雅普诺夫指数谱是对称的吗k= 0,如图6。这进一步证明了的迹象k可以控制的极性x₁和x₂、独立的动力学行为。

3.3。分析振幅调制

在寻找调幅的财产,这是令人惊讶的发现提出了系统(8),不存在非线性系数用来控制信号振幅。获得的结果是不同于现有的二次系统(11- - - - - -14)和报告系统(1)。最直观的解释是分岔图的数值模拟和李雅普诺夫指数谱和非线性参数,如图7- - - - - -9。从理论上讲,根据该方法在19),我们不能访问适当的变量替换来实现系统的归一化方程和特征方程(19]。

4所示。振幅调制混沌系统的原则

如前面的文献所示(11- - - - - -15),二次项的系数在光滑的混沌系统可以调节部分或全部状态变量的信号振幅。然而,对于系统(1)和(8)报道,在这项研究中,发现并不是所有的二次非线性系数可用于调制信号的振幅。因此,当研究混沌系统的动态属性,我们自然提出一个令人困惑的,但有价值的问题:“什么是可能的原则的振幅调制混沌信号?”

动态系统的平衡点的物理意义可以解释为零速度点。新一个混沌吸引子的轨迹时,非零平衡点将会偏离最初的位置。相反,当非零平衡点偏离最初的位置,信号振幅的相空间轨迹可以新。因此,混沌系统的振幅调制原理与多个平衡点可以描述如下:(1)在非零平衡点的数学表示,振幅参数是轴对称,(2)非零平衡点的位置在相空间可以由振幅控制参数。

表达式的非零平衡的系统(1),可以看出参数d和e非线性项不能调节平衡点的位置P₁,P₂,P₃,或P₄。因此,参数d或e不能调节信号振幅。当我们引入一个统一的参数d在x₂x₃和x₁x₃系统(1)推导出 和四个非零平衡的点

众所周知,平衡的点P₁和P₂组对称的轴 ,和对称的平衡轴的集合点P₃和P₄是 。此外,该参数d可以调节的位置根据非零平衡分 , ,和 ,分别。因此,参数d调制信号的振幅可以吗x₁,x₂,x₃根据 , ,和 ,分别。信号的振幅和李雅普诺夫指数谱与d描绘在图10。

表达式的非零平衡的系统(8),参数d,e,f二次项不能调节平衡点的位置P₁或P₂。因此,参数d,e,或f不能调节信号振幅。实现系统的振幅调制(8),我们引入一个统一的参数d在每一个非线性屈服 和两个非零平衡点推导出

我们知道,对于平衡点P₁和P₂组对称的轴 。此外,该参数d可以调节的位置根据非零平衡分 ,分别。同样,参数d可以调节振幅的x₁,x₂,x₃根据 ,分别。信号的振幅和李雅普诺夫指数谱与d如图11。

5。讨论和结论

探索混沌信号的调幅现象是有吸引力的,然而,最近感兴趣的话题。本文报告两个混沌系统与二次三跨产品条款和调幅的性质分析。通过一个详尽的研究非零平衡的特征点,我们试图解决可能的原则调幅。也就是说,振幅参数表达式的非零平衡点是对称的轴和一些可以调节非零平衡点的位置在相空间。

解决原理可以推广到高维混沌系统和其他混沌系统除了二次非线性(19- - - - - -22),而不是依赖于非零平衡点的类型。然而,对于所有的动力系统,单身,或无限的平衡分23- - - - - -26),我们的原则是考虑,值得深入研究。

必须重申,该原则只是一个先决条件,但不是充分必要条件振幅调制。作为解释,我们考虑以下与立方非线性系统:

系统(15)持有5平衡点,和描述的非零平衡的点

显然,对称的平衡轴的集合点P₁,P₂,P₃,P₄是(0,0,0)此外,参数b可以调节的位置根据非零平衡分 , ,和 ;的参数c可以调节的位置根据非零平衡分 , ,和 ;的参数d可以调节的位置根据非零平衡分 , ,和 ;和参数f可以调节的位置根据非零平衡分 , ,和 。然而,从数值实验发现只有非线性参数d可以调节振幅的x₁,x₂,x₃根据 , ,和 ,分别绘制在图12。

尽管如此,原则提供了一个可行的心态分析混沌信号的振幅调制,可以简要地总结了从理论分析到数值确认。我们希望我们的工作能够构成一个刺激和负担得起的引用为进一步探索混沌系统的内在振幅调制机理。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持部分由中国湖南省自然科学基金(没有。2019 jj40109),中国湖南省教育局研究基金会(18 a314号19 c0864和16 k037),湖南省科技计划(2016 tp1021和2019 tp1014号),研究生的研究和创新项目的湖南理工学院(没有。YCX2019A13),科研创新团队的湖南科技学院(没有。2019 - td - 10)。

引用

1. m . Siewe c Tchawoua, p . Woafo“定期驱动Rayleigh-Duffing振荡器Melnikov混乱”,力学研究通讯,37卷,不。4、363 - 368年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. a . Zarei”复杂的动力学与four-wing 5 d的hyper-chaotic吸引子,一个平衡和多个混沌吸引子,“非线性动力学,卷81,不。1 - 2、585 - 605年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. f .彭问:长,Z.-X。林,m .长,“一个可逆水印验证二维CAD工程图形基于迭代嵌入和虚拟坐标,”多媒体工具和应用程序,卷78,不。19日,26885 - 26905年,2019页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. e . Bilotta f . Chiaravalloti, p .淡水沼泽,”波动力学的复杂性和出现在一系列顺序相互联系的蔡氏电路,”力学研究通讯卷。68年,上行线,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. b . c . Li, s . Li j . Kurths g·陈,“数字混沌映射通过状态映照网络的动态分析,“IEEE电路和系统I:普通文件,卷66,不。6,2322 - 2335年,2019页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. 问:赵,c . Wang和x张“忆阻器的通用仿真器、记忆电容和meminductor及其混沌电路,”混乱ID 013141条,卷。29日,2019年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. c . Li k .钱他,h·李和w·冯”动力学和优化控制的一个健壮的混乱的地图,“IEEE访问7卷,第160081 - 160072页,2019年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. A . Jimenez-Triana g·陈,A .附近,“稳定着混沌控制理论方法,”IEEE电路和系统II:表达内裤,卷62,不。4、407 - 411年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. j . x Wang, c .金h . h . c . Iu和美国,“基于记忆电容和meminductor混沌振荡器,”非线性动力学,卷96,不。1,第173 - 161页,2019。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. 问:赖,b . Norouzi f·刘,“动态分析、电路实现、控制设计和图像加密应用的扩展陆系统吸引子共存,”混乱,孤波和分形卷,114年,第245 - 230页,2018年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. l . c . Li吴、h·李和y,“一种新型混沌系统及其拓扑马蹄,”非线性分析:建模和控制,18卷,不。1,第77 - 66页,2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. c·李,k . Su和l .吴”自适应滑模控制分数阶混沌系统的同步,”计算和非线性动力学杂志》上,8卷,0310051 - 0310057,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. c·李和j·张”,分数阶混沌系统的同步使用限定时间input-to-state稳定,”国际系统科学杂志》上卷,47号10日,2440 - 2448年,2016页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. c·李,y, y, y和曾庆红,“分数阶混沌系统的自适应控制和同步,”Pramana,卷80,不。4、583 - 592年,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. x周”,一个混沌系统与不变的李雅普诺夫指数及其电路模拟,”《物理学报》,60卷,p。100503年,2011年。视图:谷歌学术搜索
16. M.-S。Abdelouahab N.-E。Hamri”,一个新的混沌吸引子从混合光学双稳态系统,”非线性动力学,卷67,不。1,第463 - 457页,2012。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. M.-F。Danca:“库兹涅佐夫”,g .陈“不寻常的动力学和隐藏Rabinovich-Fabrikant系统的吸引子,“非线性动力学,卷88,不。1,第805 - 791页,2017。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. a . e . Matouk和h . n . Agiza”分岔,混沌在ADVP电路和同步并行的电阻器,”《数学分析和应用程序,卷341,不。1,第269 - 259页,2008。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. c·李,k . Su和j .张“振幅控制和投影同步指数非线性动力系统,”应用数学建模,39卷,不。18日,第5398 - 5392页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. 问:杨和c·陈,“5 d超混沌系统和三个积极的李雅普诺夫指数创造了,”国际期刊的分歧和混乱,23卷,不。6,1350109页,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. A . Sahab m . Ziabari和m . Modabbernia”小说分数阶超混沌系统与二次指数非线性项及其同步,”差分方程的进步,卷2012,不。194年,第444 - 393页,2012年。视图:谷歌学术搜索
22. M.-F。Danca,“流动”合成的生态系统,应用数学和计算,卷216,不。7,2107 - 2117年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. z,“混沌系统的动力学行为与不平衡,“物理信,卷376,不。2、102 - 108年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
24. d . Cafagna g·格拉希,“混乱一个新的分数阶系统不平衡的点,”非线性科学与数值模拟通信,19卷,不。9日,第2927 - 2919页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. 王x和g·陈,“混沌系统只有一个稳定平衡。”非线性科学与数值模拟通信,17卷,不。3、1264 - 1272年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. p .周和f·杨,“超混沌同步,混乱,和马蹄4 d非线性系统与无限的平衡分,“非线性动力学,卷76,不。1,第480 - 473页,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

版权

版权©2020 Jian-Rong Du et al。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。