文摘
整数的作用,noninteger阶偏微分方程(PDE)在应用科学和工程至关重要。这些方程的精确解有时很难找到。因此,它需要时间去开发一些数值技术找到准确的这些类型的微分方程的数值解。这项工作的目的是提出一个新颖的方法称为分级迭代算法寻找非线性noninteger阶偏微分方程的数值解。建议的方法是开发和测试在非线性分数阶Fornberg-Whitham方程和使用不使用任何转换,Adomian多项式,小扰动,离散化或线性化。部分衍生品卡普托意义上。评估建议的方法的效率和精度,表列数值结果与标准的变分迭代法和精确解。此外,数值结果对不同的分数阶的情况下提出了图形,显示该程序的有效性和透露,该方案非常有效,适合部分pd,可能被视为一种概括现有的方法求解整数和noninteger阶微分方程。
1。介绍
非线性pde已经成为非线性科学领域的一个热门话题,一直用来描述在许多领域的问题,如量子力学、图像处理、生态和经济系统,和流行病学。pde广泛出现在不同的物理应用分散和波的传播,磁共振成像,计算流体动力学,磁流体动力通过管道、超音速和湍流流现象,声波传播,和交通。可以找到更多的细节在1)和引用。pde用于人口模型、医学成像、适当的氧气治疗组织分布,神经电气信号等。2]。PDE的流行已经确认在一个非常实际的预测COVID病例数(3,4]。使用PDE,可以制作模型的形状COVID-19 [5]。然而,对于一些复杂的问题在这些领域,部分PDE比integer-order偏微分方程更准确。所以,产生数值解的部分pde已经成为极其重要的。
noninteger阶微积分后立即创建整数阶微积分,这意味着它可以追溯到17th世纪。的符号 由莱布尼兹代表起源于大约1675吗一个函数的导数 ,假设的整数值 。1695年,L′医院规定存在的问题:“如果是 吗?”之后,莱布尼茨使用部分衍生品(FD)符号在他的研究中。因此,FD的概念几乎同时出现整数阶导数。许多著名的研究人员18人th和19th世纪,例如欧拉、拉格朗日,拉普拉斯,傅里叶,和很多人一样,导致了分数微积分(FC)的发展。第一个问题建模的FC等时曲线曲线是已知的问题。1823年,亚伯发现了一个解决方案的一个积分方程,基于的Riemann-Liouville定义部分集成。然而,部分的流行偏微分方程(FPDE)减慢了一些不完整的和相互冲突的定义和困难在建立一致的逆操作的规定。满意的定义部分权力的整合和分化是中间的19所示th世纪。俱乐部仍然是一个活跃的研究在工程和科学6- - - - - -10]。
由于数值解的重要性分级pd (fpd)在科学和工程中,一些强大的数值技术开发的文献,和许多著名的研究人员在这个领域作出了贡献。这些包括有限元方法(11),混合有限元(MFE)方法(12),(本地)间断伽辽金方法(13),有限体积方法(14[],雅可比搭配15),变分迭代法(16),广义Kudryashov方法(17,有限的汉克尔变换过程18),修改卡特方法(19),剩余幂级数方法(20.),修改辅助方程法(21),局部无网格方法(22],RBF搭配方法[23)、操作b样条函数的矩阵(24),和其他一些先进的数值方法。张、徐(25林,et al。26)考虑一些光谱近似time-fractional水波模型,time-fractional扩散方程。大多数非线性TFPDEs没有准确的精确解。因此,应用直接和迭代方法。大部分的方法对非线性TFPDEs给无穷级数或基于网格方法的解决方案。这些方法耗时由于级数解的重复计算和网格创建基于网格方法。
相反的大受欢迎和适用性,可用数值技术的缺点是显而易见的合理高订单寻找fpd的近似解。这样需要一个通用方法,该方法可用在解决线性、非线性、齐次、非齐次,和多变量,易发问题没有重大变化,是当前研究的灵感。最近,许多学者研究了数值部分pde的解决方案,有效地推动了进步的领域的非线性pde。然而,一般来说,数字技术有一定的局限性,如低精度,网格生成、转换、稳定性、收敛性,难以实现复杂的几何图形。近年来,变分迭代方法(VIM)已经成为流行领域的数值近似。在这种技术中,域的离散化和线性化微分方程不是必需的。我们只需要计算给定的微分方程的拉格朗日乘子通过限制系列形式的非线性条件和给定的微分方程的解析解。VIM可以实现以最简单的方式,比其他方法更灵活可用的文学。这是第一次应用于火焰,他在27),后来Odibat和Momani [28]。公司(29日)采用分级汉堡方程的数值近似。Yulita et al。30.]VIM申请分数的分析治疗Zakharov-Kuznetsov方程,而狩猎et al。31日)利用分数KdV汉堡Kuramoto方程。Das (32]调查部分扩散方程通过使用VIM和获得确切的解决方案。
在这项研究中,我们提出一个新颖的方法,称为分迭代算法,求解noninteger阶微分方程。建议的方法是开发和测试在非线性分数阶Fornberg-Whitham方程。这个方程的定义是 在初始条件
常数1位于区间 , 是流体的速度,是空间,是时间坐标。
Fornberg-Whitham类型方程的数值解(1)是数值具有挑战性。为了解决这些方程数值,在文献中提出了几种方法。陆(33)解决Fornberg-Whitham类型方程的变分迭代法。这种类型的方程的近似解析解给出了阿比和Omrani [34利用同伦分析方法。周,田35)获得一种特殊类型的Fornberg-Whitham类型方程的行波解通过应用分歧的方法。阴et al。36)分类的所有旅行解决方案通过一种改进的Fornberg-Whitham方程的定性方法。冯和吴37)减少方程简单的颂歌和分解技术成功地解决了问题。江和Bi (38]介绍了分岔方法和平滑的行波解。利用微分变换方法降低了Hesam [39为这种类型的方程和幂级数在收敛,得到的结果。Biazar和伊斯拉米40使用他的HPM方程的解析解(1)。三种不同类型的Fornberg-Whitham方程进行了Boutarfa et al。41方法]用再生核希尔伯特空间。一个新颖的分析方法为解决部分Fornberg-Whitham方程提出了在42]。迭代法寻找部分Fornberg-Whitham方程近似解析解提出了在43]。Fornberg-Whitham类型方程的解析解的分数卡普托运营商被认为是在44]。我们进行这项工作的目的是为这两种应用MVIA-I Fornberg-Whitham类型方程。
本文的其余部分被组织的基础上,下面的组织。节2分数阶微积分,一些特殊的和基本的功能定义。在第三节分步迭代算法是解释说。分析讨论了其收敛性第四节,它实现了非线性方程Fornberg-Whitham类型第五节。在第六节讨论的结果是,一些方案的利用率。结论是在过去的解释第七节。
2。分数阶微积分的基本功能和属性
本节旨在提供一些基本的定义和概念,FC具有重大意义。首先,我们将讨论一些基本的特殊功能。介绍了基本的定义部分衍生品。
2.1。特殊功能
分数/分形微积分,γ、β,和米塔格-莱弗勒功能的根本和关键工具来了解它的起源计算挑战。
2.1.1。γ函数
γ函数被定义为第二类欧拉积分(45]: 这个积分收敛于正确的复平面的一半 。
2.1.2。β函数
β函数 第一类由欧拉积分定义(45]:
β函数和伽马函数之间的关系可以建立
2.1.3。米塔格-莱弗勒函数
我们描述了单参数和两个参数米塔格-莱弗勒功能,分别为(46]
2.2。不同的定义部分衍生品
我们现在的一些主要部分衍生品的定义如下:
定义1。被切除的Riemann-Liouville导数定义为(47]
定义2。卡普托分数阶导数的定义是(48]
定义3。介绍了ABC导数(49] 在哪里是归一化函数。
定义4。Ji-Huan他分数导数定义的规则(50]
定义5。他分形的Ji-Huan导数的定义是(50]
定义6。Grunwald-Letnikov分数阶导数作为[45]
3所示。分步迭代算法
在本节中,分步迭代算法的主要思想是说明了考虑非线性微分方程的一般形式 在哪里和分别表示线性和非线性操作,而是一个非齐次项。对于一个适当的给定的初始条件 ,系列 ,这近似方程解(13),也可以获得 在哪里是一个受限制的术语,给吗 关于变异 ,和和分别是一个辅助参数和拉格朗日乘子,可以优化确定。第一个是用于加速收敛到精确解(51- - - - - -55),而第二个是用于构造校正函数(56]。
一个合适的值可以实现应用两岸的复发关系(14)对 ,导致
对于非线性问题,非线性项必须被视为限制获取拉格朗日乘子的价值变化,和修正功能可以很容易地构造后确定相应的非线性项的确定值。在拉格朗日乘数法可以获得以下方式:
另外,以下情况下拉格朗日乘子的一般公式 是可用的:
后发现的价值 ,迭代公式是由使用此值校正函数(14)如下:
迭代序列可以获得从一个适当的初始近似,使用迭代公式(18)。方便重复迭代多次到达给定的精度的先进的计算机技术。一个确切的解决方案作为限制获得价值
值得一提的是,该算法可以被认为是一个不错的改进现有的分析和数值方法,离散化,转换,不需要线性化,得到微分方程的数值解可以得到串联形式
我们使用这个过程寻找分析/数值解的非线性分数阶Fornberg-Whitham方程。当 ,这个过程中给出方程(20.)成为标准的变分迭代算法。方程(20.)有两个明显的优势;一个是有限的步骤,这需要更好的精度,而另一个是辅助参数 ,这保证了收敛,更准确的解决方案后可以获得更高的迭代过程。
4所示。收敛性分析
算法的收敛第三节偏微分方程求解非线性分数将检查在这一节中。该算法可以执行在一个有效的和可信赖的方式,可以处理分数微分方程(13)。当部分迭代算法实现的数值研究分数阶Fornberg-Whitham方程,线性算子被定义为 。首先,在(21),我们定义操作符解决问题的类型: 在哪里 和和是由
一般来说,对 ,它可以写成
因此,
初始迭代 可以选择无拘无束地,但它需要履行相应的初边条件。确定适当的初始近似值会给生产和准确的结果。的 - - - - - -阶截断系列 可以用来近似的解决方案。未知的参数在 确保假设是实现利用2-norm剩余误差函数。的误差分析和收敛性判别准则还与一个辅助参数显示(使用下面的定理57,58]。
定理1。操作员中定义的(21)地图希尔伯特空间来 。(给出的解决方案24)可以给出以下形式的系列:
它是收敛的,如果 ,这样
引理1。让是一个函数从一个希尔伯特空间来 ,和运营商要求(13)被定义为 和拉格朗日乘子由变异理论,定义最优
定理2。让操作员需要在14个被定义为 。如果我们有这个系列解决方案(24)定义为 然后 是一个非线性偏微分方程精确解(13)。
定理3。让我们假设的解决方案 ,在(24),收敛于精确解的模型方程(1)。同时,假设如果近似解截断系列 最大误差准则可以评估
5。算法的实现和例子
在本节中,澄清一步一步的解决方案过程分步迭代算法,下面time-fractional Fornberg-Whitham方程(1)被认为是:
初始条件是 和精确解来自[41)=
数值解方程(13)所提供的初始条件通过能够实现什么
拉格朗日乘数可以使用变异理论。乘法等式的两边(33) ,一个获得
对于非线性问题,非线性项被认为是限制变化获取拉格朗日乘数的值;也就是说,是一个受限制的术语。这意味着 并给出了在拉格朗日乘数的值 。使用后的价值在递归关系(34),获得了在周期性的依赖:
从一个适当的初始近似和使用迭代公式(35在其他迭代可以得到),值。我们停止在第三个迭代过程。剩余函数之前用于变分迭代algorithm-II (59)可以被定义在这里得到未知参数的最优值的近似解决方案: 和错误的规范2以上的剩余函数的参数为 可以被定义为
的价值是使用数值积分近似。函数的最小值(37)的值是辅助 。在这里,不同的价值观 ,我们得到了不同的辅助参数值使用枫软件。为 , , , , ,相应的辅助参数的值是1.21413823669280,0.461366433098273, ,和1.36918865275675,分别。
方便迭代多次到达给定的精度的先进的计算机技术,精确解通过限制吗
使用该技术生成的数值解与辅助参数的最优值 报道在表1。显示该技术的适用性和效率,与精确解进行比较以及标准变分迭代法(60),在表报告绝对错误2为不同的值和 。
一个完整的协议部分变分迭代算法和精确解的结果可以观察到,这证实了该算法的适用性和准确性。可以观察到该算法非常快速,有效,准确,这是证明了通过比较解决方案通过该方法获得的结果在60以及具体的解决方案。结果也显示图形的指定不同的值与 在每种情况下,给定的条件下,可以看到在图1。
时间和空间表面图近似解和精确解可观测的数据2- - - - - -7。
6。讨论
非线性pde已经成为非线性科学领域的一个热门话题,已经用于建模的问题在许多科学与工程领域,包括等离子体物理,流体力学,量子力学,流体力学,图像处理和经济体系。然而,对于一些复杂的问题在这些领域,部分偏微分方程比整数偏微分方程更准确。找到pde的数值解,以及部分pd,已成为一个极其重要的战略。(1)许多工程问题和其他物理现象建模的非线性pde。另一方面,提出了迭代算法可以应用于各种非线性pde。结果,提出迭代方案可用于解决各种问题。(2)分数阶算子不仅在数学中起着重要的作用,而且在其他领域如力学、物理、生物医学工程和金融。在现实生活中有许多非线性问题。因此,有必要研究部分pde。(3)数值方法用于预测异常,深入了解分析方法是不可能的,因为分析方法只能解决两个或三个未知变量,而数值方法适用于多变量非常准确。(4)分析方法,如果可用,总是最好的。然而,在某些情况下这是不可能实现。如果分析方法都无法生成精确解,数值方法给可能得到一个近似的数值解。(5)该算法的极端的好处是基于其简单的适用性和简洁性。此外,它可以处理所有类型的非线性部分pde。
7所示。结论
在这个工作中,介绍了一个新颖的方法命名为分级迭代算法对于各种类型的非线性pde以及部分pd和详细讨论,包括数据和表列数值结果。该方法能够实现不使用任何变换,线性化、离散化或限制性的假设,因此特别完美的灵活和扩展特性的物理问题。卡普托分数阶导数的耦合和变分迭代算法来解决时间和空间衍生品准确的解决方法过程简单,分词的评价变得简单,火焰可以解决在一个巨大的方式。该技术能够解决各种线性和非线性问题在应用科学和工程产生的物理性质。
数据可用性
数据将提供第一作者的请求。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突与此相关出版物。
确认
据Stanimirović承认教育部的支持,科学和技术发展,塞尔维亚共和国,在批准号174013年。这项研究是由中国国家自然科学基金(批准号。11971142,11871202,61673169,11701176,11626101,,11601485)。