在非线性动力系统相空间压缩检测状态改变

文摘

管理复杂系统的非线性动力学方程通常是未知的,和间接方法是用来重建他们的繁殖。反过来,他们依靠嵌入参数需要其他方法和长时间序列是准确的。在本文中,我们表明,最优的重建系统可以实现无损压缩的时间,提供一个有条理的分析的动力和衡量的复杂性,即使是短序列。我们测量的复杂性检测系统的状态变化,如弱同步现象,描述许多系统,在一个步骤中,集成结果李雅普诺夫和分形分析。

1。介绍

自然系统通常是所描述的非线性动力学方程。当这些方程是未知的,我们可以通过重建再现系统动力学的廖从它的一个变量的时间进程1- - - - - -3]。相空间重建已被广泛应用于建模和预测的几种非线性系统,如生态、气候、和神经的(4- - - - - -7]。嵌入理论提出的塔肯斯(8)允许一个重构吸引子的一对一映射的动力学过程使用单个系统变量时滞值。从时间序列delay-coordinate地图构建通过向量的形式 ,在哪里是时间延迟。正确地构建的嵌入 - - - - - -维管汇 ,选择适当的值是至关重要的和 ,即。,the embedding parameters.

根据惠特尼定理、微分同胚映射确保通过选择嵌入维数吗 (9),结果也可能是广义noninteger(分形)维度[10]。惠特尼定理已经放松,例如,在[11,12),但是这些研究提供一个上界的估计 。开发了几种方法来估计可能的最小嵌入维(13),通常这些方法都是基于这样一个事实,当评估一些数量delay-coordinate地图,他们不会改变高于适当的嵌入维数。这些微分同胚映射不变量,例如,最大李雅普诺夫指数或假的比例最近的邻居14,15),后一种选择,在其实现引入了曹(16),是目前最常用的方法来估计最少 。

估计嵌入维度,微分同胚映射方法,涉及这一事实熵提出了不变量,包括,例如,微分熵(17和排列熵18),后者有优势考虑时间序列中包含时间信息(19]。Kolmogorov复杂度,也称为熵算法,提出了1968年的测量轨迹的动力学过程的信息量(20.),被定义为最短的长度描述产生轨迹作为输出。即使Kolmogorov复杂度无法计算,动力系统的轨迹,它通常使用无损压缩算法近似,Brudno定理后,1978年,写了Kolmogorov复杂度之间的平等和熵率(21]。然而,到目前为止,估计嵌入维数仍远非易事,尽管这个参数获得的见解至关重要的物理基础动力系统。

在本文中,我们表明,最优嵌入维数可以通过测量估计的Kolmogorov复杂度,这是评估使用压缩算法引入Lempel和齐夫(22]。我们的尺寸比其他信息估计可能是一种更健壮的衡量估计(因为它是独立的系统上的表示23),所以它可以估计没有先验知识价值的最佳时间延迟(24]。我们的方法的主要优势是我们探索的歧管动力系统的几何复杂性措施,获取丰富的底层动态信息和显示系统状态的变化,否则很难检测(25- - - - - -27]。特别地,在这里,我们表明,探索系统如何接近其合适的嵌入维数可以揭示混沌同步现象的出现在一个耦合drive-response系统。

2。低维混沌系统

估计最优嵌入维数 ,我们建立了 ,一个delay-coordinate地图作为时间的函数和 。然后,在固定和 ,我们离散化延迟坐标映射的值通过使用一个网格与本大小 : 。我们计算的熵率产生的符号序列通过Lempel-Ziv数据压缩算法28]: 在哪里最短的子序列从指数吗这并不出现在窗口的长度 。我们评估熵率的整个合奏delay-coordinate地图估计和最优嵌入维数的其中一个

这意味着最优嵌入维数的一个熵率至少一个组件,它表现得像一个非线性的函数 ,也就是说, 。这样的选择是由事实(29日)系统与因果它们的元素之间的交互熵随着nonextensive函数的大小 ,在nonextensive组件是由一个幂律函数描述 。

估计最优嵌入维,避免评价的最佳时间延迟 ,我们用一组特定的测试算法值,发现健壮结果对该参数的选择。图1(一)显示了一个示例为单个实现洛伦茨信号最优估计不会改变对不同吗值。图1 (b)显示了我们的算法的结果为一组混沌系统。具体来说,我们考虑物流,Henon Ikeda地图,Rossler,洛伦兹,和Mackey-Glass系统有三个不同的时间延迟,广泛用于一些自然现象的动力学模型,从化学反应到气候。对于每一个系统,我们计算措施在50个不同的实现和比较我们的估计与关联维数( )措施(30.- - - - - -33]。我们发现,对于大多数的测试系统,我们的尺寸接近惠特尼的上界估计 ,Mackey-Glass系统时,我们测试了三种不同的时间延迟,我们发现我们措施接近下限分隔 。

3所示。单向耦合系统

与drive-response配置中,耦合混沌系统的广义同步(GS)可能发生如果反应系统的状态不依赖于初始条件,但只取决于驾驶员的状态吗 ,也就是说,如果有一个相空间轨迹之间的函数关系, 。当的身份,有相同的同步,这很容易检测,因为同步运动变得简单清晰线vs飞机(34]。否则,当不同于身份,GS可能会出现疲软,这种现象很难检测到。提出了不同的方法来检测GS (35]。

例如,已经证明同步发生在所有的条件李雅普诺夫指数为负(36),虽然可以洞察的同步是通过考虑全球同步歧管的维度对驱动系统的维数 :如果 ,然后反应系统没有影响全球维度和有相同的同步。否则,如果 ,全球廖一个分形结构和同步是弱37]。揭示薄弱GS在耦合系统中,两个不同的类所需的措施,即条件李雅普诺夫指数和维度(s)全球歧管。

在这里,我们表明,反应系统的维数的分析通过无损的复杂性措施可以很容易地检测GS的出现。为达此目的,我们研究了两个单向混沌系统之间的同步现象,在GS发生耦合系数的函数 。我们研究了最佳尺寸系统的假设,我们对noncoupled系统,熵是描述一个nonextensive的元素数量的函数 。这个假设是特别提出当系统弱对初始条件敏感,在那里证明(38,39),通常的香农熵措施不适当,新的测量熵的引入,取决于对初始条件的敏感性和多重分形谱。

3.1。异构系统

作为第一个例子,我们考虑一个单向耦合系统的自治的司机是一个Rossler振荡器: 和一个驱动, ,是一个洛伦兹振荡器:

这种类型的系统研究在以前的作品(40- - - - - -42]。在图2(一个),我们表明,类似于之前的研究,GS产生阈值的耦合强度 ,那里的条件李雅普诺夫指数变得消极。我们计算李雅普诺夫指数使用回调方法43,44依靠gram - schmidt正规化的李雅普诺夫向量同时集成动力系统与四阶龙格-库塔算法(集成时间步 )。我们与5000个时间点计算指数,丢弃后第一个10000次迭代。维度的相关性预计使用25000个时间点和寻找高原函数 (45),表示一个合适的比例关系。如图2 (b),全球歧管高于司机Rossler系统,这表明在阈值 ,整个系统经历一个政权疲弱的同步。

对于每个耦合价值,我们估计最优嵌入维数的平均50实现系统动力学。时间序列与1000时间点被用于估计。当接近同步阈值 , 突然增加和假设值之间的两个独立的Lorenz和Rossler系统的两个极端。此外,值得注意的是,这一趋势估计是相反的趋势和条件李雅普诺夫指数,表明这些措施是指不同但互补动力系统的属性。先前的研究调查如何措施所需的熵和复杂性都是描述自然系统,因为他们捕捉动态的不同属性(46,47]。特别是,李雅普诺夫指数和分形维数的措施通常是相关程度的随机性和动力学的障碍,而我们的假设是 ,维度的熵率是描述一个非线性函数,模式的长度有关,即。在动力学规律,使其压缩。

3.2。相同的系统

我们考虑的第二个例子是单向耦合系统由两个相同的Henon地图(41),司机所描述的系统: 驱动的一个描述

我们计算李雅普诺夫指数和5000个时间点使用的回调方法,我们发现条件指数负在两种不同间隔的耦合:在一个窗口 然后对 (见图3(一个))。如图3 (b),在第一个窗口 ,全球的相关维度歧管高于相关维度的一个独立Henon系统: ,在这个区间内表明同步疲软。此外,对于耦合值高于 ,我们有 ,表明高耦合,相同的同步发生。耦合强度间隔和GS的两种不同的制度与一个嵌入测量显示。在这里,我们为每一个耦合计算值最优嵌入维数一般在50实现1000每个时间点,使用无损压缩的动力学。我们发现,在间隔,耦合系统的复杂性增加,导致增加了估计全球歧管。为 ,最优有下降,表明有一个系统状态的变化;特别是,估计的典型值一个独立Henon地图,揭示一个相同的同步。

4所示。结论

总之,我们已经表明,复杂性措施用来重建的几何的歧管动力系统可以用来获得有关系统本身的许多见解,即使底层控制方程是未知的。我们观察到的不规则性是如何动态,表达的熵率的估计,到达高原和通过增加的尺寸保持不变流形,提供一个健壮的和parameter-free估计的内在最佳尺寸。我们的措施是相当稳定的不同值的时间延迟 ,提供一个理想的方法重建的歧管只依赖一个估计。

我们选择相关的复杂性系统熵率措施的方式离开广泛的功能,成为非线性系统尺寸的数量的函数。如何正确评估最后几年的复杂性一直是一个争论话题。最具有争议的问题之一是信息理论估计像香农熵度量系统的随机性的程度,不考虑系统的动态组织,而理想的复杂性措施应该把随机分布和较低的作为最低限度复杂(48]。在我们的方法中,我们集中在熵组件,偏离了extensivity,认为它包含的信息必须与有效的系统的复杂性。

检测到同步,通常量相关的随机动力学(49,50,如李雅普诺夫指数和分形维数,研究了。然而,可靠地估计,这些量需要长时间序列,特别是计算关联维数,这也是由用户选择适当的规模和潜在的偏见的维度。我们的方法,相反,让强劲的业绩短时间序列捕获和识别的优点,用单一指标,不同的同步机制。此外,时间序列的尺寸达到它的最大障碍是信息和给我们的见解关于系统的内在结构。的最优嵌入维数变化的函数参数判决系统动力学强调状态改变,只要他们在动力模式的影响规律。在本文中,我们集中更多的具体检测耦合混沌系统的广义同步的现象,出现在许多生物和生理过程(51- - - - - -53),以及地球物理流体动力学(54),但它是出了名的难以解开。此外,同步现象的检测允许识别因果司机和导致更好的描述和预测系统动力学。可见之间的因果影响的关键作用的预测时间进程中已经涉及到了许多相关的研究,例如,生态(55)、金融(56),和多尺度人力流动系统57,58]。我们的方法为应用程序更复杂的动态展示铺平了道路的现象,通常需要多个复杂措施被探测到,表明无损压缩的系统动力学相空间可以用于此目的。

数据可用性

的数据支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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