分析、稳定和DSP-Based实现混沌系统的Nonhyperbolic平衡

文摘

本文报告一个自治动力系统,它发现一个nonhyperbolic零平衡和两个双曲非零平衡在这个系统共存。因此,很难证明混沌的存在Šil 'nikov定理。因此,采用拓扑马蹄理论严格证明系统的混沌行为相空间的庞加莱映射。然后,一个单一的控制方案设计稳定的动力系统zero-equilibrium点。此外,验证理论分析身体、吸引和稳定方案进一步意识到通过DSP-based技术。

1。介绍

混乱的行为广泛存在于生物、工程、经济、和许多其他科学学科(1- - - - - -4]。混沌系统属性的不可预测性,拓扑混合、遍历性、对初始值的敏感和控制参数。由于声频谱和宽带混沌信号可能适用于工程如随机序列生成(5,安全通信6)、图像加密(7,8),信号检测(9)、雷达和声纳系统10),等等。因此,它是重要的设计和分析新的混沌系统。1963年,洛伦兹提出了第一个三维混沌系统,研究地球大气对流(11]。然后,许多低维数学模型介绍了正的李雅普诺夫指数,以及丰富的动力学行为的分析。新的例子继续报告发表在物理应用非线性动力学杂志。然而,有必要发展与结构简单和丰富的混沌系统的动力学行为从应用程序的角度来看。

作为一个引人注目的混沌理论与符号动力学得到肯尼迪在连续映射(12),拓扑马蹄可以提供一个有效的工具证明混沌动力学在双曲线或nonhyperbolic系统。到现在,很多值得注意的理论进展已经扩展找到马蹄的存在。杨为例,介绍了卓越的标准寻找拓扑马蹄在不连续的地图13,14),已成功应用于一些实际系统验证混乱(15,16]。李提出一种新方法在动力系统与三个步骤寻找马蹄铁拓扑马蹄铁(通过使用几个简单的结果17]。然而,这仍然是一个艰难的工作找到一个拓扑马蹄在一个实际的混沌系统18]。

是不可能长期预测未来混沌系统的行为,但可以稳定未来行为在一定范围内通过使用控制技术。控制混乱的开创性的尝试是著名的OGY方法,适用于小扰动对系统参数使系统接近目标周期轨道(19]。然而,这种方法的实验实现受到的噪音水平实验数据的离散控制信号的性质。然后,提出了一种连续延迟反馈计划因此[20.]。控制信号的扰动是当前系统状态之间的差异,在过去一个时期的目标轨道。因此,扰动的强度将消失当系统演化到所需的轨道。自那以后,出现了各种各样的控制方法对于不同的应用程序,如同步控制(21),滑模控制(22针对采样控制[],23[],multiswitching组合控制24),仅举几例。然而,目前计划集中在控制问题需要几个控制器。从实际应用和理论研究中,它是重要的设计简单而可执行的控制技术。

在本文中,一个自治混沌系统用一个简单的代数结构提出了六项。基本系统的动力特性,包括平衡点、相图、庞加莱映射参数分岔和李雅普诺夫指数,在理论和数值模拟研究。发现这个系统展示成果密集周期窗口和共存的动态行为nonhyperbolic和双曲平衡点。并严格验证的出现混乱的系统理论,研究拓扑马蹄相空间的庞加莱映射。然后,基于李雅普诺夫稳定性判据,单一控制方案旨在稳定混沌系统zero-equilibrium点。吸引子的实现方案,详细讨论了控制方案,实现通过DSP-based技术,证实了理论的有效性和可执行性方案。

2。拟议的动力系统

这里的自治动力系统被认为是由

微分方程的系统(1)是简单立方项和两个二次叉积。系统参数 , , , , ,和都是积极的常量。

2.1。耗散度和吸引子的存在

我们首先考虑耗散度的一般条件,以确保混乱的属性:

因此,系统(1)将耗散,并将收敛于零容积测量根据的一个子集 ,当满足 。这意味着体积将成为在时间t通过流由系统生成一个初始体积 。因此,存在一个系统的吸引子(1), 。

2.2。平衡分和稳定

考虑到平衡点的条件 , ,和 ,我们获得三个平衡系统(点1),如下:

在选择一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2,平衡点和相应的特征值如表所示1,包括平衡点的类型。

从表1众所周知,三个平衡点都是稳定流形不稳定和不稳定流形。根据(25),由于特征值λ₃的平衡点P₀等于零,平衡点是nonhyperbolic类型。然而,平衡分P₁和P₂的双曲因为所有真正的部分对应的非零特征值这两个平衡的点。因此,这是一个混沌系统中,双曲线和nonhyperbolic平衡共存。,这种混沌系统不属于Šil 'nikov意义上的混沌系统,并很难证明混沌的存在Šil 'nikov定理。目前,混沌系统具有特殊功能,如混沌系统与非平衡多稳定性和双曲线和nonhyperbolic平衡共存,吸引了广泛关注研究[26,27]。

2.3。相图和混沌特性

在选择一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2,初始值x(0)=(0.01,0.01,0.05),系统的李雅普诺夫指数(1)中描述的数据1(一)和1 (b)值为0.123017,0.000029,和11.414797−。根据三个李雅普诺夫指数,Kaplan-Yorke维度D_肯塔基州= 2 + (0.123017 + 0.000029)/ 11.414797 = 2.0108。因此,Kaplan-Yorke维度分数。相应的混沌相图进一步显示,该系统显示复杂的混沌行为,如图2。

作为一种重要的分析技术,庞加莱映射可以反映混沌的分岔和折叠性能。选择参数值一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2,十字路口的飞机x₃= 0,x₁= 0,x₂= 0,得到相应的庞加莱映射如图3。我们可以看到从密集点吸引子的结构。

2.4。参数变化的影响

发现系统(1)表现出复杂的动力学行为与系统参数的变化。作为解释,我们只考虑参数的变化c和f在这一节中。

当固定参数{一个= 1,b= 6,d= 1,e= 3,f= 2},让c从2到8,相应的状态变量的分岔图和系统的最大李雅普诺夫指数(1)与c数值计算的数据所示4(一)和4 (b),分别。当我们知道系统(1)显示丰富的动力学行为,从稳定平衡的点,混沌振荡周期轨道,根据参数值。此外,许多窗户可见周期性出现在混乱的地区。然后,我们修正参数一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,而让f从1到3。数据5(一个)和5 (b)描述状态变量的分岔图和系统的最大李雅普诺夫指数(1)与参数f,分别。众所周知,随着参数的变化f系统(1)范围从稳定平衡分,混沌振荡周期轨道,和人口分布的周期性出现很多窗口在混乱的地区,也显示了丰富的动力学。系统(的性质的变化1)与系统参数c和f是非常重要的在图像加密。

3所示。动力系统的拓扑马蹄

3.1。拓扑马蹄理论的回顾

这仍然是一个挑战,发现拓扑马蹄铁在具体系统中,特别是选择一个合适的四边形截面。在研究马蹄嵌入在动力系统之前,一些定理在拓扑马蹄综述如下12- - - - - -14,17]_。

让D是一个紧凑的子集的年代,这是一个度量空间,存在米互不相交子集紧凑D₁,D₂、…D_米的D。

定义1。让是两个固定不相交的子集紧凑 。如果和紧凑和非空的,我们说连接的子集的连接和 ,并表示这 。

定义2。让是一个连接的子集 ,我们说是适当的关于和 ,如果有一个连接的子集令人满意的 ,和和非空的。在这种情况下,它是用 。

定义3。假设和与拓扑空间都是连续函数和年代,分别。如果存在一个连续满射确认, ,据说拓扑semiconjugate函数吗 。

引理1。如果 ,然后我们有 ,在哪里米是一个正整数。

引理2。如果 , , ,和 ,然后将存在一个紧凑的不变集 ,这样semiconjugate 2-shift动力学和拓扑熵的会满足 。

3.2。找到动力系统的拓扑马蹄

根据上面的理论中,马蹄将动力系统中发现的三个步骤(17]。在这个过程中,我们组的参数系统(1),一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2,初始条件x(0)= (0.01,0.01,0.05)。

步骤1。如图6,我们首先选择庞加莱截面的四个顶点P在飞机上 (-0.5 8 0)、(8,0,1.5),(1.5 8 0)、(8,0,-0.5)。

步骤2。然后,经过多次反复试验数值模拟,我们精心挑选一个四边形D₁的四边形P的四个顶点 让我们假设表示左边表示四边形的右边D₁。众所周知的数值结果,第三个返回地图位于左侧D₁,但第三返回地图位于右侧D₁。因此,根据这个返回地图,形象( )是完全在四边形D₁对双方和 ,如图7(一)。

步骤3。最后,我们将另一个四边形D₂的P这样 , 和 。通过大量的尝试,的四个顶点D₂选择如下: 类似地,和表明四边形的左右D₂,分别。第三个返回庞加莱映射的数值模拟和放大图中所示的数据7 (b)和7 (c),分别。从返回的数据显示地图( )适当的在所有D₁和D₂,躺在右侧D₁和躺在左边D₂。
因此,我们认为由于引理2能有一个紧凑的不变集 ,这样是semiconjugate 2-shift动态,我们获得吗 。因此,系统(1)在理论上被证明是混乱的,参数一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2,初始条件x(0)= (0.01,0.01,0.05)。

4所示。稳定的动力系统

4.1。控制方案

为了稳定提出了动力系统,我们添加一个控制器u在第二个方程。因此,控制动力系统描述如下:

我们的设计的目的是提出合适的控制方案u这样的所有输出变量系统(6)平衡点渐近收敛到零。

定理1。控制系统(6),我们设计一个控制器u作为

如果控制获得满足 与 ,控制系统的输出变量(6)平衡点渐近收敛到零。

证明。我们选择的候选人李雅普诺夫函数 相应时间的导数推导出的 因此,当 ,我们发现 因此,控制系统的输出变量(6)将平衡点渐近收敛到零。

4.2。数值验证

在本节中,数值模拟执行采用数值方法验证了该控制方案的可用性。来比较方便,我们选择系统参数一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2,初始状态设置为x(0)= (0.01,0.01,0.01)。参数设置,系统(6)是混沌控制器前生效。

控制器u施加在60秒,控制增益作为吗K= 2,K= -16。数据8(一个)和8 (b)描述控制的结果,可以看到,我们可以获得良好的控制效果,只有在很短的时间内系统的稳定不动点。我们也可以知道只需要小控制能源达到控制的目的。

5。DSP-Based实现流动和稳定计划

连续混沌系统的实现与电子电路已经广泛采用。模拟电子电路的参数公差组件将导致混沌系统的轨迹变化,限制了其实际工程应用。因此,DSP-based实现连续混沌系统能有效地克服这些问题。在本节中,系统的吸引子(1)和稳定方案系统(6)是基于DSP平台的实现。在我们的实验中,德州仪器采用DSP TMS320F28335计算状态变量和控制变量,它可以运行在150 MHz和接口与12位quad-channel数模转换器DAC7724并行总线(PB)模式。DAC7724所需的控制信号是由DSP和CPLD芯片生成的。硬件平台的框图如图9。

在实践中,我们连续系统离散化的经典四阶龙格-库塔算法采样周期 。从图2,我们知道的振幅变量( )太小,影响计算精度。因此,我们提出了一个通用方法重新调节系统变量的比例因子 ,在哪里 。

设置 ,系统(1可以转化为) 在哪里 。

当引入的线性变换 ,相应的微分方程系统(11)可以表示为

离散化系统(12)使用经典的四阶龙格-库塔算法,可获得下列差分方程: 在哪里和

当 , ,当 , 。

数字序列是由DSP根据(13)- (15),转换成相应的模拟序列的DAC7724然后传送到示波器。与一组一个= 1,b= 6,c= 5,d= 1,e= 3,f= 2, ,x(0)=(0.01,0.01,0.01),和控制增益K= 6,结果DSP-based实现吸引子和稳定方案是描绘在图10。通过比较图的吸引子2和稳定过程图7通过Matlab模拟,可以得出的结论是,他们有一个很好的定性协议。

6。结论

在本文中,我们提出了一个三维动力系统用一个简单的代数结构。基本系统的动力特性,包括平衡点、相图、庞加莱映射参数分岔和李雅普诺夫指数,通过理论分析和数值模拟研究。,采用拓扑马蹄理论严格证明系统理论上的混乱的出现。然后,基于李雅普诺夫稳定性判据,我们设计了一个控制方案稳定混沌系统zero-equilibrium点。通过DSP-based吸引子和稳定过程实现技术,有很好的定性协议Matlab仿真;因此,也证实了理论的有效性和可执行性方案。

数据可用性

图数据和表数据用于支持本研究的结果中包括这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金批准号。51977153和51977153下,国家重点项目下的中国国家自然科学基金批准号51637004,国家重点研究和发展计划”重大科学仪器设备开发”下批准号2016 yff0102200设备预先研究项目批准号41402040301,研究基金会的中国湖南省教育局批准号下18 a314,湖南省自然科学基金批准号下2019 jj40109,科研创新团队的湖南科技学院(没有。2019 - td - 10)。

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