文摘
在本文中,我们研究的必要条件和充分条件西珥随机模型的最优性。最特色、与研究西珥模型相比,该模型系统遵循随机微分方程(sd)由布朗运动驱动的。介绍了哈密顿函数获得的必要条件。使用伴随变量的显式,得到了最优控制结果所需的必要条件。我们也建立一个充分条件,称为随机西珥模型验证定理。
1。介绍
新冠状病毒对人非常有害。尤其是COVID-19目前在世界各地传播。它严重影响人们的生活。许多国家取得了良好的努力处理,防止它。目前,COVID-19流行在中国已基本控制。众所周知,西珥模型被广泛用于模型的传播传染病在人群中。到目前为止,许多研究人员来自世界取得了各种各样的理论结果和应用程序,看到1,2,7,9,15,16,18,20.,21)和引用。
不过,值得指出的是,西珥模型现有文献中确定的模型。我们知道随机事件是不可避免的在实践中,和随机效应,可能导致重大的改变,因此,随机西珥模型也许更好地适用于描述COVID-19流行病。出于现实的实际情况和缺乏理论,本文研究了随机西珥模型的最优控制。我们所知,几乎没有文献流行的最优控制模型在随机的情况下。我们的主要目标是获得的最优性必要条件随机西珥模型通过使用随机最大原则(SMP)。
随机最优控制问题,得到了大量研究的关注,近年来由于广泛应用在许多不同的领域,如物理、生物学、经济学和管理科学。众所周知,动态规划原理(DPP)和SMP是两个主要的工具来研究随机控制问题。SMP,它提供了一种最优控制的必要条件随机最优控制问题被称为随机版本Pontryagin的类型(3- - - - - -6,8,11- - - - - -14,19),该工具主要用于研究随机最优控制问题和一些随机微分对策问题。
例如,通过使用SMP,徐和施17)获得最优控制的反馈形式linear-quadratic-Gaussian (LQG)问题研究随机人口众多系统跳扩散过程。标准的SMP涉及解决伴随方程和哈密顿函数最小化。我们也跟着我们的论文。我们应该指出,西珥模型研究[10)是确定的情况下,当我们西珥模型是随机的情况下,也就是说,我们的模型和模型研究的主要区别在10]。
本文的组织如下。部分2致力于制定和假设的问题。介绍了最优的必要条件3。部分4旨在证明部分中提供的必要条件3也为最优性充分条件。最后,我们结束我们的工作与一些结束语部分5。
2。问题陈述和假设
在本文,我们 是一个固定的时间范围和 是一个给定的完整过滤概率空间,独立的标准一维布朗运动定义。的上标表示向量或矩阵的转置。我们假设过滤 是由独立的标准一维标准布朗运动吗 。
让 表示勒贝格可测函数的集合 这样 。我们写 如果 是一个 - - - - - -适应精确性过程(例如, )。让非空的子集的 。我们介绍容许控制集合
现在,我们介绍我们的西珥随机模型。让 ,和代表易感个体的数量,暴露,感染,恢复隔间 ,分别。人口总数是用 。让单位表示的分数易感人群接种疫苗的时间。
我们输入的随机扰动模型中的每个变量值按比例,得到以下动力系统:
疾病传播模型中的参数描述如下:自然出生率,代表了自然死亡率,表示由于疾病,死亡率和代表了发病率水平传输系数,让的速度,使人成为传染性,和去除率。请注意,该疾病的传播的速度 。在上面的模型中, 表示随机干扰比例模型中的每个变量值。模型中的参数应该是常数为简单起见。关于疾病传播模型的更多信息,我们参考读者2,9,13)和引用。
预期的功能是由成本 在哪里和给出常数。
考虑如下最优控制问题。问题(P):控制问题的目的是找到容许控制 这样 被称为最优控制来解决这个问题。
3所示。最优性必要条件
本节的重点是必要的最优性条件的问题(P)。
为了应用最优控制的必要条件的形式极大值原理,我们先介绍一些符号。假设
因此,随机西珥模型(2)可以写成
相应的成本函数
让 最优的问题P。标准给出的哈密顿函数 伴随变量的满足 在哪里 。
接下来,我们想获得伴随变量明确。让 。根据(9), 是明确的
接下来,我们评估最优控制的必要条件。由(8),我们有 这意味着
现在,我们总结上述讨论本文的主要结果。
定理1。让 最优的问题P与 。然后,满足(12),承认(10)。
4所示。充分条件最优
在本节中,我们将建立足够的最大原则(也称为验证定理)的问题P。也就是说,在(12)也是问题的充分条件P。
定理2。假设满足(12),状态轨迹 id给这样的存在解决方案伴随方程(10)。然后, 最优的问题吗P。
证明。对于任何
,我们考虑
应用IO的公式
,我们获得
结合(6),(9),(13),(14),有
在最后一步,我们使用的条件吗满足(12)。
因此,
。因此,我们得出所需的结论。
5。结论
玛丽亚做罗萨里奥de et al。10]被认为具有混合控件状态约束的最优控制问题的人类传染病的西珥流行病模型。出于他们的开创性工作而缺乏理论,本文涉及的必要条件(同时,充分条件)西珥随机模型的最优性。模型系统遵循sd由布朗运动驱动和相应的成本。这是第一次尝试研究这种控制问题在我们的技术报告,作者的知识。使用伴随变量的显式,我们获得最优控制结果所需的必要条件。
一些有趣的话题值得进一步调查。一方面,可以确定最优控制策略的随机延迟先生模型和比较,提出了工作。另一方面,我们将研究一些更现实的复杂模型,如考虑脉冲扰动对系统的影响。我们离开这些调查在我们的未来的工作。
数据可用性
使用的数据来支持这个研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究支持的部分项目山东省高等教育科技计划(批准号J18KA221),中国国家自然科学基金(批准号61973185),山东省自然科学基金(批准号ZR2018MF016),年轻的高校创新团队发展计划山东省(格兰特no.2019KJN011),山东省重点研究和发展计划(批准号2018 ggx103054),年轻的医生合作齐鲁大学技术基础(山东科学院)(批准号2018 bshz2008)。