文摘
带有非局部边界条件的椭圆问题是广泛应用于科学和工程领域,如混沌系统。首先,我们构造一个高精度差分格式为一种椭圆问题,巧妙地引入一个非局部条件的等价关系。然后,我们获得的局部截断误差方程的泰勒公式,最初,证明新方案可以达到渐近最优误差估计最大规范通过巧妙地将一个二维问题通过引入一个一维离散傅里叶变换。数值试验证明了理论结果的正确性。
1。介绍
非局部边值问题无疑是增长最快的一个领域在不同的应用领域,如混乱,化学,生物学,物理学(1- - - - - -7]。一些研究人员感兴趣的数值方法主要包括有限差分方法、有限元方法、有限体积方法,其他方法(8- - - - - -16]。许多人关注的有限差分方法固定的问题,例如,泊松方程(17- - - - - -22]。最近,翟等人提出了紧凑的四个订单和six-order不同方案二维泊松方程,但缺乏理论分析(17]。一些人研究非局部边界条件的非线性椭圆问题。2016年,Themistoclakis和维琪研究非线性边值问题,包括外地算子,提出了一个经典的数值算法来解决代数系统通过一些迭代过程(18]。齐次大炮开发了一种数值方法,非线性,外地,椭圆边值问题,证明了连续的压缩映射的存在性和唯一性,这不动点定理(19]。Pao和王关心一些数值方法四阶半线性椭圆边值问题非局部边界条件。四阶方程制定作为一个耦合系统的两个二阶方程有限差分法离散的(20.]。基于快速离散正弦变换、王等人设计了一个快速解算器实现一维四阶有限差分格式紧凑,二维,三维泊松方程(21]。伊斯兰教等人开发了一个基于Haar小波和搭配方法无网格方法通过分析二维泊松方程的解非局部边界条件的两种不同类型(22]。
其他研究人员感兴趣的抛物问题[23- - - - - -27]。Ivanauskas等人讨论了有限差分算子的谱受外地Robin-type边界条件,分析了有限差分方案抛物方程的谱特性,还讨论了交替方向方法和构造加权分裂有限差分格式(23- - - - - -25]。2011年,Ismailov等人调查的逆问题找到一个时间热源在抛物型方程和非局部边界积分测定条件和显示存在,独特性和连续依赖数据的解决方案通过使用广义傅里叶方法26,27]。然而,随着作者的范围的知识,很少有文献提出了一些高精度计划和显示理论证明两个非局部条件和二维椭圆问题,此外,显示相应的数值试验。它敦促我们去深入这个问题。
摘要,第一个新奇的想法是,我们巧妙地构造一个高精度差分格式为一种椭圆的问题有两个非局部边界条件通过引入等价关系的非局部条件时的解决方案 。获得的局部截断误差方程的泰勒公式。第二个是我们最初证明它是收敛的渐近最优的收敛阶两个通过机智的一个二维问题转换为一维离散傅里叶变换将之一。数值实验证实了理论结果的正确性。
本文的其余部分组织如下。节2,我们显示模型问题及其离散方案。节3,我们给出误差估计的离散傅里叶变换。节4,我们显示数值实验来支持我们的结论。最后,我们从本文得出一些结论。
2。模型和差分格式的问题
我们考虑以下二阶椭圆问题与当地和非局部边界条件: 在哪里 有些光滑函数和是一个常数。
非局部边界离散化,方便我们目前的一个等价关系如下。
引理1。假设的解决方案 在问题(1),功能 满足一致的属性如下: 然后,边界条件 相当于以下非局部边界条件:
证明。整合双方的方程(1)的变量在时间间隔和注意到条件
,我们有
也就是说,
另一方面,当条件(3)和方程(1),我们可以获得
整合两次双方上述表达式的变量
,我们有
在哪里和是两个常数。
从边界和条件一致
,
,
,和
,分别
因此,
这就完成了这个引理的证明。
在下面,我们将存在问题的有限差分格式(1)利用引理1。
我们采取以下区域的分区的方向和轴,分别。
在哪里
,
,和是相应的分区号。
方程(1)和两个地方可以离散边界条件如下:
在哪里和问题的精确和近似的解决方案(1)点
,分别。
从引理1,两个外地可以离散边界条件如下:
在哪里
3所示。误差估计
为了方便,我们引入外延 ,这意味着存在一个常数 这样 。
假设的解决方案 在问题(1从(),11)和(12),并结合方程(1),我们有 在哪里 是有限差分方法的误差点吗 和 相应的局部截断误差系数,分别和他们满足吗 和 。
首先,我们将介绍以下离散傅里叶变换:
类似的转换 分别如下:
由于这一事实是一个正交矩阵,持有逆变换公式如下:
从(15),我们有
方程的离散傅里叶变换(13)和(14),分别为变量 ,我们有 在哪里
让 在哪里满足
让
现在,我们可以得到下面的估计。
引理2。假设满足(24)。然后,我们有
证明。让
。然后,从(22)和(24),我们有
回忆,
,
和
,我们得到了
。
此外,
因此,人们很容易推断(28)。
让
,
。从(30.),我们有
从(24),我们得到
然后,总结上述方程从来
,我们获得
此外,求和(34)/从来和注意
,我们得到了
从(32),上述方程,可以获得
因此,使用(32)和(34),再在一起29日),这就完成了证明。
定理1。假设 和是具体的问题和有限差分的解决方案(1);然后,当 ,为 ,我们有
证明。我们表示 它满足 前两个表达式(25),我们可以推导出那样的存在这样 事实上,我们的价值作为 在(40),分别替换成第三表达式(25)。然后,我们得到 在哪里 从(39)和观察, 和 ,我们有 另一方面,从(26),(19),(22),引理2,我们有 合成的估计和 :(43)和(44(一起),41),然后我们有 此外,从(40), 由于这一事实 我们有 从引理2和(20.), 在一起的事实 一个可以获得(37)。这就完成了这个定理的证明。
4所示。数值实验
在本节中,我们进行一些数值实验的问题(1)。
例1。在问题(1),我们将
,
,
,和精确解
。人们很容易看到
。
在这个实验中,我们采取统一划分区域和步长
,利用计划(11)和(12),采用PCG方法解决相应的离散系统。计算结果如表所示1和2,规范
被定义为
,
,分别为,是错误的比值近似与精确解之间的步骤大小和
。为了显示点态误差,我们为四种典型的点表显示相应的错误2。从结果可以看到,收敛订单是2,验证理论结果的正确性。
例2。在问题(1),我们将
,
,
,
,
,和精确解
。人们很容易获得
。
我们采取同样的方法的例子1并得到数值结果显示为表3和4。从结果可以看到,收敛订单是两个,这也证实了理论结果的正确性。
5。摘要和结论
在本文中,首先,我们构造一个高精度差分格式为一种椭圆的问题有两个非局部边界条件为一个非局部条件通过引入一个等价的表达式。最初,其次,我们证明它是收敛的,饱和的顺序通过巧妙地将一个二维问题转换为一个一维的离散傅里叶变换。最后,我们进行一些数值测试,以验证理论结果的正确性。
数据可用性
所有生成的数据或分析在本研究中包括这篇文章。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这部分工作是由中国国家自然科学基金(批准号11971414),湖南省科技创新计划项目(批准号2018 xk2304),湖南省级教育部门和青年项目(批准号。18 b518和18 b082)。