文摘
在这个贡献,新的优雅hyperjerk系统有三个平衡和双曲正弦非线性研究。相比其他hyperjerk模型系统隐藏或自激流动了,报告的情况下这个工作代表一个独特的显示自励混沌吸引子的共存和稳定的不动点。新系统的动态特性研究的平衡点分析、对称和耗散,吸引子的存在。常见的分析工具(即。,bifurcation diagram, Lyapunov exponents, and phase portraits) are used to highlight some important phenomena such as period-doubling bifurcation, chaos, periodic windows, and symmetric restoring crises. More interestingly, the system under consideration shows the coexistence of several types of stable states, including the coexistence of two, three, four, six, eight, and ten coexisting attractors. In addition, the system is shown to display antimonotonicity and offset boosting. Laboratory experimental measurements show a very good coherence with the theoretical predictions.
1。介绍
大多数作者对混沌系统很感兴趣,因为他们对初始条件的敏感性和系统参数的变化。自发现这一现象的洛伦茨(1),许多经典混沌系统已经出现。我们可以提到Rossler系统(2),陈系统[3),贾法里系统[4),范教授系统[5陆,系统只列出了其中的一些(6]。在过去的几年里,一直特别关注“混蛋系统”由于其简单和复杂的动力学(7- - - - - -12]。从数学的角度来看,一个泛化的混蛋动力学通常是以下形式:
当 ,我们有 ,被称为“混蛋系统”(13]。为 ,(1)转向“hyperjerk系统”或“快速系统”(14]。在文献中,一些作者研究了后者。一般来说,这些系统表现出多稳定性多吸引子共存的现象仅仅取决于初始条件。这些流动一般分为两类,即自激和隐藏的流动(15- - - - - -20.]。记住,自激系统吸引子存在的不稳定平衡分(21- - - - - -23]。相比之下,隐藏的流动的特点是系统不平衡(24- - - - - -29日),通过一条直线或曲线平衡的点,或系统的稳定平衡分(24,25]。此外,隐藏的流动有一盆吸引社区不相交的平衡。
感兴趣的自激,许多作者不同的技术应用于hyperjerk系统。这些作者介绍了不同类型的非线性。例如,2006年,Cklouverakis和Sprott [22)提出了一个数值研究的一个简单的子类hyperjerk系统和显示,4th和5th订单hyperjerk系统开发一些简单的混沌行为。2015年,Sundiarapandian和同事(23)提出了一个新的超混沌4 d hyperjerk系统通过增加二次非线性Chlouverakis-Sprott hyperjerk系统系统。作者提出一些新系统的定性和定量分析。2017年,Daltzis et al。13)引入了一个新的hyperjerk系统有两个非线性(绝对值和五次项),表明新系统可以开发超混沌行为。最近,Leutcho et al。21)提出了一个新的hyperjerk电路与双曲正弦函数和这部小说表明,提出的系统是唯一一个能够展示9个周期和混沌吸引子的共存。
出于上述结果,提出了一种新的hyperjerk系统涉及一个双曲正弦函数的非线性位置反馈。我们的电路来源于hyperjerk Dalkirian和Sprott提出的系统7)通过取代指数非线性双曲正弦函数。引人注目的方面,提出了系统开发的能力共处十分离流动包括周期、混乱,点吸引子。这项工作的目标是:(a)展示的分析研究提出hyperjerk系统;(b)突出的地区,我们观察多个吸引子共存;(c)指出一些引人注目的特性,比如antimonotonicity和偏移量增加;和(d)来验证该模型的可行性试验研究。
这个研究是有组织的如下。部分2处理建模过程。的电子consuration hyperjerk电路提出了合适的数学模型推导出描述小说hyperjerk的动态,在模型的一些基本属性也同样提出了。节3,研究了系统的分岔结构数值。同时,在本节中,一些工具是用来显示小说中多稳定性观察系统。部分4包含实验研究,在这一部分中,似乎相干之间观察到的理论和实验分析。最后,部分5提出了结论。
2。模型的描述和分析
2.1。电路描述
重要的是要知道新电路提出了来源于hyperjerk Dalkirian和Sprott提出的系统7]。它是通过用指数的非线性双曲正弦函数。图1代表小说hyperjerk电路的原理图。几个相关的电路由四个连续的集成商反馈循环。此外,非线性反馈回路与半导体二极管的一对 应用于第一集成器。对称的性质(30.)系统是由于反平行的二极管的配置。在这种类型的配置,每个二极管的电压等于电压产生的二端设备,而当前的每个二极管的电流流过。的对称性质发生对称流动的非线性是必要的(30.]。我们想回忆一下,一双半导体二极管非线性元素是唯一负责整个电子电路所显示的混沌行为。
2.2。状态方程
以下假设将在我们的分析。首先,我们认为电容和运算放大器的理想与后者操作在线性域。其次,电流电压特性(3)的半导体二极管从肖克利二极管获得方程(31日,32)如下: 在哪里 , , , ,问, 二极管的固有参数。通过应用基尔霍夫定律计算1,考虑上述假设,它可以显示电压 , , ,和满足以下的四个耦合一阶非线性微分方程:
应用以下变量的变化: 我们得到的归一化电路方程表达了以下光滑非线性四阶微分方程数值积分的简单: 点代表分化有关的无量纲时间吗 。注意,非线性函数只取决于状态变量在系统(5)。在数值分析:将保持不变 。因此,在四维系统的分岔分析,被认为是控制参数(即。关于 )。电子元件的值用于数值和实验分析表中列出1。系统(5)可以表示等价于在一般hyperjerk形式如下:
通过观察方程(6),它可以注意到我们的模型属于更广泛的一类“优雅”hyperjerk动力系统中定义(14]。更有趣的是,我们的模型(5)代表一个最简单的自治4 - d系统近日报道,显示十固定的共存点,周期和混沌吸引子。
2.3。对称、耗散和吸引子的存在
方程(5)后不变的变换 ,我们可以得出结论,我们将有几个解决方案对于一个给定的参数范围。所以,如果 是我们的系统的解决方案,那么它的对称吗 也将是一个解决方案。所有这些使得它可以突出我们的系统的对称性质。为了验证我们的系统的耗散特性,有必要计算体积收缩速率( )。每一个点的空间(33,34),它是由以下表达式:
上面的表达式是负的,不依赖于系统的空间坐标,因此我们可以得出结论,介绍了系统耗散。
2.4。不动点分析
取消右边的方程(5),可以确定系统的平衡分发挥着至关重要的作用在系统动力学的研究。解决方程(8)许可来获得不同的平衡系统的点。
注意点是一个微不足道的平衡点,而和的解决方案是超越方程:
通过修复 和维护在相同的前一个值,我们获得另一个重要的平衡分 。在附近的稳定系统的平衡分研究了解决特征方程(12),结果从下面的方程: 在哪里代表了 单位矩阵,雅可比矩阵定义如下:
获得的特征方程 与
通过应用李雅普诺夫稳定性理论,证明平衡点 , ,因此平衡以来不稳定特征方程系数与不同的迹象。相比之下,非零平衡的稳定点( )取决于控制参数和 。通过应用Routh-Hurwitz标准(32,33),我们已经表明, 和 ,非平凡平衡点是不稳定的,但 ,他们是稳定的。从计算获得这些关键值霍普夫分岔的条件: 与
方程(13)提供稳定振荡的频率以及关键的值系统的霍普夫分岔相对应。从表2的政权,它遵循周期或混沌振荡,这三个平衡是不稳定的,因此系统产生自激振荡。对以下参数 , , , ,和 ,的平衡点所有的控制参数值仍不稳定 。此外,对于一些分岔参数的值 ,重要的平衡有纯虚根,因此系统霍普夫分岔了。为了验证系统中的霍普夫分岔的存在,特征值轨迹绘制。它显示了霍普夫分岔的存在的系统,它的特点是特征值轨迹与虚轴的交点。通过观察数据2(一个)和2 (b),我们可以证明新的hyperjerk系统提出了霍普夫分岔。
(一)
(b)
3所示。数值计算
3.1。数字技术
系统(5)是解决数字为了突出分歧的丰富多样,可以观察到一个新的hyperjerk系统。模型的动态属性是数值模拟;在Turbo Pascal使用四阶龙格-库塔方法以一个恒定的时间步长 ,和参数精度扩展模式。瞬态阶段取消通过集成系统在很长一段时间。分岔图和李雅普诺夫指数的传统工具测量系统对初始条件的依赖以及序列系统中导致混乱。狼和他的合作者的算法35)用于计算李雅普诺夫指数。
3.2。分岔,混沌在小说Hyperjerk电路
不同的场景中表现出的提议通过策划hyperjerk系统分岔图。图的分岔图3(一)通过策划变量的最大值根据分岔参数 ,其他参数固定 , , , ,和 。它可以指出,这是一个倍周期途径混乱因为过渡时期1双频带混沌吸引子是如下:第一阶段第二阶段时期4单波段混乱时期5单波段混乱双频带混乱。图4清楚地显示了上述过渡。它是通过逐步改变控制参数。的确切性质定义的上面提到的吸引子图的四个最大李雅普诺夫指数图所示3(b),我们可以观察到在图3(b)周期性流动特征 , , ,和 ,而混沌吸引子具有以下特点: , , ,和 。一个完美的一致性之间观察到的分岔图和相应的图形的四个最大李雅普诺夫指数。为了展示新hyperjerk电路的复杂性,混沌吸引子被投射在几个飞机(数字5(一个)- - - - - -5 (f)),以及庞加莱截面(图5 (g))。我们可以观察到双频带混乱完全改变当飞机从一个到另一个地方。为分岔参数的值 ,四个周期和混沌吸引子共存的观察在小说中提出的系统(见图6)。霍普夫分岔为了说明以前由理论计算,证明了图的分岔图7被代表。稳定状态的特征是一个固定的点 ,而振荡状态的特点是 。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(我)
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
3.3。多稳定性
在本节中,我们展示了各种各样的新的4 - d系统动力机制。我们表明,根据系统参数的值,系统展品非常丰富的动力学和分岔的场景。多稳态系统是一个系统与各种共存稳定状态(混乱、点和周期性状态)下相同的系统参数,不同的初始条件。近年来,多稳定性现象已经报道的现象在许多非线性动态系统13,36- - - - - -46]。
3.3.1。对吸引子共存对分岔参数
通过改变系统参数和考虑作为分岔参数,我们观察到一个完全不同的行为。此外,一个非常有趣的现象,是多个吸引子的共存出现在新的4 - d hyperjerk。对于这一现象说明,图的分岔图8是绘制使用以下方法:(我)同时蓝色的图是通过增加控制参数的值以及初始条件 。在每个迭代中,我们分配控制参数的新值c。(2)红图是通过递增从最小值2.34到2.985,最大值与精心挑选的一步。请注意,在每一次迭代时系统的解决方案被认为是作为下一次迭代的初始条件。(3)青色图方面之前的过程,初始条件 ,而黑图遵循相同的过程如前所述,但唯一的区别是下降的控制参数 。初始条件是 。(iv)洋红色图是通过增加控制参数从2.398到2.985,其次是减少分叉参数从2.398到2.34。
(一)
(b)
我们可以观察到在图8几个windows共存的流动。为更详细的方法绘制图的分岔图8,见表3。放大图的分岔图9显示了滞后领域,策划的范围 ,和用于绘制图的技术也在桌子上3。图9展示了六到八个不同的极限环的共存,混乱和点吸引子。一些样品阶段肖像显示6和8的共存流动提出了数字10和11,分别。一些盆地的景点吸引子共存的初始条件域呈现在图12。共存的四个流动显然是一对周期吸引子(黑色和黄色)和一对混沌吸引子(蓝色和绿色)。请注意这是一个完美对称的不同横截面之间的引资竞争。
(一)
(b)
(c)
初始条件的共处十流动表现出提出hyperjerk系统呈现在图13。的分岔序列图13显示的变化的控制参数 ,和其他初始条件设置为0 ( )。注意,混沌吸引子具有无限的点,而周期吸引子是由有限数量的特征点。在同一条线上,吸引力的盆地显示了不同的收敛域相似的流动。图的相位图14说明了共处十流动。的首字母条件共存吸引子表4。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
(c)
(d)
3.3.2。对吸引子共存对分岔参数和
为了调查的敏感性新hyperjerk系统的分岔参数 ,其他参数是固定的如下: , , , ,和 。我们发现这本小说hyperjerk系统可以表现出显著的分岔序列在不同控制参数范围内 。参照图11,分岔图获得的黑色和蓝色的增加和减少的值参数 ,而红色是通过固定的一个初始条件 。一个窗口的滞后动态范围可以确定 。放大图的分岔图12清楚地说明了域多吸引子共存的观察到新的hyperjerk系统根据分岔参数 。不同的方法用于情节这些分岔图展示在表3。六种不同的周期,混乱,点吸引子只能通过改变初始条件。例如,样品阶段的画像共处六个不同的流动呈现在图13。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
(d)
在数学分析中,霍普夫分岔显示,根据控制参数 。图的分岔图13(a)清楚地说明了这一现象的特点是稳定状态的不稳定状态。此外,这个控制参数也突显出共存的多个吸引子表现出新的4 - d系统。通过考虑以下设置的参数: , , , , ,和 ,我们发现新的4 - d系统显示四个不同的混乱和点吸引子共存。相图的画像14及其相应的截面盆地的吸引力也清楚地表明共存现象,给每个吸引子的初始条件域。绿色和黑色域代表初始条件的地区对混沌吸引子,而黄色域代表一对点的初始条件的地区流动。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
3.4。抵消增加的场景
另一个属性的系统(3)是开发一个偏移量的可能性提高的效果。在我们的模型中,只出现在第四行方程(3),因此这个变量是一个可启动的变量(47- - - - - -52]。假设转换 在哪里是一个常数,方程(5)可以重写相应的
图19明确提出抵消提高双频带的混沌吸引子。以下的参数值: (蓝色), (红色)和 (绿色)是用来情节x1- - - - - -x4和x1- - - - - -x3飞机。
(一)
(b)
3.5。Antimonotonicity
通过减少控制参数的值 ,我们可以观察到周期轨道的形成和破坏通过反向倍周期分岔序列。这个有趣的现象已经在文献中报道。据报道在杜芬振荡器等各种非线性系统(12],蔡氏电路[53),二阶非线性非自治电路(54,55]。这种现象是hyperjerk系统首次报道了Leutcho et al。21]。周期性的海洋在参数空间的创造必要的要求是一个非线性系统经验正向和反向倍周期级联(21]。样本的插图在图表示20.,一些分岔图所示。这些图获得了每个离散值的控制参数 。在图20.,请注意, ,我们有第二时期泡沫和轻微的调整控制参数 ,时期4泡沫观察 ,而对于 ,我们有一个period-8泡沫。在相同的秩序,混乱的泡沫正在形成 。增加的控制参数产生了其他泡沫,最终导致无限树(如混乱)。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4所示。实验研究
本节的目的是确认上述理论结果,实现实验室的实验研究。要实现这一目的,在文献中提出了几种方法来实现混沌电路(通过使用许多类型的现成的电子元件(56)或现场可编程门阵列(FPGA)技术(57- - - - - -60]或field-programmable-analog-array (FPAA)技术(61年,62年仅举几例)。(即只现成的电子组件。,resistors, capacitors, pair of semiconductor diodes ( ),和TL084运算放大器类型15伏直流电源为±)用于实现图的示意图1。以下值在实验过程中使用的电子电路组件: , , ,和 (其他参数,见下表1案件)的完整序列阶段绘制的肖像 计划是通过调整控制电阻器范围内 。图中可以看到21一个好的数值结果之间的一致性(左)和实验的(右边)。通过改变电子元件的值: , , , , ,和 (其他参数,见下表1案例B),对吸引子共存。图22清楚地说明了固定的共存点,第二时期吸引子和混沌吸引子。出现随机吸引子的打开和关闭电源。我们可以得出结论,数学模型提出了工作完美地描述了小说的真实行为hyperjerk电路。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
5。结论
这项工作提出了研究一个新的混乱hyperjerk电路三个平衡点有双曲正弦非线性。系统中的混沌行为观察是由于非线性组件由两个反平行的二极管。经典非线性分析工具被用来研究的完整动力学系统。的分岔分析新的电路显示混乱的双频带从倍周期吸引子出现场景中紧随其后的是对称恢复危机事件。此外,系统的一些性质如antimonotonicity和抵消增加已揭晓。特别是,不同地区在参数空间的系统发展的共存十断开连接组成的稳定的不动点吸引子,极限环,奇怪的报告。周期性的共存,混乱,和稳定的不动点在这项工作尚未发现报道在hyperjerk系统(至少简单讨论的情况下),因此价值传播。验证理论研究提出了工作,新的混沌hyperjerk电路实现和使用的调查。实验结果在数值实验结果吻合较好,从而证实了该模型的可行性。由于其极端简单加上极富动态,新hyperjerk电路介绍了工作的潜在效用信息加密以及其他chaos-based应用程序(62年]。
数据可用性
没有数据被用于这项研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。