文摘

在自然界中,生物入侵是一种常见的现象,经常威胁本地物种的存在。去除后的入侵物种很难实现其生存和繁殖。目前,杀死一些侵入性的,把人工本地物种通常的方法来防止本地物种灭绝。ODE模型构造模拟入侵过程,和保护政策被描述为一系列的冲动取决于变量的状态。常微分方程和脉冲形成一个状态反馈脉冲模型,描述了入侵,一起保护。类的存在周期和分岔的1阶脉冲模型的周期解进行了讨论,和轨道渐近稳定的1阶周期解是业经证明的新方法。最后,列出的数值仿真结果证实了理论工作。

1。介绍

生物入侵是一个物种的引进和建立超越其自然范围可能急剧扩散和传播(1]。预测,生物入侵的速度预计将增加全球运动的加速度的人们和货物2,3]。生物入侵构成重大环境变化的驱动程序,影响保护,农业,和人类健康4,5]。不可避免的是,生物入侵导致物种之间的相互影响。当地社区成员受到生物入侵时,他们可能会面临小说拮抗剂如捕食者或竞争对手,或者他们可能会受益于新的猎物,新的和充分利用宿主植物,甚至新的共生生物(6]。众所周知,一些入侵的情况下,如外来入侵植物扩散的阿尔巴尼亚和地中海(7]在美国和亚洲鲤鱼的猖獗的扩散在自然环境造成了巨大的灾难。因为生物入侵造成大量快速的环境变化(8)、生物多样性丧失、退化生态系统结构、生态系统服务的障碍(9),和对自然和农业生态系统的重大影响10),生态入侵和随后的影响从科学家和官员收到越来越多的关注。防止一些物种灭绝和破坏生态入侵造成的利基,生态学家实施一些策略如天敌的引入,替换的入侵物种,物理防治和化学防治。这些人工控制方法定期执行,而不是持续执行。和时间点进行人工援助是由物种的密度决定的,而不是固定的时期。

最近,一些数学家状态反馈脉冲动力进步了很多。他们不仅建立了基本框架,还提出并证明了一些有用的定理。陈修正和改进的一些基本框架定义和定理的提出了一系列建立这方面的基础,广泛应用于处理实际问题(11]。张等人提高了理论1阶模型周期解的互联网蠕虫控制(12]。魏等人专门领域的很多同宿轨道周期和heteroclinic对某些动态模型(13- - - - - -15]。灵感来自于新结果在状态反馈脉冲模型(16- - - - - -26),和古典工作在极限环26)作者提出一个状态反馈脉冲模型,比ODE模型更适合描述生态入侵的过程和人工控制。

本文组织如下。第二节提出了一种状态反馈脉冲模型,描述了人工辅助作为脉冲依赖的状态变量和状态反馈脉冲系统的介绍了预赛。1 -周期和1阶的存在证明了周期解第三节,证明了它的稳定性第四节。一些数值模拟将展出第五节。

2。状态反馈脉冲模型及其预赛人工帮助

我们专注于人工控制通过释放一些人工养殖的,摆脱一些外来的帮助当地物种生存与外来的竞争。

2.1。自由发展模型和分析

我们认为这个模型 来描述这两个物种之间的竞争,和分别本地和外来入侵物种的密度,这两个物种争夺相同的自然资源。考虑到实际意义,我们只讨论模型(1)在第一象限。很容易发现,模型(1)有两个平衡和 ,在哪里是一种不稳定的节点 是一个马鞍。的动态特性模型(1)如图1。由于只有一个马鞍在第一象限,我们认为不存在极限环 。

在图1、不稳定的和稳定的鞍集合管 ,重线所示,标有和 。第一象限是分为四个部分 ,和 。的轨迹开始和往往会 这意味着本地物种入侵没有人工的帮助才能生存下来。相反,从轨迹的趋势和意味着当地的物种将会经历一个关键缩小后一定时期内,和入侵将导致当地物种的灭绝迟早的事。濒危物种应该已经被保护以特殊的方式,和在这篇文章中,我们关注的共同保护nonendangered本地物种入侵期间,所以我们只研究轨迹 。

人工控制设计如下。当入侵物种的密度达到一定程度是显著的 ,手动干预将会实现。通过一些技术技能,如喷洒杀虫剂,人工杀害,和释放天敌,入侵物种将部分删除。同时,一定数量的本地物种被放入循环来补充它的密度。由于入侵物种的灭亡和当地物种的补充进行根据物种的实际状况和人工辅助能在相对较短的时期内完成与长期的两个物种之间的斗争相比,入侵和保护过程应该用状态反馈脉冲模型描述。不失一般性,我们假设入侵物种在人类帮助的密度大于平衡的纵坐标 ,也就是说, 。如果人类帮助足以维持物种的地区的状态和 ,本地系统将继续存在。然而,人类的力量总是有限的,这意味着不能彻底消除入侵物种和当地物种只能辅以有限。我们还假设两个物种位于区域的状态冲动后和它的边界。

2.2。施工状态反馈脉冲模式

状态反馈脉冲控制在下列程序工作。一旦入侵物种的密度阈值上升 ,人们会挑了一些对他们的速度并将在当地一些人工的同时。当地人工的数量则让剩余的情况是感染密度本地物种。在间接描写,我们投入更多的人工的保持本地物种永久如果本地物种的密度较低,即。,它是当地物种的密度成反比之前的冲动。构建模型,我们表示不稳定流形的交集和打线 作为 ,和点 表示稳定流形的交集 ;后点的线由冲动。我们也表示风险条线的交点 和水平等斜线 作为 (见图2)。然后,该模型可以描述为

从上面的描述中,我们假设 和所有的参数模型(2)是积极的。在模型(2),人工本地物种的投资与左边的单调递减,这是符合实际情况。当地物种离开越少,人工的投入就越多。

2.3。预赛

在接下来的这一节的一部分,一些关于状态反馈的预赛冲动系统将被引入。

定义1。被定义为状态反馈脉冲系统 (定义的动态系统3)是一种半连续动态系统。在系统中,当变量 达到设定 ,脉冲将显示 。在这里, 被称为脉冲设置和是冲动的函数。不失一般性,初始点的系统(3)应该限制不是冲动 ,也就是说, 。定义 ,和我们称之为相集。可以用状态反馈脉冲系统 ,在哪里 。和表达的状态反馈脉冲系统的映射 。
很明显,线段是脉冲组模型(2),而某一线的一部分 设置相应的阶段。而轨迹达到的冲动点 ,脉冲函数地图点 ,即。 。

定义2(见[11])。自 是一个映射,存在一个点在阶段设置和一个相应的时刻令人满意的 ;此外, ,也就是说, 。然后, 是一个1阶周期解的模型(3)。的轨迹来控制的和映射段台词来控制的一个1阶有限周期。此外,如果有一个马鞍的1阶有限周期,然后形成一个1阶1周期。

定义3(见[11])。假设脉冲组和相位设置直线(参见图吗2)。任何点 ,定义其横坐标的绝对价值坐标。的轨迹开始相交脉冲组在 ;然后,脉冲函数地图来在阶段设置 ,和随后的点吗 。然后,我们定义的继任者功能作为 。

备注1。的充分必要条件 的解决方案吗点是一个1阶周期解的系统(3)。

引理1(见[11])。继任者函数是连续的。

引理2(见[11])。在半连续动态系统 ,存在两个点和在阶段设置 ;如果 ,然后必须存在一个点之间的和在阶段设置令人满意的 ,也就是说, 是1阶周期解。

引理3。如果表达的冲动的条件 ,然后系统(3)可以写成

假设有一个订单周期解 ,和周期是 。然后,1阶周期解是轨道渐近稳定的因素满足 ,在哪里

在这里, , , ,和 相应的值点吗 ,和和计算在 。

定义和引理的状态反馈脉冲系统具有重要意义本文在接下来的部分。

3所示。1 -周期和同宿分岔

为了讨论1 -周期和1阶的存在周期解的模型(2),我们选择作为一个关键参数。在一定 ,1 -周期存在,那么它将消失,分叉的1阶周期解的变化 。

3.1。同宿的循环模型(2)参数

水平等斜线 的模型(2)在图表示为点线3穿过冲动的设置 和相位设置 在和(见图3),垂直等斜线 是一条直线通过鞍吗和并联轴。从模型的轨迹特性(2),我们知道交点的不稳定流形和线 必须找到左侧水平等斜线和垂直等斜线的好处 ,而交点稳定的管汇和行 必须在机身右侧上方。

根据模型的控制(2), ,不稳定流形的马鞍, ,出来的并达到冲动点 。限制 , 将由冲动映射映射的模型(2),也就是说,

冲动的映射后,沿着轨迹 ,的稳定流形 。所以,轨迹 ,冲动行 ,和轨迹形成一个闭合循环和马鞍定位。然后,表单(参见图1 -周期3)。

定理1。如果 ,然后在模型(存在一个1阶1周期2)。

3.2。同宿分叉有关参数

表明,把丰富的人工本地的可以维护本地物种的永恒。但在实践中,大量释放的缺陷不能满足每次人工繁殖能力。与上述一致的,我们只考虑点定位的阶段在这篇文章中。

在本节中,我们假设 ,所以的阶段表示为位于左侧的 。取另一个点 在左边的并承担 ,在哪里 是一个足够小的数字,这意味着足够接近 。常微分方程的基本理论后,存在一个独特的轨迹通过并与脉冲组相交点 。根据解对初值的连续属性,点位于右边的足够接近 。此外,基于连续脉冲函数的特征关于自变量,阶段点 也足够近吗 ,也就是说,是左边 , (见图4)。

然后,我们考虑通过轨迹 。轨迹的特性后,只存在一个轨迹穿过表示为 ;它到达想象集 在 ,那么冲动的功能地图来 。以下讨论basedfsection,我们将讨论轨道stabi的位置 。

案例1。 。这个条件保证了相点和一致和继任者的函数是 ,也就是说,the trajectory和冲动的映射组成一个循环(参见图1阶极限5)。我们表示的值在这种情况下 。

例2。 ,也就是说, 。有了这个条件,我们的继任者功能是 。根据引理2,存在一个点 (之间和 )令人满意的 。这意味着存在一个1阶周期解的系统(2)(见图6)。

例3。 ,也就是说, 。在这里,我们可以得到一个相反的继任者的函数 ,也就是说, 。表示的交集和相位设置(上行移动) ;然后, 。另外,从引理2,存在一个点 (之间和 )令人满意的 。这意味着存在一个1阶周期解的系统(2)(见图7)。
从这三个案例的讨论,我们有如下定理。

定理2。如果 (是阈值以确保阶段点位于 )持有,那么存在一个1阶周期解系统(2)。

备注2。从定理1和2,我们知道系统(2)有一个1阶1周期 。对于任何 ,1阶1周期优惠和1阶周期解分叉。然后, 是一个系统的分岔点(2)。

4所示。1阶周期解的稳定性

在本节中,我们将讨论轨道1阶周期解的稳定性。

定理3。假设 是一个1阶周期解的模型(2)发起的 它到达的冲动 。的1阶周期解 是轨道渐近稳定如果 是满意的。

证据1。假设 是一个1阶周期解的系统(2)和周期 。表示 以下的表达系统(2),我们有 然后,它们的值可以计算的 我们也有 然后, 在面积上 ,变量显示了一个连续下降时是由前两个方程模型(2)。 和 是坐标的十字路口1阶周期解与阶段设置和冲动。很明显,阶段设定的轨迹从十字路口的冲动,所以我们可以得出结论了吗 。如果这些条件 还持有。,the intersection of the order-1 periodic solution and the phase set locates on the left side of the horizontal isocline, we have 。然后, 是满意的。下面的引理3,我们可以得出结论,1阶周期解是轨道渐近稳定。这就完成了证明。

5。数值模拟和讨论

系统(1)是一个状态反馈脉冲动力系统的相应的系统无脉冲模型(2)。在第三节和第四节,我们已经证明系统(2)1 -周期或一个1阶周期解根据不同的参数值。验证结果,我们将展示一些结论显示更加直观地的结果。

在以下的数值模拟模型(2),我们假设 而参数和控制脉冲的强度取不同的值。

图8显示1 -周期存在 而参数需要不同的值。这意味着1 -周期的存在价值的影响参数只要上面的脉冲组位于鞍 。

图9展览的情况 。当 ,阶段点面积将下降这意味着一定轨道运行 。在现实中,如果有大量的人工可以投资于当地的竞争对手一起摆脱一定量的入侵,并维持当地的物种就会成功。如果人工繁殖当地物种是很容易的,冲动的补充足够数量的人工本地的可以帮助当地物种持有与侵入性的竞争优势的。因此,加强当地的物种提供充足的数量在单脉冲处理生态入侵时是最好的策略。

当 ,存在1阶周期解的模型(2),和图10显示了具体情况。这意味着删除一些入侵物种和提供一定数量的本地物种可以保持本地物种和防止它灭绝。在现实中,当本地物种不是很容易繁殖,适量投资当地的物种和清除入侵的将两个物种进入周期情况。本地物种和外来入侵物种将会保留,和他们的数量似乎有一个复杂的相互关系。单一的情况和当地物种的时间序列和入侵物种如图11。很容易发现时间和振幅增加的增长基于固定 。这意味着更多的补充当地物种的人工繁殖可以使当地的物种面临干扰时稳定。

对不同的 ,模型(2)有一个1阶周期解 。图12显示的是1阶周期解的模型(2)当 。

基于理论和数值结果,我们可以得出结论,造成人工繁殖当地物种入侵物种和投资环境可以帮助当地的抵抗生态入侵。投资大量的本地物种在一个时间甚至可以支持本地物种赢得竞争。如果本地物种的补充是不够的,我们还应该尽可能丰富的补充,因为我们投资越多,当地的物种将会越强。

数据可用性

没有数据被用来支持这项研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

孟张被国家自然科学基金委(不支持。11701026)和基础研究基金为北京大学土木工程和建筑,中国(X19031)。易赵被BUCEA支持研究生创新项目(没有。PG2020098)。