文摘

一个新的和改进的方法提出了基于迭代的数量减少数字混沌映射的动态退化。我们建立一个控制时间通过引入迭代函数而不是外部系统,从而取代原始混沌映射的控制参数。实验结果表明,基于混沌映射的迭代次数的组合方法是更复杂的和有效的。周期是扩展没有完全摧毁了相空间,这表明我们的方法是有效的,可以与其他提出的技术竞争。一种伪随机位发电机提出了基于迭代次数的组合方法来演示它的简单应用程序。

1。介绍

混乱是一个确定性,伪随机过程出现在非线性动力系统。过程的不均匀性,敏感性初始状态,和良好的遍历性的范围使这种现象符合现代密码学,这需要混乱和扩散的原则。

然而,由于设备的精度限制,最混乱的地图不能达到理想状态(1]。因此,动态退化,混沌系统分为一个循环发生在相空间有限,混沌系统的动态性能降低,在很多情况下不能满足需求。

许多方法已经提出了动态退化的现象。这些方法主要可以分为两类。第一类不需要引入外部系统(2,3),第二个类别需要引入外部系统(4- - - - - -15]。详细的分类目前流行的方法可分为以下五种类型。(1)最简单的方法是使用一个高精度的设备(3因为最初的问题是由精密的限制造成的。阶段状态的改善将增加精度。然而,使用高精度的设备只能延长所有的平均时间长度pseudotracks但不是每个pseudotrack[的周期长度16]。(2)一些方法延长段数字混沌映射通过级联多个混沌映射(6,7,12]。该方法可以避免过早混沌系统进入循环。但是,很难控制动态级联多个混沌系统的复杂性。(3)几种方法通过切换多个混沌映射(8,9)在不同的动态系统的基础上指定的转换策略。例如,如果一个顺序切换策略被采用,然后第一个动态系统是迭代一次,以及第二个动态系统。随后,该策略可以追溯到第一个循环,可有效延长周期。因此,设置适当的转换规则是很重要的,在这种情况下。(4)一些方法引入伪随机扰动源(5,10- - - - - -13)提高动力下降。在[5的下限),指定段的长度和维护原始混沌动力学的良好统计特性是理论上可行。这个场景将不可避免地在一定程度上增加实施成本。在这种方法中,外部伪随机扰动源将决定的随机性能混乱的地图。(5)模拟-数字混合控制方法(14,15)也可以有效地用于提高混沌映射的动态退化类比混沌系统和数字混合控制的混乱的地图。然而,在这种方法中,相空间绝对是毁了。的类型系统不能被视为一个数字混沌系统。除了利用高精度的方法,另一种新方法,该方法不需要外部系统的引入是delay-introducing方法(2]。这种方法提高了动态降解通过引入最后迭代状态。然而,尽管某些影响改善动态降解实现(2),该方法仍然有限,需要进一步改善。

因此,在这项研究中,我们提出一个新的方法来提高动态降解通过引入迭代时间。在我们的模型中,我们使用一个函数相结合的迭代的数量来代替原来的数字混沌的控制参数映射。因此,控制参数是一种不断变化的状态,这样混乱的系统不会轻易落入一个循环,和动态退化现象不会出现。不同于许多其他技术(9,16),我们的方法不破坏原始混沌映射的相空间同时提高动态退化现象。因此,它是充分竞争与其他方法。我们的方法的优势如下:(我)方法简单实现不引入其他外部系统。它只介绍了迭代次数,这是不断变化的。因此,该方法提高了动态退化现象,同时控制成本。(2)该方法是通用的,可以灵活地应用于各种混乱的地图。(3)方法已被证明有效改善动态退化。

本文的其余部分组织如下。部分2提供了一个初步的介绍该方法。在部分3和4,我们把我们的方法和一维逻辑图和二维贝克地图,分别比较我们与最初的数字地图的方法。然后,我们的方法的有效性是通过大量的实验结果评估。一个伪随机位生成器(PRBG)该方法基于我们提出了部分5。最后,部分6总结了研究。

2。迭代次数的组合方法

混沌映射,实现精密设备有限,可以表示如下: 在哪里 后状态变量吗 次迭代, 控制参数的地图吗 当一个 ;因此,地图 将是混乱的。 表示函数的精度 是当前精密。所以, 意味着当上实现精确的计算设备 ,混沌系统的输出 将有限的一组2p元素。由于计算机的有限精度,它可以代表的比特数是确定的。因此,相空间是有限的,从而导致混乱的地图最后落入循环固定控制参数。具体地说, 一定会发生几次迭代之后。在这个时候,如果其他参数仍然保持不变,那么混沌系统将落入循环,和周期长度 。

改善这种情况,我们提出了迭代次数方法使控制参数组合 不断变化如下: 在哪里 是控制参数函数, 是迭代的数量。迭代次数组合方法取代了原来的控制参数 控制参数的函数 。的范围 应该是一个子集的α的范围( )确保映射仍然是混乱的。因此, 共同决定了 和 。随着迭代的继续,迭代次数增加,也就是说, 不断变化,因此控制参数的值函数 也在不断变化,因此,当 但 ,和 。此时,混沌系统不会落入一个循环,和周期将会延长。迭代的次数 不需要额外的计算资源,从而导致相当大的成本降低。

不同混沌映射的基础上,我们可以构造不同的功能如下: 在哪里 是一个函数相关吗 ; ;和参数 和 是用来调整的范围吗 。

这个函数 是不固定的,可以根据需要灵活地改变,会议的前提下相关的评价指标。它可以是一个线性或非线性函数 。我们建议简单功能构建尽可能降低实现成本。的输出 用作输入正弦三角函数。三角函数的范围 ,和的范围 必须满足相应的条件的基础上不同的混沌映射到混乱的状态。因此,属于的绝对值 是很容易调整范围。然后,参数 和 按照要求调整特定的混沌系统的控制参数。

在该模型中,我们只有修改控制参数的混沌系统,而控制参数仍然满足原范围的要求。因此,相空间不会被摧毁。因此,该方法可以被视为一个补救措施,而不是生成一个新的随机源。在每个混沌系统控制参数也存在。因此,我们提出的方法可以普遍使用。

贝克一维逻辑混乱的地图和二维混沌映射将在以下部分中引入的。

3所示。示例1:物流地图

物流被定义为地图精度有限的设备 在哪里 是控制参数, 确保映射是混乱的。在本节中,为了提高动力有效地降解,我们构造 说明这种迭代次数组合方法的实用性。因此,我们的模型被定义为 在哪里b是一个调节参数,因为的范围 是 ,所以 。因此,迭代次数的总和物流图可以表示为

接下来,我们验证了我们的方法的有效性通过比较相关特性与原物流地图和其他改进方法。

3.1。轨迹和相图

相同的参数应该用于比较清晰和准确。我们设置精度为2−16,初始值是随机选择的 , ,和 。我们在不同的初始值进行实验。实验结果是相似的,所以我们随机选择的结果一组初始值作为代表。数据1(一)和1 (b)显示原来的轨迹数字逻辑映射和数字逻辑映射的方法,分别。图1(一)显示原始数字逻辑地图分为快速循环,和它的周期长度是58岁。相比之下,图1 (b)仍然是随机的。因此,迭代次数的总和数字逻辑函数法可以有效地改变陷入循环的现象。

(一)
(一)
(b)
(b)
图1
两个映射的轨迹。(一)数字逻辑图;(b)数字逻辑映射迭代次数的总和。

原始数字逻辑映射有限范围的值由于被困期间,和它的相图是一个断断续续的曲线,如图2(一个)。然而,相图上的点的迭代次数的总和数字逻辑图的密度(图2 (b))。下面的比较表明,改进的混沌映射不改变原始混沌相空间的映射,但补充原相空间的基础上,扩大其范围。

(一)
(一)
(b)
(b)
图2
两个映射的相图。(一)数字逻辑图;(b)数字逻辑映射迭代次数的总和。
3.2。自相关分析

自相关函数的一个重要指标在评估是否序列是随机的和独立的。对于一个合格的随机序列,应该是δ函数的自相关函数。当精度仍然设置为2−16图像的自相关函数的原始数字逻辑映射和迭代次数总和数字物流地图数据所示3(一个)和3 (b),分别。从图可以看出3(一个)随着时间间隔的增加,自相关序列不立即接近零,但会有明显的旁瓣;因此,原始数字物流所产生的序列图有一定的相关性。而图像如图3 (b)高度delta-like,这表明序列弱相关。这表明,迭代次数加起来的数字物流有更好的混沌属性映射到某种程度上。

(一)
(一)
(b)
(b)
图3
自相关函数的两个地图。(一)数字逻辑序列;(b)数字逻辑序列迭代次数的总和。
3.3。期分析

周期分析是一个重要的因素在数字混沌序列生成的地图分为循环速度比理想。因此,分析序列的周期性是必要的。初始值和控制参数的值保持不变。表1细节的比较结果精度是相同的。对比是否原始混沌映射生成的序列和改进的混沌映射有一段和它的长度。迭代次数的总和数字逻辑图变化的动态退化混沌系统由于设备的精度有限。因此,它不能检测精度大于2的时期−12。然而,在(4需要一样大,精度2−18。因此,我们的方法优于上一周期的改进研究。

表1
期分析两个地图(U表示未被发现的)。
3.4。复杂性分析
3.4.1。近似熵(ApEn)分析

ApEn是一个复杂的非线性动力学参数和统计量化平卡斯在1991年提出的一个度量序列(17]。ApEn越大,较低的序列的自相似性,和序列将更加复杂。相反,自相似性序列会更高。ApEn弱依赖序列长度。只需要很短的数据来获得一个健壮的熵值。在本节中,我们计算两个映射的值分别在不同的精度。ApEn已经大大增加,如图4。获得的值迭代次数的总和数字逻辑地图总是高于原始数字物流的价值地图。这个结果也表明,我们的方法可以增加地图数字物流的复杂性。此外,我们的方法也略高于ApEn(的4),这是一个改进方法通过bi-coupling数字混乱的地图,需要引入外部系统。


图4
数字物流的ApEn地图,迭代次数的总和数字逻辑映射和耦合的数字物流的地图。
3.4.2。排列熵(PE)分析

体育是熵的方法计算基于置换模型,主要用于分析非线性混沌系统的特点。类似于ApEn、PE是用来评估另一个重要因素的动态特征混沌序列。与其他分析方法相比,其计算过程比较简单,抗噪声能力强,只需要一个短序列来估计一个更稳定的系统特征值。

根据方程(4)和(6),PE结果,如图5。蓝线上方的黄线总是在相同的精度。因此,方程生成的序列的PE (6)大于方程(4)。因此,迭代次数的总和复杂数字逻辑函数法有更好的性能,原始的方法。


图5
数字物流的PE地图数字逻辑映射和迭代次数的总和。

4所示。示例2:贝克地图

我们也测试和分析二维贝克映射,这是另一个流行的混沌映射,进一步说明了该方法的有效性,引入迭代时间。

贝克地图精度有限的设备可以表示如下: 在哪里 控制参数的区间 生成一个混乱的地图。在方程(3),我们试图控制参数表示为函数的迭代次数有关。在该测试中,我们定义 如下:

因此, 在哪里 是调整参数。因此,迭代次数的总和贝克数字地图可以表示为以下方程。

实验根据上面的公式,执行和控制参数的改进数字贝克地图是完全随机的。由于贝克地图本身的特殊性质,避免混乱的地图的情况属于某一个点,不能跳出的控制参数往往为零(一个⟶0)是必要的。因此,我们需要添加一个一步算法,以防止这种情况。我们添加判断步骤,伪代码如下所示:

当控制参数的函数 ,也就是说, ,判断条件是正确的。取代 与另一个表达式。 可以取代了许多其他的表情,我们准备好了吗 在这项研究中。总之,最重要的事情是避免控制参数 。 表示绝对值函数。

同样的,我们执行一个实验部分的数字逻辑映射迭代次数的总和3贝克评估的性能改进的数字地图。的结果y维空间变量的结果基本上是一致的x维变量。因此,我们只展示的结果x维变量。我们设置 , , ,和 。首先,我们设置精度为2−12。图6(一)显示原始数字贝克地图大约220次迭代后迅速进入循环。然而,图6 (b)还在一个随机的状态。图7贝克显示了相图的数字地图和数字迭代次数的总和贝克地图后,迭代次数相同。两个数字贝克映射的相空间分布的空间 。相空间图的点7 (b)明显的密度。因此,该方法可以有效地延长周期和提高动态退化现象。

(一)
(一)
(b)
(b)
图6
两个映射的轨迹。(一)数字贝克地图;(b)数字迭代次数的总和贝克地图。
(一)
(一)
(b)
(b)
图7
两个映射的相图。(一)数字贝克地图;贝克(b)迭代次数相结合的数字地图。

根据方程(7)和(10),我们进行自相关分析x维序列获得一个比较的结果,如图8。我们的方法生成的序列是一个理想的δ函数。然而,由方程(生成的序列7)不能被视为随机图的基础上8(一个)。这个结果进一步证明了迭代次数组合方法的优越性。

(一)
(一)
(b)
(b)
图8
两个映射的自相关函数。(一)数字贝克地图;贝克(b)迭代次数相结合的数字地图。

贝克的原始数字地图和改进的数字迭代次数的总和贝克映射在不同精度统计分析,如表所示2。在原始测试数据,贝克地图可以检测周期;然而,我们的方法不能检测期间所产生的序列相同的精度。我们的方法的有效性,为提高动态退化。

表2
期分析两个地图(U表示未被发现的)。

最后,我们评估序列的复杂性。数据9和10结果ApEn和体育不同的地图在不同的精度。贝克的ApEn原始数字地图(图是最低的9)。迭代次数的总和数字贝克地图和耦合贝克地图(4)是大大高于原来的,而数字贝克映射迭代次数的总和是略好。PE的原始数字贝克地图时低精度较低,而迭代次数的PE组合数字贝克地图总是保持一个令人满意的结果(图10)。在此基础上,结合迭代次数的复杂性方法是可以接受的和突出。


图9
贝克的ApEn数字地图,迭代次数的总和贝克数字地图,和耦合贝克地图(4]。

图10
数字的PE贝克地图数字贝克地图和迭代次数的总和。

此外,为了确保实验的真实性,我们使用不同的初始值来评估实验。实验结果类似于上面的,所以我们不会重复它们。

5。PRBG基于数字混沌映射迭代次数的总和

5.1。PRBG

伪随机序列的序列是可以预先确定的,可以不断产生和复制,但一个随机序列的随机特性(即。统计特性)。因此,科学家们已经提出了很多PRBGs。考虑到性能优良的混沌系统加密,不少PRBGs基于混沌系统(18- - - - - -21]。在这一部分中,一种伪随机位发电机提出了基于数字贝克方法迭代次数的总和,如方程所示(10)。

拟议中的PRBG可以表示为 在哪里 表示松放功能,只保留整数部分。我们使用整数剩余量化的方法。首先,我们生成一系列随机数的基础上的二维数字贝克地图。接下来,属于的迭代生成的数量 之间的转换为一个数字吗 ,然后转化为一个8位二进制数。具体的过程如图11。


图11
提出PRBG的原理框图。

一系列的合格的伪随机序列应该能够通过各种统计测试,评估序列的随机性。我们采用NIST的统计测试,密钥空间分析,密钥敏感性分析和线性复杂度分析。实验设置的值如下: , ,和 ,精度是设置为2−12。

5.2。统计测试

证明了该方法产生的伪随机数发生器是安全可靠的,它必须统计测试。目前,最受欢迎的统计测试PRBG如下:(1)NIST的统计测试套件(22,23),(2)Donald Knuth的统计检验24),(3)Crypt-XS的统计测试套件(25),和(4)顽固的统计测试套件26]。这些测试套件可以在一定程度上解释了序列的随机性。其中,NIST的统计测试套件包含各种独立的统计测试,可以相对全面的统计分析。因此,在这项研究中,我们选择NIST统计测试套件。

5.2.1。NIST的统计检验

NIST的统计检验包括16个测试方法。这些测试方法可用于检测任意长二进制序列的随机性产生的伪随机数生成器。他们致力于确定可能存在的各种nonrandomness序列。测试结果如表所示3。所有 值大于0.01;因此,被接受为随机序列。这一发现表明,我们提出的方法产生的伪随机序列通过NIST统计测试。因此,有些序列具有良好的随机性性能。

表3
NIST的统计测试结果。
5.3。安全测试
5.3.1。密钥空间

暴力破解攻击是最常见的和困难的方法。目前,当空间是大于2的关键128年,密码的安全性可以得到保证。在我们的方法中,控制参数 和 的初始值 和 可以用作联合秘密密钥。最大的精度将是10−14。考虑到 和 ,空间大约是2的关键190年2,这远远超过了标准128年,从而证明它可以抵制暴力破解。此外,与其他方法相比,该方法是大于2184年在[4),2146年(9.7×1042)(27]。

5.3.2。关键的敏感性

密钥敏感性评价的一个重要指标。PRBG键必须足够敏感的抵制微分攻击。当关键略有变化,生成的序列应该是不同的。测试关键的敏感性,我们改变1位在生成一个新的序列的关键。正如我们所知,方差是一个衡量两组数据之间的差异。因此,两个序列之间的差异程度可以比较通过计算两个序列的方差比率。并进行了多项实验。结果在表4表明,每种情况的方差比接近50%。因此,该方法显示了良好的密钥敏感性和可以有效抵抗差分攻击。

表4
敏感性分析。
5.3.3。线性复杂度

线性复杂度作为评价标准中扮演一个重要的角色随机序列的复杂性。阶段的最短的数量线性反馈移位寄存器(LFSR)产生这个序列是一个二进制序列的线性复杂度的定义。集 是一个二进制序列与一段2n。然后,线性的复杂性 被定义为最小的正整数吗 满足公式(4)(2), 感到满意: 在哪里 = 1, 。

在数学上,多项式 叫做生成这个序列的特征多项式,即最短线性反馈的反馈多项式位移器(LFSR)。在所有的反馈多项式序列 ,第一个多项式 以最小的程度称为序列的最小多项式 。序列的线性复杂度年代通常定义为最小多项式 ,表示为 。详细的算法中可以看到[28]。

线性复杂度 作为一个合格的随机序列。图12表明,我们所产生的随机序列的线性复杂度方法总是维持在约 ,这表明良好的随机性和复杂性的方法。


图12
序列的线性复杂度。

6。结论

在这项研究中,提出了一种通用方法来改善混沌映射的动态退化现象在有限的精密设备。在我们的方法中,我们介绍了迭代次数来取代原始混沌映射的控制参数。我们把这个数字与三角函数的迭代,这样的控制参数的功能满足需求范围混乱的地图。delay-introducing方法相比(2),迭代次数的改进效果结合本文方法显著提高;bi-coupling方法相比(4),改进后的方法更容易实现,不需要引入外部系统,效率高。一和二维混沌映射实验测试表明,我们的方法可以大大提高动态退化现象不引入其他系统。该方法是简单和有效的。最后,我们提出了一种基于迭代次数PRBG结合贝克地图和有限的精度。通过实验,所有指标表明,序列生成的根据我们的方法具有良好的统计特性和安全特性。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(61862042)。