文摘
虽然多稳定性的控制已经被报道,预选的一个理想的吸引子仍是发现在两个多吸引子共存的系统。这工作报告控制共存的流动与预选幸存下来的排比蔡美儿的吸引与光滑的立方非线性的系统。线性增加的技术结合系统不变参数平衡分用于选择所需的生存中吸引子共存的。非线性动力工具,包括分岔图、标准李雅普诺夫指数、阶段画像,和横截面的初始条件都是用来揭示幸存下来的选择场景吸引子蔡多稳定性控制过程的系统。多稳定性的主要危机走向湮没在蔡的系统不同耦合强度是内部危机和边界碰撞。理论和数值结果进一步验证了PSpice软件分析。
1。介绍
在非线性动态系统的研究,同时对吸引子存在(有限或无限),也称为多稳定性(1- - - - - -13),极端多稳定性(14- - - - - -16),或megastability [17),现在在前沿。记得著名的蔡美儿的电路中广泛研究电子电路能够显示混乱(18]。当莱昂蔡教授介绍了电路,这是故意这样建成的三个模型的平衡是不稳定的。基于每个点的局部稳定性,电路能够表现出double-scroll混沌吸引子(18]。这种振荡器的调查期间,主要的挑战是设计的非线性部分叫蔡的二极管。使用运算放大器(19],二极管[20.[],晶体管21),电流反馈运算放大器(22),电感器自由CNN(细胞神经网络)细胞(23],许多实验结果报道在蔡的二极管的实现。最后,利用两级op-amp-based负阻抗转换器(nic)并行,通常的实现提出了蔡美儿的二极管和接受为标准19]。还在24),包和合作者,在他们的调查,发现,与一个不稳定的零鞍点和两个对称的非零node-foci稳定,改善了蔡美儿的电路也可以生成一个自激混沌吸引子。最近,指数采样系统t - s模糊系统控制与应用程序已经探索过蔡的电路(25]。特别感兴趣的,蔡也能够显示的多吸引子共存同一套系统参数但使用不同的初始条件(24]。这对吸引子共存有时不良,需要避免;因此,调查是进行这项工作。
的话,这些共存的解决方案在一个给定的非线性动力学系统可以自激或隐藏。回想一下,一个吸引子称为自励吸引子的吸引盆相交与任何一个不稳定的不动点的开放社区。否则,它被称为一个隐藏的吸引子(26]。相反,隐藏解决方案吸引盆不重叠社区的一个平衡点,从而可能很难找到数值(11,27- - - - - -34]。然而,后者的定位是成为可能使用一个算法提出的列昂诺夫et al。35]。这样的系统类型(隐藏的吸引子)可以潜在的危险和不可预知的(与蝴蝶效应无关)。非线性系统的多稳定性意味着系统能够表现出不同类型共存的稳定状态和不同形式的吸引力盆地为一组相同的系统参数,但使用不同的初始条件(2- - - - - -4,8,14,36,37]。对吸引子共存以来常用的图像处理(16,38),它变得非常迫切需要控制这种现象的时候,有时,周期和混沌轨道同时存在。突出的方法报道,最新的相关文献可以使多稳态系统单稳态系统噪声的选择(39],pseudo-forcing [12),短脉冲(40),谐波扰动(41),断断续续的反馈(42),时间反馈(43)和线性增加(2,3,44- - - - - -50]。除了时间反馈和线性扩增方法,在几乎所有其他现有方法,系统的控制是应用于一个参数删除所有初始点的流动。因此,外部控制如颞反馈或线性扩增方法将是首选。回忆,在许多双稳态动力系统,只有一个稳定状态需要跟踪特定的系统性能。在这方面,Sharma et al。47]提出了控制一些双稳态系统的毁灭和选择流动使用的线性扩张计划。这项工作进行了使用两个著名的聚合系统自治蔡氏振荡器和神经系统。此外,线性扩增方法已成功地应用于(46)来控制双稳态特性表现出由Lorenz-Rossler系统。2015年,同一个研究小组(45)利用线性控制方案来稳定系统定点状态即使原系统没有任何固定的点。最近,在43],作者提出的方法时间反馈自治以及非自治系统的吸引子共存的目标。实验实现了方法也解决。然而,所有这些结果仅基于双稳态系统。
最近,Fonzin Fozin et al。2]研究了共存的毁灭多个稳定状态的自激记忆性超混沌振荡器基于线性扩增方法。利用非线性分岔图等分析工具,李雅普诺夫指数谱,肖像阶段,盆地的吸引力,和相对盆地大小,作者表明,当增加控制参数,分岔的路线之后,每个三个共存流动逐步合并为了给一个独特的图。作者的结果表明,对于高值的控制参数,多稳态系统在三共存流动变成了单稳态唯一幸存的吸引子。同样的结果被发现在同一个研究小组解决多稳定性的控制(包括三个分离的流动)简化规范蔡与光滑的双曲正弦振荡器使用线性非线性扩张计划(3,44]。最近,Tabekoueng Njitacke et al。50]研究了共存的射击模式及其控制两个神经元通过非对称耦合电突触。他们的数值结果表明了控制策略的有效性通过毁灭周期共存的放电模式。他们发现,只有更高的耦合强度值,一个混乱的放电模式。从这些结果,可以看出,密集的作品已经完成多稳定性控制的非线性振子基于线性扩增方法。的话,所有这些成功多稳定性的控制结果进行了迄今为止只在系统具有独特的平衡点(2,3,44,50]。这种独特的平衡点排除了可能性目标/选择多稳定性控制过程中所需的吸引子。从今以后,我们在这项工作中提出以下:(一)利用线性扩增方法跟踪并选择一个吸引子在四个共存流动使用的每个模型的三个平衡的点(b)设计一个模拟电子电路控制蔡美儿的振荡器进一步支持数值调查
论文的布局如下:在部分2蔡,我们回忆起一些基本性质的光滑非线性振荡器。在第三节,数值跟踪使用通常的非线性动力学工具吸引子共存的解决。在第四节,线性扩增计划利用跟踪每个三个吸引子共存的生存在每个三个平衡的点。提供了研究模型的电路实现第五节。在第六节,一些结论进行了总结。
2。蔡与光滑非线性振荡器的描述
蔡的振荡器与光滑的立方非线性多稳定性的控制这项工作是由无量纲方程(1),如下所示5,51]: 的非线性函数被定义为
这项工作中所使用的参数值的模型的研究(5)和设置 , , ,和 与和可调。因为它可以看到在方程(1),替换下的模型仍然是相同的 。生成的稳定状态模型将出现在对称双 重建的真正对称模型。如果没有,仍将是对称的,如果产生的稳定状态的真正对称流动已经重新建立。这种方法被广泛利用最近发现对称系统的吸引子共存等混蛋(6,8,52- - - - - -56),超混沌和混沌蔡的振荡器(3,44,57- - - - - -59),Hopfield神经网络(10,36,60,61年],达芬振荡器(9),仅举几例。此外,它很容易显示模型过程三个平衡点由以下表达式: ,和 ,在这是由 。
3所示。吸引子共存的选择:一个数值的方法
3.1。计算方法
在本节中,我们将使用传统的非线性分析工具如分岔图,图的最大李雅普诺夫指数,阶段画像,两个参数图、标准李雅普诺夫稳定性图,和吸引盆追捕windows控制蔡美儿的振荡器与一个光滑非线性展品滞后动态并行分支的分支。这些各种工具使用龙格-库塔公式计算在Turbo Pascal软件扩展精度的变量和常量选择模式。在这个贡献,我们使用一个常数时间网格 ,和调查进行了很长时间。通过这种方式,抑制瞬态行为。一些分岔图在这项工作通过增加计算控制参数声明从不同的初始条件或使用一个向上和向后延续技术。这些方法是寻找最好的windows共存的模型显示分岔。图的李雅普诺夫指数的计算方法是用狼等人提出的算法。62年]。两个参数图和标准李雅普诺夫稳定图计算同时通过改变两个系统参数组成合适的彩色图。这些以前的图,以及盆地的吸引力,通过数值计算得到的最大李雅普诺夫指数350×350的网格参数值的选择空间。
3.2。并行分支分支和多吸引子共存
在非线性动力系统的研究,对吸引子共存同一组的系统参数,但使用不同的初始条件被称为多稳定性。两个奇怪的和引人注目的表现这种行为是极端或隐藏极端多稳定性(63年,64年)和megastability现象(17]。这种现象多稳定性已经发现在几个非线性系统包括memristor-based振荡器(8,16,57],混蛋/ hyperjerk系统[55,56,65年),和超混沌蔡的振荡器3,4),仅举几例。
图1代表一个分岔时获得不同的控制参数范围 。两组数据与相应的图的最大李雅普诺夫指数叠加。一个大窗口共存的分岔与并行相关分歧分支。结果,这种叠加的多个吸引子的分岔是共处同一套系统参数。例如,当 ,蔡的电路显示一对对称的共存时期4极限环(黑色和蓝色)和一对对称的混沌吸引子(绿色和红色),使用不同的初始条件,所描述的三维(3 d)投影图的吸引子2(一个)。初始条件的设置使获得每个图提供以前的流动2 (b)。
(一)
(b)
(一)
(b)
这个值相同的控制参数,振荡器及其稳定的平衡分检查如下: 与特征值由 和 和 与特征值由 和 。自研究模型的特征值在固定的点不稳定参数的设置用于研究及其流域的吸引力与任何开放的社区的一个不稳定的不动点,我们得出这样的结论:吸引子共存发现自激(26]。当 ,蔡的电路显示一对对称的共存时期2极限环(黑色和蓝色)和一对对称的混沌吸引子(绿色和红色),使用不同的初始条件,所描述的三维(3 d)投影图的吸引子3(一个)。每个共存的盆地相关联的吸引力吸引子图提供3 (b)。模型的平衡分以及特征值的控制参数给出的离散值 与特征值由 和 和 与特征值由 和 ,这进一步支持不稳定平衡的性质。从这个吸引盆2 (b)和3 (b),它可以观察到每个吸引子有它的初始条件设置拦截它的一个直接的邻居。对于每个盆吸引,标有黄色区域无限运动,而对吸引子共存的表面涂有红色和绿色,而对周期吸引子的画在蓝色和黑色。
(一)
(b)
4所示。使用线性扩增方法控制共存的流动
4.1。控制方法的描述
从已经发表的作品45- - - - - -49),线性增加的理论控制方法包括耦合非线性系统显示多稳态线性系统的行为描绘的方程(3)。备注选择标量控制指导下最近的结果控制和同步混沌系统(66年,67年]。事实上,它已经表明,混沌系统的控制和同步使用标量比向量提供极大的灵活性。事实上,使用向量的缺点比标量控制或同步是系统的完整状态参与这个过程。当使用这些系统的完整状态,能源和资源消耗很高。
在这个方程, 代表一个标准形式的非线性动力系统,是一个米系统变量的维向量是相关的向量场。参数代表重量使连接的连接非线性系统,线性。向量代表的动态线性系统 ,在哪里代表其衰减参数。当控制器,即 ,线性系统趋向于零和一个指数衰减率 。
代表的另一个关键参数控制蔡的振荡器将用来跟踪希望稳定状态。一般选择在附近的平衡控制系统(47]。这些稳定状态,源自不稳定平衡,检查由特定组不变量,即。,吸引子共存和现有固定的点。固定的点是发现在吸引子共存的中心或躺在盆地的边界分离吸引力的稳定状态。然后,通过考虑向量相同的一个不稳定的不动点,可以获得一些共存的稳定状态的死亡通过合并危机当增加耦合/连接耦合振子之间的重量。优越的值连接的重量,只有一个幸存的吸引子使系统获得选择参数设置将从多稳态单稳态。上述控制方案提出了目前用于蔡的振荡器。耦合应用的变量的耦合强度描述在以下方程:
平衡的控制蔡美儿的振荡器是通过解决以下方程:
一些代数运算后,我们获得平衡的表达点如下: 在哪里通过解决以下方程:
考虑 和 ,方程(7)成为
的根(8)可以使用Cardano-Tartaglia方法派生而来。根据Cardano判别[68年,69年),如果 ,有一个真正的根和两个复杂的根源。由于定点不能是一个复数,存在一个平衡点。 在哪里 。
如果 ,方程(8)将有两个实根。最后,如果 ,有三个方程的实根(8),体现控制蔡的振荡器有三个平衡分,可以得到方程(9)- (11)。其余的电路参数图中使用的相同3。蔡的控制振荡器的稳定性提供了表1。从表可以看出1,对于一些控制器的离散值系数,蔡美儿的振荡器控制,在考虑下,保存其稳定性,因此它能够产生自激流动因为性质不稳定的平衡。发现,当耦合强度是null,有三个值 ,其中原点和一对对称的 。当耦合强度增加,仍然是统一的,而和被降低(分别地吸引。增加)平衡的价值点和 。
4.2。在蔡美儿的振荡器控制多稳定性
一个说明性的例子如图的线性控制方法4使用两个参数图和相应的标准李雅普诺夫稳定图在参数空间 。这里的积分法采用了与前一节中使用的相同。青色的颜色与周期性振荡,而红色颜色与混沌运动。好根据之间观察到的两个参数图(左)和相应标准李雅普诺夫稳定图(右)。的图是通过全面上升(图4(一))和下行(图4 (b))两个控制参数。从一般的角度来看,可以看出,在两个图,四个区域,即(R1),(R2),(R3)和(R4),可以观察到。区域(R1),(R2)和(R3)对应的一组参数的模型显示滞后动态生多个稳定状态的共存现象,而(R4)代表一组显示单稳态动力学的参数模型,换句话说,没有多稳定性。这些图是非常重要的,因为他们使工程师有一个总体概述分叉时的多稳态振荡器的动力学参数和控制器耦合强度都不同。
(一)
(b)
介绍了自耦合沿着““变量,我们修复 这是两个重要的平衡在一个点。当增加控制参数范围内 图中可以看到5(一个)四组数据叠加在分岔图。每组数据(以红、黑、蓝、绿颜色)对应于路线之后,每一个吸引子在控制机制。如图5(一个),三个危机使所有的绘制航线合并在一个黑色的耦合强度值高。在区域(D1)的图6很小的值(例如, ),四个流动包括两个混沌吸引子共存(红色和绿色)和两个周期吸引子(黑色和蓝色)。
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
的上边界(D1),红(混乱)中的图表进行合并危机(第一次危机)和混合图的蓝色。在区域(D2),因为之前的合并危机,只有三个不同的图,他们的分岔序列(见区域(D2))。对于一个离散值 ,我们共处三个分离的流动,包括第二时期,时期3和时期4极限环呈现在图6(一)。划分区域中每个吸引子共存的区域(D2在图提供)6 (b)。因为它可以从图观察6 (b)盆地在蓝色已经吸收的红色,而盆地黑已经开始吸收的绿色。的上边界(D2),一个危机(第二个危机)使绿色中的图表显示时期3极限环合并在黑色的图。在区域(D3),我们观察到两个图的叠加,包括一个周期和混乱。
在这个区域的离散值 ,蔡的振荡器显示共存的时期2极限环不对称的混沌吸引子(见图7(一))。吸引力的盆地与每个吸引子共存关联计算和绘制在图7 (b)。从这个盆地的吸引力,它可以观察到盆地黑已经吸收的绿色。的上边界(D3),危机管理(第三危机)使图中蓝色显示混乱的行为与黑色中的图表合并。在区域(D4),当关键值 ,所有的图已经与黑色的合并,以及控制目标是实现区域(中描述D4)当““是固定的 。我们可以说路线之后,黑图(见图7 (b)朝它)是一个磁化的路线,吸引所有其他路线作为控制参数增加。
(一)
(b)
它可以观察到,如图5 (b),只有两个危机使多稳定性的控制在原点 。的上边界(D1),第一个危机使图中绿色与黑色中的图表合并。同时,图中红色的合并的一个蓝色的。在(D2),只有一对对称的吸引子共存。的上边界(D2),两个共存图进行对称恢复危机和生一个独特的图中所描绘的一样区域(D3)。
现在,当附加其他非平凡平衡点( ),幸存的吸引子,当监测控制参数,得到经过三的危机。这些危机最终使所有的图与图中蓝色的合并。这个控制过程的细节通过合并的图不是为了提供简洁。然而,在图8,我们已经提供了一些盆地的吸引力来说明合并盆地的吸引力。在图8(一个)图的,黑色的图5 (c)已经与绿色的合并。相同的值,图中蓝色开始吸收另一个是红色的。在图8 (b),图中蓝色的已经完全与红色的,而且只有两个共存流动仍然存在。
(一)
(b)
(一)
(b)
为 ,我们提供了独特的流动,通过控制方案表现出人物幸存下来5(一个)- - - - - -5 (c)在图9(一个)在图及其对应的盆地的吸引力9 (b)。发现当控制,图中所述的技术5(一个)利用,选择黑色的吸引子。当控制,图中所述的技术5 (c)使用,选择蓝色的吸引子,和控制方法显示在图5 (b)使用,选择红色的吸引子。这些结果清楚地表明,它是可能的目标符合基于非耦合系统的稳定点。同时,值得强调的是,多稳定性的结果控制四蔡美儿的吸引子共存的系统解决这项工作以前从未被提出,因此价值共享。
5。电路实现
在我们工作的一部分,目的是能够建立一个模拟电路之间做个比较,使我们的理论/之前数值结果和实验结果8,10,27,61年,70年,71年]。线路图,允许我们在PSpice软件执行各种模拟软件呈现在图10。蔡的控制振荡器的电路设计是使用四个电容器 ,和 ,几个电阻、八个运放TL082CD恒直流源,和两个乘数,几乎可以实现使用AD633JN版本的AD633四象限电压倍增器芯片用于实现非线性模型。信号( )在输出与输入 , , , ,和( )。使用基尔霍夫电路的电路方程法可以获得
设置 , 除了 , , , , ,和并采用重新调节时间 和变量, , , ,和 ,系统(12)是相同的一个给定的方程(4)以下表达式的参数:
当控制器( 或 ),蔡的控制振荡器的电路实现显示四分离流动的共存现象如图11。因此,这一结果支持这一事实使前面的结果在蔡的吸引子共存的振荡器没有工件。当控制器 ,选择控制的吸引子蔡的振荡器。例如,当 和 ,吸引子图12(一个)被选中。当 和 ,吸引子图12 (b)被选中。最后,当 和 ,这一对对称感兴趣的数据12(一个)和12 (b)合并并给出了双频带图的混沌吸引子12 (c)。除了每个选定的吸引子,其相应的频谱提供了进一步支持吸引子的性质。
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
(c)
6。结论
本文侧重于选择吸引子共存的多稳态蔡的光滑非线性振荡器。范式的选择蔡的振荡器系统在这个工作是基于事实,它具有三个平衡点,从而打开目标的可能性或选择一个特定的吸引子共存坐落在不稳定的平衡。的话,先前的研究集中在多稳定性控制是系统上的有三个,四个,五个共存吸引子和只有一个平衡点2,3,44,50]。基于线性增大,独特的平衡点不包括目标一个吸引子共存的可能性。这就是为什么基于通常的非线性技术利用分岔图、标准的李雅普诺夫指数,阶段画像,和截面盆地初始条件,我们展示的可能性来控制多稳蔡的振荡器(有三个平衡)对三个单稳态状态取决于平衡点的选择中使用线性增加。这些结果清楚地表明,可以选择一个吸引子共存等基于非耦合系统的稳定点预测的沙玛et al。47),只有双稳态系统进行调查。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。