文摘
重新考虑Bertrand双头垄断游戏长期短期记忆的概念的基础上,我们构建一个分数阶Bertrand双头垄断游戏通过扩展integer-order游戏对应的分数阶形式。我们建立这样一个Bertrand双头垄断的游戏,两个玩家可以让他们的决策和长期记忆效应。然后,我们究其纳什均衡,局部稳定性,数值解。使用分岔图、相图、时间系列,和混乱的0 - 1测试,我们数值验证这些结果并说明其复杂现象,如分岔和混沌。
1。介绍
正如我们所知,博弈论是热门的学术话题很长一段时间。有许多类型的游戏,如古诺博弈(1- - - - - -7],伯特兰游戏[8- - - - - -14),Stackelberg博弈(15- - - - - -17),进化游戏(18),混合游戏(19]。许多研究者研究了双头垄断游戏一些有趣的特性,如有限理性(1,15- - - - - -17),技术许可3,20.),和研发6,13]。表1显示了一些最近的研究在垄断游戏integer-order差分方程。一般来说,垄断Bertrand游戏给两名球员的最优定价策略。作为一种价格游戏,伯特兰古诺博弈游戏的另一种选择。双头垄断伯特兰游戏描述两家公司提供一种同质产品的竞争力,同时设置价格而不是数量,达到平衡的价格等于边际成本。在工业经济领域,长期或短期记忆效应普遍存在有不同的形式。经典动力学Bertrand游戏主要有短期记忆效果。所表示的离散时间动态Bertrand游戏integer-order差分方程可以揭示记忆效应的订单号的长度。例如,一阶离散动态游戏只记得前期的决策行为和二阶离散动态游戏记得前两个时期的决策行为。虽然integer-order差分方程有一个功能强大的表达能力和能代表其复杂性演化特征的双头垄断的游戏,它不是很容易integer-order离散时间动态Bertrand游戏反映长期记忆效应。因此,它是有意义的研究离散时间动态Bertrand游戏分数阶微积分。
我们可以采用两种形式的分数阶微积分代表长期记忆效应。一个是连续分数阶微积分,主要对应于integer-order微分学。另一种是离散分数阶微积分,微积分主要对应于integer-order差别。许多学者利用连续分数微分算子代表经济学记忆效应。integer-order差分方程的扩展,分数阶差分方程有长期记忆效应的作用,从而使integer-order差分方程的不足。分数差分方程,离散分数方程,也可以被视为一个分数微分方程的离散形式。毫无疑问,微积分的部分差异也有一个庞大的应用程序空间的动态博弈。使用离散分数微积分,鑫et al。21研究古诺博弈和显示两个公司的输出的进化机制决定。不同于裁判。21),本文将采用离散分数阶微分提出伯特兰比赛,从而揭示出进化的两家公司的价格决定机制。
本文的其余部分组织如下。节2,我们提出一个离散分数阶Bertrand双头垄断游戏与长期记忆效应。节3,我们学习游戏的纳什均衡和局部稳定性。节4,我们数值验证结果通过分岔图、相肖像,最大李雅普诺夫指数,0 - 1测试算法。本文的结论部分5。
2。造型
在这之后,我们考虑一个简单的Bertrand-type双头垄断共同市场所古典经济学。两家公司,贴上标签 ,为同类产品提供完美的替代品,并决定他们不同的产品价格根据市场规律是相同的。期间 ,让和代表公司的产品价格和输出 ,分别。经典线性逆需求函数后,我们可以得到以下的关系和 : 在哪里是一个积极的常数,表示两个产品之间的替代效应。
让边际成本是线性的,即 ,在哪里是一个积极的常量,代表了边际成本。然后,公司的生产利润是
因此,公司的边际利润关于是
经典动力学的双头垄断的游戏,每一个公司在期间天真地认为其竞争对手的价格 等于同时期 。显然,这样的游戏没有长记忆效应。在下面,我们将介绍离散分数阶微积分的经典游戏;然后,两家公司使他们的决定下一部小说有着悠久内存的动态调整机制和地方估计边际利润。
假设第一个公司没有完整的市场需求函数的知识,使其价格动态调整机制下决定的有限理性和长期评估边际利润。如果长期边际利润(少)大于零,该公司决定提高(降低)其产品价格在下个周期。因此,我们描述以下产品价格的调整过程: 在哪里 代表第一个公司的价格调整速度和 代表分数阶数,即。,长期记忆效应。
假设第二公司使其决策动态调整机制下简单的合理性和边际利润的长期评估。也就是说,其价格主要取决于两个方面的决定。它是一个长期的最优反应函数 ,,另一个是其长期价格 。因此,我们写第二个公司的价格调整机制如下:
因此,我们写以下离散分数阶Bertrand双头垄断游戏与长期记忆:
备注1。当 ,方程(6)退化方程如下:
3所示。纳什均衡和局部稳定性
获得平衡的系统(6),我们解决以下方程:
他们的两个纳什均衡 和 。在经济学中,均衡指的是有:(我)平衡意味着第一个公司的最好的价格 如果第二个公司集其最优的产品价格 。类似的,第二个公司的最好的价格 如果公司采用零价格策略。很明显,是一个有界平衡(22]。(2)平衡意味着两家公司将共同维持均衡价格,因为没有公司可以获得任何额外的收益通过单方面偏离自己的平衡。很明显,是一个nonbounded平衡点。
自平衡没有真正的经济意义,我们只分析的复杂性nonbounded均衡 。
系统的雅可比矩阵(6)计算是
定理1。系统(5)是局部渐近稳定如果 ,要么 在哪里 , , ,和 。
4所示。数值模拟
定理2。对非线性系统后,
的等效形式系统(12)是
所以我们可以重写系统(5)以下数值形式:
因此,我们可以说明系统的复杂性5)通过使用系统(14)。对方程(14),我们设置参数
,
,
,
,和初始点
。从定理1,我们可以获得以下结果:nonbounded纳什均衡
,
,
,
,和
,因此方程(10)持有。因此,方程(5)是局部渐近稳定
。图1上面提到的验证结果。
在下面,我们修正参数
和
,和初始点
在系统(14)。我们将研究混沌利用分岔图,相图,最大李雅普诺夫指数,和0 - 1测试算法的混乱26- - - - - -28]。揭示系统的复杂性14),我们将研究两个主要的影响参数:长期记忆效应和价格调整速度。
(一)
(b)
4.1。复杂性不同的顺序
说明系统的复杂性14)、分岔和混沌等我们解决 和不同的顺序 0.002的增量。我们整合三个subfigures图2。图2有y设在分为左、右(和 )为了更好的可读性。第一个subfigure是分岔图的绘制公司1的价格决定。第二个subfigure是画中值的相关系数。最后绘制subfigure最大李雅普诺夫指数公司1的价格决定。图2符合显示分岔图和 。
在 在图2,我们注意到 最大李雅普诺夫指数 ,在系统(标明存在混乱14)。确认结果图2,我们画出图3与上述参数值。数据3(一个)和3 (b)表明公司1和2的时间序列非周期的。数据3 (c)和3 (d)证明的定价轨迹在转换后的坐标 公司的1和2是Brownian-like。图3 (e)说明了双头垄断定价的相图是混乱。他们很好配合图2。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
4.2。复杂性不同价格调整速度
来说明价格调整速度影响系统的复杂性14),我们使用上述参数值,然后设置订单 ,和改变价格调整速度 0.004的增量。我们还整合三个subfigures图4。图4也有y设在分为左、右(和 )为了更好的可读性。三个subfigures分岔图,中位数的值的相关系数,最大李雅普诺夫指数分别为公司1的价格决定。图4也显示,符合分岔图和 。
相图和时间序列相似的部分4.1。为节省读者的时间,我们将不会展示阶段肖像之间的一致性,时间序列,分岔图,相关系数的值,中值的最大李雅普诺夫指数公司1的价格决定。
5。结论和未来的发展
引入离散分数阶微积分integer-order非线性伯特兰比赛,我们获得一个分数阶Bertrand游戏与长期记忆。然后,我们定性分析游戏的纳什均衡和局部稳定性。最后,我们验证这些定性结果之间的一致性的比较分岔图、肖像阶段,时间序列,最大李雅普诺夫指数,0 - 1测试值。
这些结果说明了离散分数阶非线性Bertrand游戏的复杂性。当长期记忆效应会增加从0到1,游戏的复杂性逐渐减少。当价格调整速度从0到1.8,增加游戏的复杂性逐渐增加。所以我们可以根据实际需求设计合适的游戏机制通过改变长期记忆效应的大小或价格调整速度。
同时,我们可以扩展一些在以下潜在的研究方向。首先,有许多类型的游戏,可以延长离散分数阶微积分,如埃奇沃思游戏或Cournot-Bertrand Bertrand-Edgeworth游戏或游戏。第二,我们可以研究离散分数阶控制和同步的游戏。第三,我们可以研究离散分数阶随机或模糊版本的游戏。第四,我们可以构建数据驱动模型的离散分数阶的游戏。最后,我们可以构建离散分数阶模型在许多科学领域(29日- - - - - -33]。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是支持的山东省自然科学基金(批准号ZR2016FM26)和国家社会科学基金(批准号16 fjy008)。