文摘
我们调查的行为无限圆柱函数 分析维纳积分和分析费曼积分的存在,我们证明一些分析维纳积分之间的关系,分析费曼积分,和维纳积分,我们是一个规模变化的维纳积分公式维纳的无界函数空间呢 。
1。介绍
在[1),卡梅伦和马丁起初工作行为的测量和可测性改变的规模在1947年在维纳空间。在[2),约翰逊和Skoug证明1979年维纳空间上的尺度不变的可测性。在[3,4),卡梅伦和Storvick证明改变的规模有界函数公式维纳在1987年空间。在[5金),证明改变规模维纳积分公式对一个函数 与 :分析维纳积分存在 和分析费曼积分存在 。一般而言,分析费曼积分并不总是存在 与 。在[6],Brue曾在1972年对费曼积分变换的。在[7),霍夫曼等人扩大的傅里叶费曼变换理论 为 与 。在[8,9金),将这些结果扩展到函数 ,在哪里是复值波莱尔的傅里叶变换测量在 ,这是一个复数波莱尔措施的空间。在[10],金正日的行为调查的规模因素维纳在维纳空间积分。
在[11)量(13),卡梅伦和马丁扩大了关于翻译的理论和维纳积分变换理论。在[14钟),扩大了广义积分转换为维纳积分。在[15),Gaysinsky戈尔茨坦扩大了薛定谔的self-adjointness算子和维纳积分。在[16),约翰逊和拉皮德斯写的《费曼费曼的操作和积分运算。在[20.金),证明了汽缸的规模维纳积分公式的变化函数的傅里叶变换测量。
在本文中,我们调查的行为维纳无界函数的积分 我们证明维纳可积和分析维纳积分和分析费曼的积分存在。我们也证明一些分析维纳积分之间的关系,分析费曼积分,维纳积分和证明改变规模维纳无界函数的积分公式维纳空间 。
2。定义和预赛
在本文,我们表示 - - - - - -维欧几里得空间,让 ,和表示复数,复数的集合与正实部,并与非负非零的复数实部,分别。
让 表示实值连续函数的空间在 这样 。让表示所有维纳的类可衡量的子集 ,让表示维纳措施,让 是一个维纳测度空间;我们表示函数的维纳积分 通过 。
一个子集的 据说如果尺度不变的测量 为每一个 ,和尺度不变的可测集据说是尺度不变的零如果 为每一个 。属性,除了尺度不变的空集是说将尺度不变的几乎所有(s-a.e)。如果两个泛函,和s-a.e一律平等。,我们写 。
定义1。让复值可测函数 这样的积分 所有真正的存在 。如果存在一个函数 分析在这样 所有真正的 ,然后我们定义 分析维纳的积分在 与参数 ,对于每个 ,我们写 让是一个非零实数,让是一个函数上定义 对于每一个分析维纳积分的存在在 。如果以下极限存在,那么我们称它为分析费曼的积分在 与参数 ,我们写 在哪里方法通过和 。
定理1。维纳集成公式: 在哪里 一组正交的元素在吗 , 勒贝格可测函数, ,和 。
备注1。我们将使用几次著名的集成公式如下: 在哪里是一个复杂的数量 和是一个实数。
3所示。主要结果
定义的函数 : 在哪里 一个标准正交集合在吗 和 , 和是无限的。
扩大本文的主要结果,我们证明一些前题。
引理1。为 和 ,我们有
证明。首先我们知道 和 , 用指数函数的级数展开 与 ,我们有, 和 , 和 , 由(8)- (10),我们期望的结果。
引理2。让 被定义的无界函数(6)。然后,对于 , 是一个维纳可积函数的 维纳积分
备注2。由引理2,我们有有趣的维纳无界函数的积分:为一个标准正交集合
在
,
因为是一个维纳可积函数即使它是无限的,我们可以挑战来证明规模的变化公式维纳无界函数积分呢在(6)维纳空间
。
首先,我们证明的存在分析维纳积分和无界函数的积分解析费曼在(6)维纳空间
。
定理2。让 被定义的无界函数(6)。然后,对于 和 ,分析维纳积分和分析费曼的积分存在,并给出了 每当 通过 。
证明。由(4),由引理2,我们有真实的 和 , 由分析的延续 ,我们可以推断出所需的分析维纳积分和分析费曼的积分维纳空间 。
备注3。在定理2,我们证明了分析维纳积分和无界函数的积分解析费曼可以存在,即使
,
,维纳空间
。
调查的行为改变的规模维纳积分公式,我们证明一些维纳积分之间的关系,分析维纳关于无界函数的积分在(6)维纳空间
。
引理3。让 被定义的无界函数(6)。为 , 是一个维纳可积函数的 。
证明。由(4)和(7),我们有
和
,
因此,我们期望的结果。
我们证明之间的关系分析维纳积分和无界函数的积分维纳在(6)。也就是说,我们证明的分析维纳积分可以成功地表达为维纳积分的顺序在维纳空间
。
定理3。让 被定义的无界函数(6)。然后,对于 ,分析维纳的积分可以成功地表达为维纳积分的顺序:
证明。由引理的证明3,我们有 和 , 我们证明无界函数在(6)成功地满足变化的规模维纳积分公式在维纳空间 。
定理4。让 被定义的无界函数(6)。然后,对于积极的现实 ,
证明。由定理3,我们有真实的
,
如果我们让
在上面的方程中,我们期望的结果。
最后,我们证明了分析费曼积分和维纳积分之间的关系。我们证明了分析费曼无界函数的积分可以成功地表达序列的极限维纳在维纳空间积分吗
。
定理5。让 被定义的无界函数(6)。然后,分析费曼的积分可以成功地表达序列的极限分析维纳积分: 每当 通过与 。
证明。由定理3通过分析费曼积分的定义,我们有 每当 通过 。
备注4。本文的动机是由符号 和希尔伯特空间上的一些属性(18,19]。检查的存在分析维纳积分和分析费曼的积分 ,我们把 没有其他原因关于这个选择。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果都包含在本文中。
信息披露
本文提出了抽象的韩国在2017年数学学会的国际会议(20.]。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究是由韩国国家研究基金会(批准号nrf - 2017 r1a6a3a11030667)。