规则和不规则的半干旱地区植被模式形成:研究离散Klausmeier模型

文摘

研究规则和不规则的半干旱地区植被模式的形成是生态学的一个重要领域。应用耦合映射格子框架,一种新颖的非线性空间和时间离散模型基于经典Klausmeier模型离散化,在半干旱地区植被模式形成再学习研究。通过分析Turing-type离散模型不稳定,植被模式形成的条件确定。Klausmeier离散模型验证的结果与相同的参数数据,并显示优势定量描述不同植被模式在半干旱地区,如定期mosaicirregular补丁的模式,条纹,stripesspots骨折,stripes-spots,与以前的理论模型进行比较。此外,离散模型预测降雨和植被类型的变化会导致植被模式的转换。这项研究表明,离散模型的非线性机制更好的捕捉的多样性和复杂性在半干旱地区植被模式形成。

1。介绍

规则和不规则的空间植被模式是非常重要的景观广泛分布在半干旱地区1- - - - - -4]。由于水资源不足,植被可能很难保持均匀和自组织成异构植被斑块(5]。近几十年来,在半干旱地区植被模式形成引起了广泛的理论和实验生态学家的利益(6- - - - - -11]。

许多研究表明,在半干旱地区植被模式的形成从生物量和水资源之间的反馈结果5,12- - - - - -14]。根据反馈,已经建立了大量的数学模型(9]。在这些模型中,Klausmeier模式13)起着重要的作用。许多模型发达以后可以被视为Klausmeier模型的修改版本(15- - - - - -18]。

Klausmeier模型是一个连续的动态模型与植被生物量和水资源作为状态变量。这个模型提供了一个经典的结合生态和非线性机制在决定在半干旱地区植被模式形成。它掌握植物和水之间的相互作用的特点,获取条纹的山坡植被模式的形成。Klausmeier与野外观察的工作有密切的协议。的就业Klausmeier模型,条纹图案的波长和迁移速度的山坡预计[19]。系统调查Klausmeier模型的模式解决方案提供更多的预测条纹植被在半干旱环境的非线性特征20.- - - - - -22]。

迄今为止,大部分的空间扩展模式在文学研究植被模式形成时间和space-continuous [9,23]。然而,连续动态模型简化的自然生态系统构成不同的人往往是不完整的和展览不连续特性(24,25]。相应地,它应该更合理和充分的应用离散模型研究不连续植被在生态系统25]。人们普遍认识到,离散动态模型显示效果和权力在描述非线性特性和自然生态系统的复杂性。Domokos和Scheuring26)发现,离散模型可以比相应的连续模型更能精确地描述种群动态。汉et al。27和李et al。28)发现,图灵不稳定和图灵模式可能发生在离散而不是相应的持续竞争力的生态系统。离散物流系统能产生混沌具有重要意义在描述种群动态的复杂性(29日,30.]。大量的研究工作表明,离散动态模型的应用可能会导致更好的结果在研究生态系统(31日,32]。

在文学中,离散模型为研究植被模式有几个类型,包括元胞自动机、metapopulation模型,耦合映射格子等等(9,12,33,34]。在这个研究中,植被模式形成的空间和时间离散模型将由耦合映射格子。耦合映射格子特点是离散时间、离散空间,和连续状态,并比较与另外两个标准模型空间扩展动力系统,即偏微分方程和细胞自动机(34]。他们有很大的优势在描述时空混乱,被广泛应用于许多领域35]。在生态系统中,应用程序的耦合映射格子导致更好地了解和预测生态模式形成的复杂性25,34,35]。然而,稀缺的耦合映射格子模型是记录在文献定量描述植被模式形成在半干旱地区,仍然需要一个可靠的人。他指的是研究差分方程模型工作36,37),新模型可以从离散化开发的连续模型。由于Klausmeier植被模式形成模型研究的重要性,它是生态代表应用Klausmeier模型的离散化。

本研究关注的是自组织模式造成Turing-type不稳定机制,即。,Turing-type模式(9,13]。图灵不稳定最初发现了图灵(38)和图灵不稳定理论已被广泛采用和进一步改善生态调查的模式形成5]和[19]。新类型的图灵不稳定(统称为Turing-type不稳定)发现,如微分流量不稳定(13),交叉扩散驱动不稳定(39),等等。一般来说,Turing-type不稳定的发生机制是空间的对称性破坏空间齐次状态(9]。

在本研究中,非线性空间和时间离散模型的水和生物质能开发的定量描述植被模式形成在半干旱地区,Klausmeier模型离散化的基础上。通过分析Turing-type离散模型不稳定,植被的发生条件模式分析确定。数值模拟的发生条件下执行Turing-type模式,展示多样和复杂的形成在半干旱地区植被模式。

2。发展空间和时间离散模型

Klausmeier模型成立于1999年为研究半干旱地区植被模式的形成。生物量模型掌握互动机制的特点和水,并预测植被模式与观测接近协议(13,19]。该模型有两个状态变量,水和植被生物量。水的动力是一个水的再分配过程。一方面,降雨水枯竭通过蒸发和植物吸收;另一方面,水下坡的流。生物质是描述植被的动态增长,自然死亡率和横向扩散(见图1(一))。Klausmeier模型表达的控制方程:

在这(公斤H₂O m⁻²)是水和数量(公斤干燥质量⁻²)是植被生物量;(年)时间和(m)和(m)指数二维域;负方向是下坡的水流方向的山坡,和方向是纬度方向;(公斤H₂O m⁻²一年⁻¹)是降雨率,(一年⁻¹)是水的蒸发率;((公斤米⁻²)⁻²一年⁻¹单位植被生物量)描述的水,(干质量(公斤)(公斤H₂O)⁻¹)表达植被生物量的转化率从单位水消耗;(一年⁻¹)是植被生物量的死亡率;(m年⁻¹)是水的流动速度下坡的,(m²一年⁻¹)是植被分布的扩散系数,描述植被的扩散能力。

可以nondimensionalized Klausmeier模型和转化为无量纲的形式,

使用nondimensionalized表达式后,

在这控制水的输入通过降水,测量生物死亡控制水流的速度下坡的。

Klausmeier模型的基础上,描述了情商。2),水和生物量的空间和时间离散模型,由一个耦合映射格子,提供。像许多研究在文学作品,一个常见的方法猛击离散模型,离散化连续模型,应用(36,37]。我们把空间域分成细胞和时间间隔的时间序列。使用和代表水量和植被生物量的细胞 在时间间隔。根据文献,动力学的耦合映射格子由两个交替阶段,颞非线性“反应”阶段和空间运动阶段(25,34,35,40- - - - - -42]。对应的生态框架Klausmeier的工作(参见图1(一)空间运动),包括生物质扩散,水流(见图1 (b)),和水再分配产生的水流在山坡上。“反应”阶段是由植物生长,这发生在生物质扩散和水后再分配。一个可以看到轮廓图1 (c)对耦合映射格子模型的细节在这个研究。在大纲,我们确定生物质扩散和水分配首先然后植被生物量的过渡时间时间 。应该注意到这样的顺序确定同意生态系统的自然过程和所描述的不是Klausmeier模型(34]。

考虑生物的扩散,将会改变到一个新的植被生物量、 。应用离散化的扩散项情商。2 b),可以获得的

在这

在哪里措施一个时间间隔的持续时间,测量一个细胞的长度,拉普拉斯算符表示离散的版本并描述了扩散在离散空间(见图1 (b))。

然后考虑水的再分配。离散化情商。2),我们有以下方程,

在这

同样的,离散的运营商版本吗并描述了流动在离散空间(见图1 (b))。在这个研究中,我们设置 ,因此水生态系统维护中输入在每一个时间间隔。应考虑相应的两个方面。首先,降水水是完全耗尽在一个时间间隔;第二,涉及在水中植被生物量分配由于生物质扩散。在此基础上,情商。5修改)和离散方程可以获得水的再分配,

又应用空间——和time-discretization情商。2 b),“反应”可以描述植物生长阶段

改写上面的方程,空间和时间离散模型可以描述在半干旱地区植被模式形成以下,

水和植被的空间动态边界细胞提供的边界条件。像在Klausmeier [13),周期性边界条件应用于本研究和描述为以下,

在上面的方程中, , ,和方程是一个正整数。

离散模型重申相互作用的水和植被从离散时间和空间的角度。在下面,离散模型定量地确定了在半干旱地区植被模式形成。

3所示。条件Turing-Type模式的形成

Turing-type模式的发生需要两个条件(5,9,38]。首先,一个非凡的空间齐次定态存在,空间均匀扰动是稳定的。第二,这种稳定定态是不稳定的,至少有一个类型的空间异构扰动。Turing-type第二个条件定义了条件不稳定,确保当地扰动稳定均匀的静止状态逐渐扩大在全球范围内。

3.1。条件稳定均匀的静止状态

根据Turing-type模式的条件,空间齐次离散模型的静止的状态进行了研究。齐次静止的状态的需求和 ,所有的和 。计算如附录所述一个,三个空间齐次时可以得到静止的状态 ,

代表着裸露的地面没有植被模式形成的状态,不会进一步考虑。其他两个国家 和 ,描述在下面将讨论齐次植被和植被格局的形成。

的局部稳定均匀的静止的状态反映了系统如何抗拒空间齐次扰动。如果状态是局部稳定,系统可能会返回到这个状态均匀扰动发生后。这种属性确保系统的收敛性和重要的植被格局的形成。基于计算在附录一个条件稳定均匀的状态 确定后,

图2显示了稳定的均匀状态发生在植被密度的演化,当情商中描述的参数满足条件。10)。如图2,轨道渐近方法 。然而,应该注意到它 局部渐近稳定而不是全局稳定。如果初始值u太低了(例如,低于 ),离散系统将演变成裸露的地面。

3.2。Turing-Type条件不稳定

根据上述结果,Turing-type不稳定性的分析是进一步进行稳定均匀由静止状态 。介绍了空间异构扰动的离散模型,观察模型的行为系统。当植被生物量和/或水资源扰动,增强或减弱空间不均匀的离散系统可能收敛于两种状态随着时间的推移。第一个是均匀的状态,这种情况表明,该系统可以抵御异构扰动和同质植被占主导地位。如果齐次状态变得不稳定在异构的扰动下,系统将收敛到另一个状态空间异构植被,表明植被模式的形成。计算在附录B,我们可以总结在全球空间异构扰动的影响。这将导致以下动力学方程:

情商。11)描述了整个空间异构扰动的动态空间。如果情商。11)收敛,该系统将回到空间齐次静止状态。只有情商的差异。(11)可以导致均匀状态的打破和Turing-type模式的形成。情商。11)可以转化成下面的形式,

情商。12)发散需要满足以下条件,即。,现有的至少一个组和为了使

情商。13)给出了条件Turing-type离散模型的不稳定性。这样的条件是获得在弱空间异构扰动发生时的稳定均匀的状态。

鉴于上述计算,Turing-type的发生模式离散模型描述的参数值满足条件要求在情商。10)或情商。10 b),加上情商的条件。(13)。Turing-type模式的条件确定植被模式的参数空间的形成。条件下,在半干旱地区植被模式形成可以定量地研究了数值模拟。

4所示。数值模拟和讨论

数值模拟是模拟在半干旱地区植被的形成模式。由于植被模式形成的离散模型仍然是基于Klausmeier生态框架,相同的参数值/范围Klausmeier [13应用)。与应用程序的参数表中的数据1植被、验证执行模式形成首先证明离散模型的可行性。

使用先前描述的nondimensionalized表达式的值/范围缩放参数的离散模型可以获得(见表2)。同时,其他参数的值用于离散模型给出的表2。比较的结果显示在Klausmeier [13),图3策划与 ,和细胞的长度2米(注意到细胞长度=根据情商。3))。

图3(一个)显示了植被模式演变过程中瞬态动力学( )。在图3(一个)、植被带的形式出现在叉子和死角。在瞬态动力学( ),常规的植被条纹,垂直于下坡的方向,如图3 (b)。图3显示了相同的植被模式的形成过程与Klausmeier[中描述13]。此外,植被的波长模式如图3 (b)约14.29米,这是接近波长Klausmeier模拟,12.5米。这些协议表明,离散模型可以重复Klausmeier植被模式形成的模型。

图3 (c)显示细胞长度和细胞数的影响模式形成。细胞长度和细胞数量定义域植被模式形成规模。当细胞长度在1 ~ 3 m,波长波动在13.5 ~ 15.5米。这两个和会导致同样的结果,这表明模式形成的稳定域的变化。细胞长度是重要的测量植被模式形成。如文献所述,许多动态模型显示适合模拟植被模式形成的细胞大小(43,44]。下表中给出的参数条件2,合适的细胞长度离散模型范围在1 ~ 3米。因此,应用cell-length = 2 m和n= 50(域规模是100 m×100 m)是合理的模拟植被模式形成的离散模型。

自组织的山坡植被模式有两个重要属性,波长和上坡迁移。的值/范围中提供的参数表2的波长范围和迁移速度在半干旱地区植被模式(250 ~ 750公斤H₂O m⁻²一年⁻¹)(见表3)。如表所示3的波长范围植被条纹赞同Klausmeier的结果。此外,由于比较表所示3,我们的迁移速度的结果草条纹(0.6 ~ 1.1)接近野外观测(0.3 ~ 1.5)比Klausmeier结果(1.4 ~ 1.9)。

离散模型的验证显示带状植被的形成模式的山坡,特点与Klausmeier协议的结果和实地观察。这些结果证明应用离散模型的可行性研究在半干旱地区植被模式形成。在下面,进一步数值模拟执行演示植被模式形成离散模型的参数条件的转变。表中给出的参数范围/值2仍在使用,除了值的参数和可能会改变。两个初始应用植被条件对应于弱扰动和强扰动中描述的部分3。(一)初始条件1 (IC1):弱扰动稳定均匀的植被。最初的植被值晶格是所描述的 ,在这遵循标准的均匀分布。这种情况只适用于情商。(27)创办。(b)初始条件2 (IC2):强烈的扰动。随机选择30%(其他百分比也适用)细胞,这些细胞的初始植被值在每个设置 ,而其他细胞被定义为裸露的地面。

上面的参数和初始条件下Turing-type模式形成条件中描述的部分3。基于这些条件,以下数值模拟进行。Klausmeier对应的工作,植被模式形成的两种情况进行了研究,(在平地上)(山坡)。

4.1。 :在平地上植被模式形成

数值解的情商。8),在平地上描述了植被模式形成。图4显示了正则马赛克植被模式自组织的价值是在5.6 (m²一年⁻¹)。模式,与裸露的地面植被交织。每个植物的补丁是裸露的地面的周围四个方面。在外观,马赛克模式接近自然缺口模式,由[描述43,45,46]。

的研究工作Klausmeier [13),不规则的马赛克植被模式也得到了。然而在Klausmeier的作品,植被的发生模式在平地是不切实际的参数值。与Klausmeier相比的结果,这样的缺点是移除植被模式形成的离散模型。参数值应用于图4和相应的自组织模式具有现实的生态意义,基于与文献[13,43,45]。

图5绘制显示不规则的植被模式补丁在平地上。三种模式在图的形成5在相同的初始条件(IC2)。在这些模式中,植被斑块出现在形式的斑点,条纹,集群。每个模式组成的植被斑块和显示不规则。不规则的展品在两个方面,不规则分布和不规则形状的植被斑块。修补植被模式广泛在实地观察发现、描述等Cerda先生(47]。然而,这种模式不能Klausmeier预测的模型。

在图所示的三种模式5展示一个过渡的植被模式降水梯度( ,480和546公斤H₂O m⁻²一年⁻¹)。如图5,从模式的转变点的集群模式。增加降雨率促进扩大植被斑块的模式。随着降雨率持续增长(例如 ),空间齐次植被占主导地位。广泛认可,争夺有限的水资源在生态系统中发挥着重要作用的形成和过渡空间异构植被模式(8,9]。然而,增加降雨缓解植物个体之间的竞争的压力和刺激植物生长,引起植被模式的过渡。

许多模型预测在平地上植被模式的转换以及降水梯度(15,17,43]。如文献所述,植被经历从发现模式,转换到迷宫和缺口模式增加instriped植被模式降水率(43,48,49]。在这个研究中,离散模型预测不同的植被过渡模式,如图所示5。的差异可能导致从乐于助人的植物个体之间的相互作用的影响,限制土壤水分损失和结果的扩大植被斑块(45,50]。

Klausmeier [13]介绍了微地形变化解释植被模式形成平坦的地面上。与Klausmeier的工作相比,本研究中所开发的离散模型进行了改进。平地上的模式形成和模式特征本质上是被离散的非线性机制模型,没有引入外部荷载。体现离散模型展品可能繁殖新的植被模式形成和新的模式过渡在平地上。

4.2。 :植被模式形成的山坡

对于离散模型,意味着hillslope地形和的值决定了hillslope梯度。在本节中,植被模式研究了自组织的山坡。与Klausmeier比较的结果,同样的hillslope梯度Klausmeier [13]也应用( )。

如图6离散模型可以证明许多不规则的山坡植被模式的形成。变化的参数条件下,我们发现不规则的植被模式曲线条纹,断裂的条纹,斑点和stripes-spots。大多数动态模型(包括Klausmeier模型)不能同时描述这些模式的山坡。这反映了利用离散模型定量描述丰富的模式。

数据6(一)——(d)显示不规则条纹植被模式,表现为弯曲或断裂的条纹。条纹植被模式是在许多半干旱地区景观的特征(4]。大量的动态模型提高了预测的条纹植被模式形成13,43,44]。许多连续模型如Klausmeier模型预测植被条纹最终将稳定在一个状态中,植被条纹是严格垂直于水流方向,而不规则的条纹解释为瞬态动力学(44]。在这种情况下,环境噪声通常被用来解释维护稳定的不规则的模式。然而,形成不规则的模式本质上是离散的非线性机制模型。所提出的文学,植被模式中的违规行为可能导致的时空混乱,这是一个重要的自然现象广泛观察到(25,34,35]。

图6还显示条纹植被的变化模式与参数和 。减少的或 ,条纹模式经历了从常规的条纹,弯曲的条纹,条纹骨折。更多的降水(上升)导致条纹数量的增加,这表明一个伟大的生物量的增强模式。定量确定参数变化的影响,条纹植被模式的两个重要特征的山坡,波长和迁移速度,进行了研究。当参数的值或范围从表2波长的范围和迁移速度的不规则条纹与表植被模式是相同的3。因此,我们的研究结果具有可比性与自然条纹模式在半干旱地区。

数据6(g)和(h)显示不规则斑点植被模式自组织的山坡。模式,植被的分布地点显示不规则的特点。与条纹模式相比,的值发现模式形成的小得多。在这种情况下,较低的扩散能力抑制外侧植被分布和植被条纹的发展。在文学,发现灌木的山坡上观察到的模式在摩洛哥中部D 'Odorico et al。45和在以色列Shnerb et al。51]。与野外观察和考虑到参数条件应用于该研究,数字6(g)和(h)倾向于描述多年生灌木的发现模式。此外,数据6(g)和(h)密集的植被随着降雨量的增加。这也同意的野外观测记录Shnerb et al。51]。然而,很少有理论模型能够再现了植被的形成模式的山坡(45,51]。

随着时间的推移发现植被模式保持静止。这是条纹的迁移性质相反的模式。这样的对比是由不同的扩散能力的植被。较强的扩散会导致成功殖民在光秃秃的地区的植物。在提交调查(12],条纹模式的迁移发生在殖民裸露区域所发生在上坡的植被条纹,而植物在下坡的条纹死亡由于水不足(13]。然而,尽管扩散能力较弱,外侧植被分布受到约束。当colonization-dying过程不能发生,证明固定模式会出现静止的发现模式。文献表明,非线性的自组织机制的固定模式是时空混乱34]。此外,冰冻的随机混沌可以识别的数字6(g)和(h)根据时空混乱的分类(52]。

迁移和固定模式的山坡所描述的离散模型同意很多人预测模型(13,43]。然而,上坡迁移的证据在植被模式仍然是直接的野外观察恐慌3,4,44]。一些研究人员还调查固定山坡植被模式的形成(16,44]。固定模式预测在文学可能需要引入复杂的机制,如二次传播种子(16]。与应用程序的简单的水和生物反馈机制,离散模型的权力来预测迁移和静止的植被模式的山坡,仅仅通过参数的变化。

推断从条纹模式过渡到发现的模式,一个中间模式,striped-spotted植被模式,建议。这种类型的模式显示共存的植被斑点和条纹,如图6(e)和(f)。这种模式的出现了斑点和条纹模式之间的过渡,为降雨率或植被扩散能力的变化。这种机制表明,降雨和植被类型植被模式的形成起着重要的作用。

施加一个关键参数变化影响植被模式的转变在山坡上。模式转型与参数变化的两个方面可以在图中找到6。首先,增加降水增强植被生物量模式,作为自然界中广泛观察到(49,51]。提高生物量影响植被模式的特点。条纹的植被类型,植被条纹波长减少和数量的增加(49];而对于发现植被模式,可以观察到密集的斑点植被斑块和聚合的植被发生(51]。其次,植被减少扩散能力促进植被模式的分裂,导致从条纹模式过渡到发现模式。然而,这样的现象是文学中描述很少,但现在展出的离散模型。通过参数的变化对植被的影响模式,离散模型捕获了在半干旱地区不同植被模式的形成,在不同降雨条件下和不同植被类型。

注意,上述结果是在半干旱地区草模式形成有关。当我们进行数值模拟与参数值代表树( ),可以获得类似的结果在平地和山坡。

5。结论

空间和时间离散模型的研究为研究植被模式形成的半干旱地区。Turing-type不稳定分析生产模式形成的条件。数值模拟执行基于模型揭示许多植被模式的自组织,如常规的马赛克,不规则的修补,条纹、斑点、条纹和striped-spotted骨折平地或山坡上。基于本研究的发现,下面应该解决。(1)离散模型显示很大的优势在描述植被模式形成。依靠离散模型的非线性机制,植被模式的马赛克,不规则的补丁,弯曲和断裂的条纹,斑点。(2)参数变化导致植被模式的过渡。降雨率的变化和植被扩散能力影响两种不同植被模式的特点,导致不同植被模式的出现。(我)降雨量的增加提高植被生物量的模式。同时,模式影响的特点。对于不规则修补模式,植被斑块扩大;条纹图案,波长减少;发现模式,变得密集的植被点。(2)植被减少扩散能力影响植被模式两个方面。首先,它促进了碎片化的模式,导致从条纹模式过渡到striped-spotted模式,并发现模式。第二,它可以导致从迁移模式过渡到固定的模式。这样的结果很少被描述在文学和新的离散Klausmeier预测的模型。

通过比较,模拟这一研究获得的结果同意许多野外观察记录中描述的文学。该协议主要体现在以下两个方面。(1)模式的配置:在平地上,模拟马赛克模式类似于自然植被的差距模式中描述Rietkerk et al。43和享受等。46),而模拟修补植被模式可能模仿观察到Cerda先生(47]。在山坡,我们获得常规,弯曲和断裂的条纹植被模式,广泛记录在半干旱的直接野外观察草和树(4,13]。,发现模式模拟的山坡,这种类型的模式是接近发现灌木的模式作为观察到D 'Odorico et al。45)和Shnerb et al。51]。(2)模式特点:可行的参数值/范围(见表1和2),范围波长和迁移速度的条纹模式是接近自然的观察条纹半干旱地区植被模式(见下表3)。此外,发现模式模拟的山坡是静止的。因为上坡迁移的证据在植被模式仍然是直接的野外观察恐慌3,4,44),固定的山坡植被模式可能是常见的和离散的模型提供了一种新的非线性解释hillslope固定模式的自组织机制。

众所周知,竞争在不同的空间尺度上相互作用可以促进稳定的自组织模式的主要机制(53- - - - - -56]。在这个研究中,离散模型还包括这样的竞争互动。一方面,植被的短程扩散驱动的扩张植被斑块;另一方面,远程流动的水会导致空间的重新分配资源,限制了扩张的植被斑块由于竞争对水在不同的补丁。植被的影响下两枚短程扩散和远程流的水,一片植被爆发以及可以克制的扩张。当空间平衡达到、植被模式是自组织的,可以保持稳定。

自组织植被模式和模式的转换结果从离散模型的非线性机制至关重要。与改进前的理论模型,离散模型及其非线性机制贡献优势分析和描述在半干旱地区植被模式形成的复杂性。

附录

答:当地的不动点的稳定性

考虑的和 ,情商。8)和(8 b)转换成以下,

数学上,齐次离散模型的静止的状态由情商的不动点。. 1)。根据定点的定义57),情商的不动点。. 1)是解决

计算情商。a .)获得三个固定的点(见情商。9))。然后空间均匀稳定的静止的状态对空间均匀扰动进行了分析。空间均匀的扰动,和仍然成立。从情商。. 1),下面的动力学方程,

雅可比矩阵的行列式情商。a .)所描述的

稳定不动点的情商。. 1)应满足下列条件,

在这需要的生物价值或 。直接计算情商。本)表明,定点 不能稳定而不动点 可以稳定。稳定的不动点的条件 介绍了情商。10和22 b)。

b线性化的情商。8)

首先基于之前的研究工作(58- - - - - -60),运营商的特征值和可以提供

在这 , 此外,它可以验证这一点

这意味着和通勤运营商。因此,这两个操作符有一个共同的特征函数。让常见的本征函数的特征值和 。

然后考虑空间异构扰动在空间均匀状态 ,也就是说,

在这和水的扰动和生物量在细胞吗 在时间 。用情商。B.3)为情商。8)和(8 b),注意到

以下可以获得,

在这

代表了高阶项和 。当扰动较弱, 在以下的计算可以忽略。使用用情商。B.5)

求和情商。B.7)的和获得

让和 ,情商。B.8)可以转化成以下形式的考虑下情商所示的周期性边界条件。8 c)和(8 d)[27),

数据可用性

系统参数值和条纹植被模式的数据特征之前报道,在DOI:https://doi.org/10.1126/science.284.5421.1826。这些数据被用来支持本研究的数值模拟,和先前的研究在相关地方引用文本中作为参考。此外,与系统参数值由数据、数值模拟和植被模式形成的结果执行期间生成的仿真研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

资金

这项研究是由国家水污染控制和治疗科技重大项目(2017号zx07101 - 002),中国国家自然科学基金(11802093),以及基础研究基金为中央大学(没有。JB2017069)。

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