Lump-Type Bogoyavlenskii-Kadomtsev-Petviashvili方程的波和互动解决方案

文摘

Lump-type波Bogoyavlenskii-Kadomtsev-Petviashvili方程的解决方案由使用双线性结构和厄米二次形式。lump-type波解决方案的动态行为研究,提出分析和图形化。此外,我们讨论lump-type波之间的相互作用和扭结波解。Absorb-emit互动两种孤波解。这种交互的解决方案可以被视为lump-type波扭结波传播的背景。

1。介绍

Lump-type波理性本地化解决方案是一个特殊的类波解代数背景衰减波在空间方向(1]。自从lump-type波解的研究首次发现Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程(2),寻找lump-type波解的非线性演化方程,研究其动力学行为吸引了越来越多的关注领域的非线性波。多年来,许多研究人员发现大量的方法来构造lump-type波解。例如,逆散射变换方法(1),直接代数方法(3- - - - - -6),长波极限技术(7- - - - - -9],选矿方法[10),副大臣的双线性方法(11,12),达布变换方法(13],Riemann-Hilbert方法[14,15),等等。通过这些方法,lump-type波解决许多非线性波模型,例如,Benjamin-Ono方程(9],Veselov-Novikov方程[10[],高维Korteweg-de弗里斯方程3,6,8,16],Sawada-Kotera方程[17],Jimbo-Miwa方程[4,18),等等。一些关于lump-type波属性中演示了解决方案的理论分析和图形表示。此外,许多研究人员还调查了lump-type波之间的交互和其他类型的孤波解,和一些有趣的交互现象已经被证明(16- - - - - -24]。

在本文中,我们将致力于调查Bogoyavlenskii-Kadomtsev-Petviashvili (BKP)方程(25- - - - - -32]: 这是一个扩展的Bogoyavlenskii-Schiff方程和KP方程25]。如果我们忽视 ,它可以减少Bogoyavlenskii-Schiff方程(1]。通过下面的转换(23]: BKP方程(1)可以被转换成副大臣双线性系统。 在哪里 是一个未知的实函数,年代是一个辅助自变量,α是一个非零常数。的微分算子D被定义为(1]

因此,如果 解决了大臣的双线性系统(3),然后对数变换(2BKP方程的)产生一个解决方案(1)。BKP方程属于高维KP方程和已被许多研究人员讨论25- - - - - -31日]。BKP方程可积和拥有宽松的一对25]。的建设N孤子解欠的工作(26]。一些具体的解决方案,如周期函数的解决方案,孤波解,和奇异rational解决方案,推导出在27]。这几年会等。28)构建了谎言对称性利用宽松的和经典李群方法。转换组和BKP方程的守恒定律提出了群变换方法和Ibragimov定理(29日]。通过采用截断Painleve方法(30.王),和方也研究了非自动Backlund变换和一致的黎卡提微分扩张BKP方程可解的。双线性结构和多个波解构造了贝尔二元多项式的方法(31日]。在[32王),和方也调查了各种高阶孤子采用摄动法和泰勒展开方法。在本文中,我们将主要研究lump-type波BKP方程的解决方案(1埃尔米特)的二次形式。其次,我们的互动解决方案将给lump-type波和扭结波解。

这个工作的计划如下。基于厄米二次形式,部分2构造lump-type波和进一步研究其动力学行为和对称的财产。节3混合解决方案由一个lump-type波和扭结波。absorb-emit lump-type波之间的相互作用,讨论了扭结波。最后,给出了结论部分4。

2。埃尔米特二次型和Lump-Type波解

本节中,我们构建lump-type BKP方程采用的波解厄米二次形式。首先我们介绍了埃尔米特矩阵和厄米二次形式。

定义1(见[33])。如果一个是一个复杂的方阵, ,然后矩阵一个据说是一个埃尔米特矩阵,象征吗H表示复杂的共轭转置。

定义2(见[33])。如果是一个列矩阵和埃尔米特矩阵,二次型, 被称为厄米二次形式,象征T代表了转置。
基于厄米二次形式,我们可以获得以下结果:

定理1。BKP方程(1)lump-type波的解决方案与 在哪里R是一个真正的非零常数,是一个真正的列矩阵,一个是一个四个订单埃尔米特矩阵定义的矩阵如下: 在哪里共轭复数和矩阵元素吗和是由以下关系: 在哪里表示复数的实部和任意参数 ,和需要满足的约束条件:

替代解决方案(6)和(7)和(8)(3),我们可以很容易地验证这个解决方案的解决方案副大臣双线性系统(3)。的解决方案(6),参数约束条件(9)确保解决方案(6)是定义良好和非零。为了揭示积极的确定性的解决方案(6),让我们进一步研究厄米二次形式 。不难发现厄米二次形式可以写成

考虑到所有k订单的主要未成年人实对称矩阵B,在那里 ,然后我们得到以下四个类型的结果:(一)四阶主要未成年人 (b)6二阶主要未成年人 (c)四个三阶主要未成年人是零。(d)一个四个订单主要次要是零。

结合以上未成年人主要测试呈阳性的明确性和方法,一个矩阵(33),我们可以获得以下两种情况:(1)如果和 ,所有主要的未成年人B非负和矩阵吗B是半正定(2)如果和 ,那么所有奇怪的未成年人B甚至是负的,所有点的未成年人吗B是负的,和矩阵B是负半定

因此,以上两个结果说明解决方案(6)非零条件下(9),rational多项式解决方案(2)和(6)是一个非奇异的理性的解决方案。

基于上述定理1,让 在矩阵一个,也就是说, 然后我们可以得到下面的推论。

推论1。BKP方程(1)lump-type波的解决方案与 的参数是由以下关系: 和复杂的参数需要满足非零约束条件:

在推论1条件(17)确保参数和R是定义良好的。与此同时,这也表明 。因此,函数(15)是一个正定函数。理性的多项式解决方案(2), 由(15)是一个非奇异的理性的解决方案。

上述理论分析,结果表明,该lump-type波解可以表达的(2与辅助功能)(6)或(15)。然而,根据解的表达式及其约束条件,解决方案(6)是复杂的,因为它需要满足十个参数约束条件。函数(15)是更加简洁和直观,它只包含了四个参数约束条件。为了探索和揭示的动态属性lump-type波更加方便,让我们代表复数和作为 ,在哪里是任意的实际参数,所以多项式解决方案(15)可以写成 在哪里 和非零约束条件(17)的参数和就变成了

因此,基于(18)- (20.),我们得到的具体表达式lump-type波的解决方案:

推论2。BKP方程具有以下lump-type波的解决方案: 在哪里 在哪里是由(19)和任意的参数 ,和需要满足条件(20.)。

lump-type波解决方案(21)非奇异的和良好定义的参数 ,和满足条件(20.)。同时,条件也表明,这种解决方案不能转换成lump-type行波解(34]。的解决方案(21),参数和可以被看作是两个任意相位常数。图1的空间结构和投影显示lump-type波解决方案(21) 。从图可以看出1(一)这波是一个本地化lump-type波有一个原点附近上峰和一个驼峰。下驼峰隐藏背景下平面波,峰值的高度等于hump-type波的深度。在[6),这种解决方案也被称为“透亮lump-type波解,”和它的振幅 。图1 (b)的轮廓线和投影lump-type波解的吗 飞机。本地化特性和能量分布明显。在 飞机,lump-type波线解决方案分为两个部分l。这里的线l是由直线 ,代表了轮廓线 。正确的区域代表明亮hump-type波的能量分布,和左边的区域显示了黑暗hump-type波的能量分布(图1 (b))。此外,lump-type波解决方案(21)也表明,它趋向于零任何固定的时间的无穷t。这些属性证明lump-type波(21)是一个理性的腐烂的解决方案和本地化四面八方的背景空间。此外,我们可以看到从(22)lump-type波的传播 - - - - - -飞机的速度:

这也意味着lump-type波斜沿直线移动, 在 飞机,

在图1 (b)的分界线l光明和黑暗之间的区域是斜的。这表明nonaxisymmetric lump-type波的形状,也就是说,lump-type波是斜的。通过直线l角,我们可以获得ϕ之间的线l和积极的y设在是由 。因此,如果 ,也就是说, ,lump-type波斜(图1)。然而,如果 ,然后速度沿着x设在是零。因此,lump-type波的传播速度完全取决于 ,这意味着lump-type波传播只有沿着积极的y设在。在这种情况下,lump-type波的轮廓线和是由以下方程: 在哪里 。特别的,当 ,轮廓线变成了线 。显然,方程(26)代表了椭圆曲线。这个椭圆曲线是对称的和 。因此,当 ,lump-type波是对称的(图2)。

3所示。Absorb-Emit Lump-Type波之间的相互作用和扭结波解

我们研究lump-type波之间的相互作用和扭结波解。扭结波解可以通过使用下面的指数函数35]: 非零的参数在哪里满足下列条件:

用(27)和(28)(2)收益率扭结波解:

通过渐近分析,我们可以发现这个解决方案倾向于k作为和方法为零 。提出了两种不同的渐近状态。因此,解决方案(29日)是一个kink-type孤波,振幅 。

在上面的讨论中,我们研究lump-type波和扭结波解。接下来,我们将考虑解决方案的交互lump-type波和扭结波。基于two-soliton解决方案的结构形式(1),我们假设副大臣双线性系统(3)混合解决方案如下: 在哪里 在哪里一个是由(14),参数和R满足条件(16)和(17)之间的关系和是由(28),是一个转变参数以后待定。然后,用(30.)和(31日)方程(3)的收益率

因此,互动解决方案由一个lump-type波和扭结波可以获得如下。

定理2。BKP方程(1)交互的解决方案(30.), ,和是由 的参数 ,和需要满足非零约束条件:

我们可以看到从混合解决方案(30.),它由三部分组成,即。,two polynomial functions and an exponential function, corresponding to the lump-type wave and kink wave solutions. Hence, this solution describes a kind of interaction between a lump-type wave and a kink wave. Figure3展示了lump-type波之间的相互作用现象和扭结波 飞机。当t远小于零,即。,far from the interaction region, the resulting interaction solution describes a superposition of a kink wave and a lump-type wave, (Figure3(一个))。lump-type波位于渐近的背景的扭结波。然而,当lump-type扭结波的波方法,lump-type波逐渐吸收的扭结波,(数字3 (b)和3 (c))。与此同时,一个新的lump-type波发出的扭结波。特别是,当 ,这个解决方案清晰显示混合两个lump-type波和一个扭结波结构,如图所示3 (c)。当 ,随着时间的发展,底部的lump-type波最后消失在扭结波。顶部的lump-type波分离完全的扭结波,它位于另一个渐近的背景扭结波(数字3 (d)和3 (e))。在互动的过程中,lump-type波似乎交换能量的吸收和发射扭结波在即时的交互。就这样,lump-type波可以从一个扭结波的渐近状态跳到另一个渐近状态。因此,这种交互现象叫做absorb-emit交互lump-type波和扭结波。此外,从图3,我们可以看到,当lump-type波和扭结波之间的距离增加,交互的解决方案可以表述为一笔两个孤立的lump-type波和一个扭结波解: 在哪里 两个单lump-type海浪和吗是一个扭结波由(29日)。的确, 和 显示lump-type波相互作用前后,和他们是相同的lump-type波相移除了。这意味着lump-type波之间的相互作用和扭结波收益率lump-type波相移。扭结波仍是最初的传播轨迹,没有相移。使用扭结波的渐近行为,此外,我们还注意到,在互动的解决方案,我们有以下的渐近行为与

表明,当渐近行为 ,互动解决方案只代表lump-type波解位于渐近的背景扭结波。

简而言之,我们可以看到从上面的分析和图形表示,交互的解决方案由(30.)可以被视为lump-type波扭结波传播的背景。扭结波背景,lump-type波可以从一个渐近状态转移到另一个渐近状态(图3)。在[36,37)之间的交互扭结孤波解和lump-type波研究的解决方案。然而,结果表明,当lump-type波与扭结孤波解相撞,lump-type波的解决方案是完全吸收或发出的扭结孤子波。lump-type波不能从一个扭结波的渐近状态跳到另一个渐近状态。

4所示。结论

用厄米二次形式,导出BKP lump-type波的方程(定理1和推论1和2)。的动力学行为和对称属性lump-type波解进行了调查和分析和图形(数字显示1和2)。我们还表明,这种lump-type波沿直线传播解决方案由(24)常数背景波。此外,我们已经讨论了交互解决lump-type波和扭结波解(定理2)。Absorb-emit lump-type波之间的相互作用和扭结波已经证明(图3)。事实上,图3也表明,lump-type波可以从一个扭结波的渐近状态转移到另一个渐近状态。因此,这种互动解决方案可以被视为lump-type波扭结波传播的背景。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金(11801240)和基金培养人才在昆明科技大学(没有。KKSY201707021)。

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