研究在一个相对利润最大化Cournot-Bertrand博弈模型

文摘

本文认为基于相对利润最大化Cournot-Bertrand博弈模型与有限理性的玩家。纳什均衡的存在性和稳定性的动态模型。产品差异化程度和调整速度的影响在动态系统的稳定性进行了探讨。此外,一些复杂的属性和全球稳定的动态系统。结果发现,更高程度的产品差异化增大了动态系统的稳定范围,而更高的单位产品成本降低价格调整的稳定范围和增加产量的一个调整;时间周期和非周期振荡(quasi-period和混乱)通过倍周期或Neimark-Sacker发生分歧,和吸引域收缩调整增加的速度值。通过选择适当的控制参数,混沌系统可以返回到稳定状态。本文的研究具有重要意义的决策者决定价格和数量决定。

1。介绍

寡头市场是一种类型的市场结构由几个球员控制生产同质产品并采取行动的基础上寻求利润最大化他们的竞争对手反应。寡头垄断的游戏被许多学者进行了广泛的研究;特别是近年来,寡头垄断的动态游戏被广泛研究为数理经济学的一个分支。

大量大量的以前的文章分析了离散动态寡头模型的稳定性以及动态行为的球员有天真的规则,自适应规则,分别和有限理性预期规则。动态古诺博弈被许多研究人员研究,如Kopel [1],Agiza [2),Bischi et al。3],Bischi和Lamantia [4],Agiza和Elsadany [5),范蒂和戈里6),范蒂et al。7),朱et al。8),戈里et al。9],Elsadany [10]。大多数提到的作品分析了有限理性的玩家数量的调整过程,发现周期周期和混沌行为发生在古诺模型调整速度超过一定值。

许多学者研究的伯特兰比赛,利用非线性动力学理论探索其复杂的特性。马和郭11]分析了信息动态的影响价格游戏,包括稳定区域的变化和吸引纳什平衡点的盆地。易和曾12)开发了一种双头垄断伯特兰模型与二次函数,分析了稳定区域,混乱的行为,和伯特兰模型的混沌吸引子。Elsadany和阿13)研究讨论了伯特兰竞争市场环境税当公众公司私有化,而不是私有化。模型的动力学行为进行了研究,数值模拟和倍周期分岔和混沌出现了。此外,研究动态Stackelberg博弈也被许多学者研究,如史等。14),彭和陆15),彭et al。16Askar [],17]。

近年来,Cournot-Bertrand游戏收到了一些学者更多的关注。加拿大和加拿大18)建立了一个Cournot-Bertrand双头垄断模型与差异化产品,并讨论了模型的纳什均衡。阿斯(19)提出了一种基于非线性Cournot-Bertrand模型价格函数和纳什平衡点的稳定性分析。Naimzada和Tramontana20.)被认为是一个动态Cournot-Bertrand双头垄断模型与产品差异化和研究最佳动态响应的角色平衡点的稳定性。王先生和马21)建造了一个混合双寡头博弈模型与有限的信息,和纳什均衡的存在性和稳定性。马和聚氨酯22]研究混沌行为Cournot-Bertrand双头垄断模型利用非线性动力学理论。不同于上面的作品,Cournot-Bertrand博弈模型在本文开发的基于相对利润最大化的政策制定者。

作为竞争机制的相对性能或相对利润已经注意到一些文学研究。在某些情况下,一方面,即使一个人赚大钱,他不够快乐,可能会失望的如果他的弟弟/妹妹或亲密的朋友挣大的钱。另一方面,即使他很穷,他的邻居是穷,他可以安慰这一事实23]。公司的利润相对的区别是它的绝对利润和竞争对手。追求相对收益或效用被认为是基于人类本性的理性。公司考虑他们的利润相对而非绝对利润的商业目标更接近现实。

米勒和Pazgal [24)认为,商人可能是天生的竞争,更多的相对位置和状态比关心绝对利润,和利润最大化的平衡研究所有者选择不同类型的管理者与各种类型的竞争(各种各样的态度相对性能)。数量设置行为和价格的平衡设置行为相对利润最大化下的双头垄断游戏静态被Satoh纵深探索,田中(23),服部年宏和田中25田中],[26,27),等等。一些学者研究了博弈模型相对利润最大化下的动态决策。范蒂et al。7)开发的动态非线性古诺双寡头博弈与管理代表团和有限理性的玩家。此外,开关间歇性和吹出分岔以及对吸引子共存。路[28)研究的影响相对利润最大化内生时机与公共和私人垄断Stackelberg博弈。Elsadany [10)建立了一个动态古诺双寡头模型相对利润最大化和外部性成本函数。阿斯(17]研究了双头垄断游戏的动态特性的两个公司基于他们的相对利润最大化。

我们所知,小文学研究Cournot-Bertrand游戏相对利润最大化利用非线性动力学理论。这是一个非常有趣的项目研究Cournot-Bertrand博弈模型的动态特性的基础上,相对的利润最大化。

我们的理论贡献如下。第一个贡献是构造一个动态Cournot-Bertrand博弈模型,在哪个公司采用价格作为决策变量和其他采用量为决策变量的基础上,相对的利润最大化。第二个贡献是研究参数变化对稳定性的影响和盈利能力的动态Cournot-Bertrand博弈模型,得到一些有趣的现象,如现有的倍周期分岔和Neimark-Sacker分岔。

本文组织如下。节2,动态Cournot-Bertrand模型相对利润最大化。节3模型的纳什均衡的稳定点进行了分析。进行数值模拟的复杂动态系统的功能部分4。部分5给出了动力系统的全局稳定性分析使用盆地的吸引力。节6,采用变量反馈控制方法去除模型的混沌。最后,一些结论的结论部分7。

2。模型建设

本文认为两家公司(企业1和企业2)在同一市场差异化的产品与线性逆需求函数和线性成本函数。公司1作为产品的数量的战略变量,而公司2认为产品的价格策略变量。也就是说,公司在产品数量(1竞争 )和公司2竞争产品价格( )。两家公司将采取行动基于信息从他们的竞争对手和市场寻求相对的利润最大化。本文主要侧重于对构建一个基于相对利润最大化的动态Cournot-Bertrand博弈模型并研究玩家的动态行为和系统的复杂特性。

逆需求函数的产品如下(有关详细信息,请参考[29日,30.): 在哪里 表示产品的零售价格从公司1和公司2,分别公司的产品数量是1和2。此外, 表示两个公司之间的产品差异化的程度。当方法一,两家公司的产品变得更加分化;当 ,这两种产品是完全均匀的;当 ,市场结构的转移到从双寡头垄断。线性形式的成本函数是: 在哪里 是单位产品成本。

考虑到两家公司之间的战略变量不同,公司1的逆需求函数,给出了公司2的需求函数,分别为:

然后,两家公司的绝对利润函数如下:

基于先前的假设,球员的相对利润被定义为绝对利润之间的区别和其他球员。公司1和公司的相对利润2表示 ,分别给出了

的第一个偏导数公司1对的相对利润最大化是

同样,第一个条件的相对利润最大化公司的2对是由

第二个条件的相对利润最大化企业1和企业2容易计算如下: 和 。然后,两家公司的相对利润函数是凹的,和独特的最大价值的存在。

根据实际的市场,市场的球员不能得到所有他们需要的信息收集和处理。因此,两家公司表达有限理性行为,当自己的战略决策。两家公司的最佳行动基于他们的竞争对手的反应,分别为:

实现相对利润最大化,公司会选择基于边际利润相对最优的行动。如果边际相对利润是正(负)在当前时期,公司将增加(减少)数量(价格)在接下来的时期。因此,离散动态调整机制的Cournot-Bertrand博弈模型描述 在哪里 代表公司1的调整速度和公司2,分别。

用方程(8)和(9)方程(11)、动力系统(11)可以获得

因此,Cournot-Bertrand游戏的时间演化与有限理性预期。在下一节中分析了动态系统的稳定性和复杂的特性(12)。

3所示。动态系统的稳定性分析(12)

在本节中,我们重点分析纳什均衡的稳定点的动态系统(12)。让 和 ,四个平衡解决方案计算如下:

为了确保平衡解决方案都是非负的,应该满足如下条件:

引理1。 不稳定平衡的点,是一个独特的纳什均衡解决方案的动态系统(12)。

证明。动态系统的雅可比矩阵(12)以下形式: 在哪里 和 。
采取 在方程(15), 的两个特征值矩阵是 和 。根据方程(16),很容易知道 和 。因此,是一个排斥节点的动态系统(12)。
在 ,雅可比矩阵给出如下: 两个矩阵的特征值得到: 和 。因此,是一个鞍点。通过同样的方式,我们可以证明是一个鞍点,是唯一的纳什均衡正解。这就完成了证明。
然后,积极的纳什均衡的雅可比矩阵是 在哪里 和 。
让 的特征多项式和 是其判别 和 。
根据陪审团的情况下,动态系统(12)是渐近稳定当且仅当它满足下列条件: 更准确地说,不平等(19),当 ,霍普夫(在连续系统)或Neimark-Sacker分岔发生;当 ,这意味着一个真正的特征值大于1,然后切,球场上,或超临界分岔将;当 ,它代表一个真正的特征值小于 ,然后翻转(倍周期分岔)将提高。此外,如果不满足上述三个条件同时,那么动态系统(12)将失去稳定,变得不稳定,所以上面的条件定义了表面的参数空间类型的分支,将会出现。
然而,解决不等式方程(19)是非常复杂的。接下来,我们给出了稳定区域的动态系统(12通过参数盆地)。根据当前形势下,我们把参数值如下: , , ,和 。
参数盆地地图也被称为2 d分岔图,可以清楚地显示的路径系统稳定状态的混乱状态。盆地绘制在图的参数1与 ,中不同的颜色代表不同的时间周期,例如,红色(稳定),蓝色(-周期),绿色(三期),黄色(4-period),橙色(5-period),浅蓝色(7-period),布朗(8-period)、红色(混乱),和白色(分歧)。从图1,当两家公司的调整速度的值是稳定的地区(红色区域),动态系统(12)最后在纳什均衡稳定点经过多次迭代。当两家公司的价值观的调整速度逃离稳定区域(红色区域),纳什平衡点将变得不稳定,出现倍周期周期或Neimark-Sacker轨,甚至最后演变成混乱。此外,重要的是,玩家将退出市场时调整速度大于一定值(白色区域)。
图2给出了参数盆地的动态系统(12)当和采取不同的值。比较稳定区域的大小(红色区域)的数据1和2,我们发现高产品差异化增大稳定区域的动态系统(12),单位产品成本越高增加稳定地区的价格调整和减少输出稳定地区的调整。所以,两家公司应该根据实际的市场状况调整参数,动态系统(12)是在一个稳定的状态。

4所示。数值模拟

在本节中,数值模拟是进行深度分析的影响价格调整速度和程度的差异化产品纳什平衡点的稳定性的动态系统(12)。此外,动态复杂行为的动态系统(12)分析了模拟,如分岔,混沌,最大李雅普诺夫指数(米歇尔),奇怪吸引子当中,对初始条件敏感的依赖。

4.1。调整速度的影响动态系统的稳定性

系统的动态特性,可以清楚地显示出一维分岔图和米歇尔与单参数变化时保持其他参数固定的。图3显示了分岔图和相应的米歇尔从0到3.2时不同 。随着的增加从0到2.355,动态系统(12)在稳定状态;当 ,动态系统(12)损失它的稳定性和periodic-doubling发生,包括第二阶段和时期4。最后,系统(5通过翻转分岔)陷入混乱。米歇尔可以验证出现混乱,大部分会超过0。

同样,和相应的米歇尔对分岔图显示在图4。第一个分歧发生在 ,然后动态系统(12)变得混乱最后通过倍周期分岔,正面会显示混乱的出现。

从图可以看出5(一个),对分岔图完全不同于图吗3当 。动态系统(12)保持在稳定的状态 ,与增加,当超过2.290,动态系统(12)变得不稳定,Neimark-Sacker分歧出现,然后进入混沌状态。如图5 (b)动态系统的动态行为(12)变得更加复杂固定在2.3,纳什平衡点-周期状态是从0到1.342;当 ,动态系统(12)返回到稳定状态从第二阶段状态,然后系统经历Neimark-Sacker分岔进入混乱的时候 。此外,作为一个可以发现有一个间歇奇数周期(period-7)数据的混乱5(一个)和5 (b),这意味着所谓的拓扑创建混乱。

从经济学的角度来看,当公司的调整速度超过一定值,系统将失去稳定的纳什均衡,系统变得不可预测和障碍;企业很难应对复杂的场景。因此,公司应该保持在一定范围内调整速度,以避免减少市场的效率和利润。

系统的一些奇怪吸引子是绘制在图6关于 在二维图中不同参数组合下的值的调整速度的公司。极限环和共存的几个流动显示在数字6(一)- - - - - -6 (c)当 和有不同的价值观。奇怪吸引子的分形结构表现出图6 (d)这意味着混沌行为的存在。

混沌系统的一个重要特性是对初始值的敏感性。在这里,保持不变, ,图7显示了不同的演化过程的动态系统(12)的初始值只有变化,0.001。我们可以看到的值和在71年第一次迭代没有区别,但在那之后,的值和显示很大差别。也就是说,初始值的细微差别会导致大偏离后迭代,这给我们提供了启示,决策者应该更谨慎的选择决策变量的初始值。

4.2。产品差异化程度的影响和单位产品成本在系统稳定

分岔图和相应的米歇尔对画在图8当和是固定在1.5;动态系统(12)在稳定状态,以及产品数量的增加,我们可以看到,公司1是不变,直到 ,而公司2的价格同时大幅减少;然后,Neimark-Sacker分叉时发生 ,和动态行为的球员落入准周期性的状态;有限理性的球员很难预测其数量或价格的轨迹,使长期竞争策略。此外,对分岔图如图9当 。动态系统(12)进入稳定状态的混乱状态,然后进入混沌状态时 ,因此它是一个有效的方法消除混乱的控制在一个适当的范围的值。作为 ,动态系统(12)展品Neimark-Sacker分岔和quasi-period停留的状态。相比之下,图8,市场的动态行为变得更加复杂混乱的状态。米歇尔情节的人物8和9用于验证存在稳定的周期,周期周期和混沌行为。可以获得一个更好的理解的影响程度的产品差异化在纳什平衡点的稳定性和复杂动态系统的特性。

对分岔图画在图10当动态系统(12)在稳定状态和不稳定状态。从图10 (),当 ,公司1的输出减少,然后进入不稳定状态;当 ,公司1的输出等于零;当 ,公司2的价格增加,然后通过翻转分叉进入混沌状态。从图10 (b),我们可以发现,当动态系统(12)处于不稳定状态,动态系统(12早期)将进入混乱增加。

从上面的分析,我们可以得到以下结论:(1)当动态系统(12)在稳定状态,一个更高的替代产品之间可能破坏纳什平衡点的稳定性,导致出现的非周期循环。此外,公司1的产品数量仍然在一定价值和不变,而公司2的价格却降低了产品差异化程度的增加。这表示球员以价格为策略变量对产品差异化程度的变化更敏感,这是不同于经典的Cournot-Bertrand游戏在先前的文章中讨论。当动态系统(12)处于混乱状态和产品差异化的程度趋于0或1,周期循环和混乱将会出现在系统(12)。(2)当动态系统(12)在稳定状态,单位产品成本超过一定值时,公司1将退出市场;当动态系统(12)处于混乱的状态,两家公司的单位产品成本的增加将使动态系统(12)提前进入混沌。因此,两家公司应该控制产品差异化的程度和单位产品成本,以避免市场进入一个混乱的状态。

5。全球稳定的动态系统(12)

一个有效的方法,分析参数变化对全球的影响稳定的盆地是吸引力,包括吸引域和逃避。它是一组初始条件;如果初始变量的吸引域,系统将出现相同的吸引子经过一系列的迭代。如果初始变量吸引力的盆地外,该系统将分为散度。

通过修改参数值的动态系统(12)如前所述,盆地的吸引力和的动态系统(12)如图11不同价值观下的调整速度,红色区域表示稳定的吸引域和白色区域表示越狱。我们发现吸引域萎缩与调整的增加速度值。

参数的值有很大的影响对全球稳定的动态系统。图12显示了盆地的吸引力和与和有不同的值时 。比较数据11和12,我们发现吸引力的盆地降低单位产品成本的增加和产品差异化的程度。

从经济角度,变量的初始值的两家公司应该在盆地为了保持市场稳定的吸引力。

6。混沌控制

一般来说,经济体系的混乱被视为一个障碍玩家做一个长时间的商业战略,实现自己的商业目标。近年来,在控制方法分岔和混沌等许多学者提出了OGY方法,变量反馈控制方法,延迟反馈控制(DFC)方法。因此,本文使用变量反馈控制,广泛应用于供应链管理和保险市场推迟和消除混沌动态系统(12)。

我们假设的离散动态模型系统(6)以下形式:

然后,控制系统可以被描述为 在哪里是控制参数,它可以被看作是政府监管或球员的学习能力。

图13显示控制系统的分岔图和米歇尔(21)当 。一个可以看到混乱、倍周期分岔和7-period周期发生两次;当 ,然后控制系统(21)经历了混乱,quasi-period范围,并返回到一个稳定状态增加。相应的时,米歇尔变得消极 ,验证控制系统(21)返回到稳定状态。在图14的轨迹和是策划 和 ;经过多次迭代,控制系统(21)逐渐返回到稳定状态的混乱状态。

7所示。结论

本文致力于建立一个动态Cournot-Bertrand博弈模型基于相对利润最大化。动态系统的稳定性分析,调整速度的影响变量,单位产品成本和产品差异化程度上复杂动态系统的特性。结果表明,较高的产品差异化程度加大动态系统的稳定范围,而更高的单位产品成本降低价格的稳定范围调整和增加产量的一个调整。一些复杂的属性和全球稳定的动态系统的探索,并发现时间周期和非周期振荡(quasi-period和混乱)通过倍周期或Neimark-Sacker发生分歧。此外,极限环和共处几个流动将会出现在某些情况下,和吸引域收缩调整增加的速度值。

Cournot-Bertrand博弈模型的复杂性的研究基于相对利润目标具有理论和实践意义。尽管如此,有一些因素不考虑,例如,如果考虑决策者的风险态度,Cournot-Bertrand博弈模型将更为现实。公司可以考虑双通道,扩大市场份额。我们相信本文的观点将为未来的研究打下一个动态的基础在这些方向。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

作者的贡献

郭黄Yi-min和欣欣修订,李Qiu-xiang提供研究方法和张于写了初稿。

确认

这项研究得到了国家社会科学基金(没有。19 fglb067)和河南省软科学研究计划项目(不。192400410088)。

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