基于支付时间和价格协调的生产决策优化研究

摘要

本文主要研究供应链中一个制造商与多个零售商之间的协调与优化问题。制造商为所有零售商制定产品报价和交货期限，每个零售商根据自己的需求选择产品报价和交货期限。制造商通过设定最佳报价和交货期限来最大化自己的总利润。本文构建了最优报价和交货期的数学模型，提出了不同于一般M/M/1的调度算法，并对生产调度问题进行了研究，探索了报价策略在管理实践中的有效实施。

1.介绍

对于基于订单的生产模型，交货时间（或订单到交付时间）保证已被应用为与其他公司竞争的先进战略武器。在市场上，一些客户愿意为更快的交付支付更多费用。此外，客户在市场上有不同的时间敏感性和价格敏感性。一个新的策略是根据对价格和时间的敏感性将客户分成不同的群体。在一组中，客户具有相同的交货时间担保和价格报价组合。不同客户群体的不同报价和交货时间在印刷和包装行业中是明显的。在文献中，这个问题称为客户分段和聚合问题[1.–3.]。在以下示例中，Printing.com使用此拆分和合并策略。Printing.com是一家打印服务提供商。它为客户提供不同交付时间和不同价格的菜单选择。对于较短的交付周期，价格自然较高。

关于制定该战略的能力，有两种情况：所有客户的共享能力和每个目标客户的特定能力。支持专用能力的原因有两个。首先，使用专用能力为每个客户群提供不同的交付时间保证是必要的兼容的[4.]。其次，不同领域的客户的干扰较少[1.,5.]。

在专用能力设置中，执行拆分和合并策略可以被视为多个单一客户群问题，其中唯一的区别是每个群体的能力以及每个群体客户对价格和时间的敏感度范围。因此，该策略的初始工作是报出共同的最优价格和共同的针对每一个客户群的交货时间，我们考虑在小批量生产的情况下单个客户群的定价和生产问题，在一个单一的组中，客户的支付偏好和延迟容忍在价格和时间敏感的已知范围内是不同的。

我们的技术贡献之一是提出了制造商面临的联合定价调度问题的解决方案。我们展示了最佳交货时间的物业报价，并开发了一种先进的调度算法来优化解决该问题。本文扩展了Chen和Hall在时间和调度协调方面的研究综合考虑时间和报价的问题[6.]。

2.文献综述

本文主要考虑产品定价和生产问题。相关文献主要在以下两个方面阐述。一方面，不考虑运送截止日期的定价和生产问题。另一方面，考虑了价格交付时间报价的问题，这与本文内容更相关。

关于不考虑交货期的定价和生产问题，为了探究这个问题，相关文章中提到了各种模型[7.–9]。这些模型假设需求独立于交付时间，对时间报价或其他因素敏感。尤其是，Ata和Olsen详细审查了相关的到期日报价文献，并研究了不同延迟成本下的动态时间报价[10]。

由于交货期和价格对订单接受有很大的影响，所以将报价与交货期结合起来非常重要[11,12几篇论文考虑了不同客户群体的不同交货时间和价格。1.,5.,13–15]，以及其他一些考虑不同客户群体有共同价格和交货时间报价的文献[2.,16,17]。

有大量的文献用一个稳定的排队模型来制定相关的生产政策。在这些文档中，使用了固定的调度规则，如First Come First Service (FCFS)。客户需求是价格、交货期等属性变量的确定性函数[17–20]。所有这些文档都将生产阶段视为M / M / 1队列，因此，其中使用FCFS规则。我们的模型通过考虑最佳生产测序，我们的模型与这些方法不同。

很少有文献考虑生产计划的价格和交货期的决策。Elhafsi研究了订单型制造商如何确定订单的交货时间和价格[21]。在交货时间不影响需求的前提下，主要目的是根据FCFS的交货时间规则对到货订单进行报价。Charnsirisakskul等人也提出了综合定价和生产决策的决策模型，使用单一价格模型或多个价格模型[22].他们的决策模型基于基于库存的生产场景，我们的研究基于基于订单的生产。Chen和Hall提供的解决此问题的研究最接近我们的方向。在详细调度的背景下，Chen和Hall研究了报价问题[6.]。本文研究了联合交付时间和报价，而不是仅研究报价。

Chen和Hall分析了在研究中增加详细进度安排的重要性。与不协调的定价决策相比，协调定价和生产决策的价值更准确。在我们的研究中，本文的目标函数中也包括了逾期罚款。Charnsirisakskul等人此前对进口进行了判断他们参与研究的重要性[22]。

在上述讨论的基础上，我们研究了基于订单的生产环境下，考虑了详细的生产调度决策机制的协调定价和交货期报价。具体来说，本研究的目的是制定一个调度机制，处理交货报价，包括价格。以往的调度研究主要是解决报价截止日的问题，没有考虑价格，所以几乎没有研究者同时考虑价格和交货期报价。我们研究的另一个主要贡献是我们考虑了客户的时间和价格需求的异质性。在我们的研究中，客户决定订单数量。Charnsirisakskul等人、Chen和Hall也做出了类似的假设。

3.模型建设

假设有零售商，表示为 ,制造商为所有零售商引入价格和交付时间。当零售商的订单完成时，制造商将向零售商交付订单。我们假设不考虑调度时间，并且假设每个产品的生产过程时间是固定的和已知的，产能成本也是固定的和已知的已知。模型符号汇总在表中1.．

为了反映消费者对价格和交货时间的敏感性，我们假设以下需求函数反映了消费者订单的数量：

哪里是正常数字，指示订单的潜在市场规模 , 指示订单的价格敏感性 , 指示顺序的时间敏感性 ．

我们结合 描述消费者对价格和交货时间的敏感性。对于可能的零需求量或负需求量，我们假设消费者不会下订单。我们假设消费者下的有效订单必须生产，而不是单独交付。假设制造商是纯生产机器，并且表示单位产品加工时间所给定的优先级，因此订单的生产加工时间可表示为:

在每个计划生产周期开始时，制造商会设置产品价格和交货期报价，因此所有订单的处理时间都是在初始时刻确定的，因此所有订单的初始发布时间标准为0。

如果订单超出交货时间，制造商将承担延迟罚款。由于我们考虑的消费者来自消费者群体，我们已经在引言部分中讨论过，以确定为所有消费者延迟确定重量惩罚是合理的，也就是说：

哪里订单的完成时间是什么时候和为所有消费者的一般延迟权值。

我们的目标是最大限度地提高制造商的净利润。由于固定设施成本不会影响产品价格和交付时间引用的优化决定，我们的利润函数将不包括固定设施成本。具体的利润函数表示如下：

让和表示最佳解决方案和 ,分别。

根据目标职能（4.)，将制造商的生产计划引入模型中，我们将研究该调度问题的最优生产顺序问题。以下模型将分为两类通用模型进行研究，一类是固定报价，另一类是固定交货期。

３．１．最优生产序列

根据目标职能（4.)，最优净利润不仅与交货时间和价格有关，还与订单的生产顺序有关。夏等人证明了最短加工时间（SPT）具有渐进的最优性[23，由于延迟惩罚的存在，我们得到引理1。

引理1。最短加工时间（SPT）是产品生产中利润最大化的最优排序规则。
本文将在生产调度问题中应用SPT规则。首先，我们将解释在利润最大化问题中如何结合序列约束。

当假定价格是固定的时，订单处理时间是交货时间的线性函数：

图形1.显示三个消费者订单的处理时间。三条线分别表示三个消费者1、2、3。三条线在 , ,和 ．每个交点表示两个订单的处理时间相等。如图所示1.，三条直线之间的交点以及每条直线与 -轴心分裂 -轴线分为六段到 ,也就是说，三阶的SPT序列在区间中唯一确定 ．表格2.显示每个时间间隔或区域三个订单的所有SPT生产序列。

如果这是两条直线的交点吗 , ,还有一个等式 ．带等式(1.)代入方程得到协调的作为：

根据 ,拦截点在这一点 -Axis可以表示为:

用上述公式(6.)及(7.)，可以计算所有时区边界，然后按升序排序。当价格固定时，交货时间是可变的，我们限制了时间。使用表示一般时区，其中和表示一个时区的任意两个相邻边界。在此时间限制下，最优顺序是唯一确定的。

当交货期报价固定时，与前面的分析类似，价格范围约束为 ,哪里和代表价格地区的任何两个相邻边界。如图所示2.这个协调的具体表述如下：

拦截点在这一点 -轴表示为：

价格区域的边界值可通过上述公式获得(8.)及(9）。在这个价格区之一，可以唯一地确定独特的生产序列。

在一般情况下，报价和交付截止日期是两个决策变量。例如，三个订单的价格和时间敏感性是不同的。订单处理时间是线性函数和 ;即:

图形3（a）说明了在三维笛卡尔坐标系中三个阶的处理时间，其中三个阶分为三个平面， , 和 飞机每个飞机有三个订单在四个交叉点交叉 , , ,和 ．每个投影点 对应可以通过解决以下两个方程来获得 飞机：

根据图3（a）可以看出 , ,和是点的投影 , ,和在飞机上 ,分别。行C_1.C_2.由上的点组成pt_2. = pt_3.自从EF.是C_1.C_2.在飞机上 ,那是一个要点 在…上EF.也满足pt_2. = pt_3.．

图形3（b）在图中描述了线性投影3（a）投射到 平面，表示其二维平面图形区域。在图中3（b），直线是平面的交点飞机呢 并表示当时的一组点 ;即点数 直线满足下式：

从上面的分析中，我们可以看出，探索固定订单价格和交货时间的方法是相似的。在正常情况下，最优生产顺序的变化只有两种情况。一种情况是两个订单的处理时间相等；另一种情况是订单处理时间等于0。这意味着订单将订单最优生产的r转化为直线P_我T_我和线路EF.,GC_4.在图3（b）．

因此，在图的第一象限中3（b）由直线分割的凹面区域唯一确定最优生产顺序P_我T_我,EF.,GC_4.，及付款交单我们将这些凹区域定义为价格-时间区域3（b），每个凹形区域由①到⑦表示。决策变量是具有独特的最佳生产顺序的价格 - 时区，并且每个最佳生产订单区域如表所示3.．

为了获得所有价格时间区域的SPT序列，图中第一象限中的所有区域3（b）需要获取，因此我们设计了一个算法来创建一个详细的价格时间区域，记录为序列列表算法（SLA）；该算法的主要思想如下：

第1步。将第一象限看作是整个价格时间区域，将第一象限划分为一系列价格时间区域P_我T_我．

第二步。检查每个价格时间区域，以确保它是每个两个订单曲面的交点的投影 飞机

第三步。获取所有价格时区。

３．２．最佳的交货期限

分段3.1，我们研究了确定每个时区的最佳SPT序列。本小节将讨论确定产品价格时交货时间的变化。如果第节中讨论了特殊时区3.1，结果序列的决定将不重要。因此，根据时区的个数，将问题分解为几个简单的子问题。我们将目标函数(4.)分成两部分。一部分是销售收入;即:

另一部分是延迟惩罚：

哪里是在给定时间内按时完成的订单数T．

如果与时间无关 ,然后利润回归的梯度相对于时间是：

定理1。假设利润函数(4.)为凹函数，则:(我)两个时间节点之间的小段是线性函数。(ii)每个分段相对于时间的衍生性是递减。(iii)时间导数的前半部分为正，后半部分为负。(iv)在两个小段之间可以得到最大返回点。

定理的结论1.可以从图中解释4.．对于一个关于时间的凹利润函数，每两个时间点之间形成一个小的分段线性函数。每个小片段是慢慢增加之前 ．其导数为正，但其导数的增长率相对于 ．之后 ,可以看出，每个小段线性函数都是递减的;即每个小段线性函数的导数为负，从图中可以看出。可以看出，当 ,利润函数取最大值。

推论1。假设给定一个时区，您可以找到获得最佳交付时间的两个可能条件：(我)最佳交付时间与订单的完成时间相同．(ii)最佳交货时间是时区的任何边界．

根据定理1.和数字4.可以得出结论，小部分的数量代表了在这种情况下按时完成的订单数。随着时间的的增加,也是间歇性的增加。收敛时间两个部分 -Axis等于订单的完成时间。利润最大化点是两个小段的收敛点。这个点左边的小线性函数的导数T当 ．该点右侧的小线性函数相对于当 ;即满足下列不等式:

基于上述两种不等式，我们带来了价值和到(16),该收益率:

的价值可通过(19)及(20）。

从数字4.，我们可以看到什么时候 ,利润达到最大值。是中订单的完成时间( )_th序列，因此最佳交货时间满足：

然后，计算为：

由于最优生产顺序的获得是基于特定的时区 ,我们应该核实一下位于每个特定时区。因此，我们需要比较在时区的边界。如果在时区内，最佳交付时间等于．如果超出了时区 ,最佳交货时间为或 ;即:

对等式的解释（23）与推论相同1.．

3.3.固定报价定价决策

本节将通过一种类似于定理的方法，检验在给定交货期限时调整价格对最优利润的影响1.，我们可以找到相应的价格地区 ,这样我们就可以得到每个订单价格区域的最优订单。

与上一节类似，我们根据价格区域的数量将问题分解为几个子问题，将目标函数分为两部分：收益函数和延迟惩罚函数。收益函数的导数为：

当假设M不依赖价格 ,价格延误罚款函数的衍生物是：

定理2。负延迟罚款是价格的分段线性函数 ．该函数具有以下属性：(我)它是价格的一个非递减的连续函数 ．(ii)每个细分市场的绝对梯度相对于价格都在下降 ．(iii)价格什么时候 是否大到足以达到某个值，函数梯度为0．

推论2。通过3种可能条件得到最优价格。(我)在最优价格的情况下，订单的完成时间与交货时间相同．(ii)最好的价格位于价格区域的边缘．(iii)最佳价格位于收入函数的衍生品中，等于惩罚功能的梯度．

在图中5.，罚函数位于 -轴上的每个小段指示此时处于价格状态的订单已按时完成。假设当 ,在给定时间内及时完成的订单数量是 ,然后，每个两级功能之间的连接点表示在给定时间完成订单的时间 ．当订单已完成，完成时间满足：

然后，

如图所示5.，作为随着时间的增加，订单处理时间逐渐减少，直到延迟惩罚减少到0增加到 ,即，当 , ．

从 （24)，则可知收入函数为一个凹二次函数。在函数图像的上半部分 -轴在图5.，获利职能的最大点是获得的 ．我们可以得到收益函数的最大值点，也就是图中的最高点6.:

现在，我们讨论区间。如果 ,当 ，由于延迟罚款为0，因此最高利润价格为 ．当 ,如下文详细讨论的，情况更为复杂。

在图中5.,当 ,收益函数的导数为0，而是肯定的，什么时候 ,的导数从0持续减少到作为增加。与此同时，从一个正值降到零。因此，当的导数被添加到衍生中 ,得到了目标函数的最优解，同时达到最小的非负值。

如果 ,最好的报价是：

如果 ,(29)不适用于计算最优解。基于图5.，我们开发了一种寻找最优价格的搜索算法(最优价格搜索算法，OPS算法)。该算法的主要思想是求值P当 达到最小的非负值。

根据OPS算法，由于算法的迭代次数只取决于算法的大小范围 ,我们发现该算法的计算复杂度是 ,因此，在整个价格轴上建立了这个问题的解决方案。但是，整个价格轴分为价格范围。我们假设价格范围是 ．然后，我们需要比较边界的大小以及价格区域。具体内容如下：

哪里

3．4．同时决定报价和交货时间

从节3.1，我们知道 SPT生产订单可以固定价格时间区域，SLA可以获取对应生产订单的所有价格时间区域。一般问题的解决方案可以在每个价格时区内解决，时间序列决策并不重要。因此，整个问题根据价格时间区域的数量分为两个简单问题。

根据SLA，价格时间区域是由两条直线边界组成的凹区域，如EF.和P_1.T_1.数字中的线条3（b）．价格-时间区域的数学方案如式(13）。当我们研究一般时间价格区域问题时，约束（13)必须满足。

定理3。获得最佳解决方案要求满足以下两个条件中的任何一个：(我)交货时间与订单完成时间一致．(ii) 序列改变点是什么意思 允许两个订单的处理时间等于零，并且一个顺序等于零的处理时间．

接下来，我们将讨论定理中的两种形式3.可以得到最优解。首先，假设一个订单的交付时间与完成时间相同，且决策变量相同时利润最大化 满足(27)，在哪里是一个整数 ,每一个可能的价值(27）可计算和可更换，直线 形成于笛卡儿坐标系统。如果直线之间有两个交点和价格时区边界，那么值有效并存储在浓度 ,哪里是一个整数。然后，为了找到最佳利润，每个元素可计算。

带公式(27)转化为公式(13)，所有价格-时区的限制可以简化为只对时间的限制 ;也就是说，所有不平等（13)将成为 ,哪里和由一组不平等性整合而成。

带来(27)转化为目标函数(4.)，目标函数将变为仅与时间有关的二次函数 ;即:

通过比较 , ,和 ,筛选出最大利润，问题直接解决。我们找到了每个解决方案同时获得最大的利润。

接下来，我们讨论定理的第二个条件3.并找到最佳解决方案 在序列改变点。如本节所述3.1，时间-价格区域的序列变化点是时间-价格区域的边界点笛卡儿坐标系统。各边值可由式(14)。一般而言，特定时间价格区域的边界可以表示为 ,哪里 ,所以决策变量是决策变量的函数 ;即:

带来(32)转换为目标函数(4.)，目标函数变为关于交货时间的二次函数 :

带来(33)到(14)，价格-时间区域的所有约束都只成为时间上的约束 ;也就是说，世界上所有的不平等(13） 变得 ,哪里由不等式集的家庭决定。结果，可以通过直接解决这个问题来解决 , ,和 ,并过滤掉最大的利润。我们在每一时刻找到价格区域边界的解，并过滤掉利润最大的一个。

关于的最优问题(31)及(33)可以在一个明确的时间-价格区域内解析。通过求解(31)及(33），可以过滤出详细的价格区区域以获得最大的利润和最佳解决方案。对于一般问题，为了找到最佳交付时间，我们开发了一种价格时间问题算法（PTA）。PTA的主要思想是：首先，形成所有价格时区的SPT序列;其次，基于公式（31)及(33)，我们找到每个时间价格区域的最优解；最后，从得到的所有时间价格区域的最大值中过滤出最优解。

定理4。就 ,对于一般问题，PTA算法可以得到最优解 ．

4.结论

在制造商的零售商的交付定价问题中，零售商的需求是商品价格，交货时间和其他属性变量的决定性函数。为了最大限度地提高生产利润，制造商为每个客户组发布常见的最佳产品价格和公共交货时间。通常，制造商通过稳定的排队模型制定相关的生产策略，该模型使用固定的调度规则，例如FCF，被认为是M / M / 1队列。

基于M/M/1调度算法的交货定价问题适用于大批量客户的批量生产报价。对于单个客户群体，小批量生产背景下的定价和生产问题不能通过M/M/1调度算法以制造商的利润最大化。在单一客户群体中，在已知的价格和时间敏感性范围内，客户的支付偏好和延迟容忍是不同的。在生产顺序优化的基础上，主要研究了供应链中一个制造商与多个零售商之间的协调与优化问题。

在基于秩序的生产的情况下，我们研究了协调定价和交货时间报价的问题，同时考虑到详细的生产调度决策机制，然后制定了处理交付日期的调度机制，包括价格。该机制考虑了客户的时间和价格要求的异质性，并包括向制造商延迟交付的处罚。为了最大限度地提高制造商自己的利润，我们构建了最佳报价和交付截止日期的数学模型，并创建了一种价格 - 时间问题算法（PTA），以获得模型的最佳解决方案。我们提出了制造商面临的联合定价调度问题的解决方案。

数据可用性

本文是关于模型方法的研究。没有数据用于支持这项研究。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

中国国家自然科学基金（16ATJ00 3）和中国国家自然科学基金（71031004和71271047）资助了这项工作。

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