美新对称和守恒量的时间尺度比尔科夫的方程

文摘

时间尺度动态方程中扮演重要角色建模复杂的动态过程。摘要美新对称和守恒量的时间尺度比尔科夫的方程进行了研究。的定义和标准时间尺度上Birkhoffian系统的对称美。新的守恒量的条件和形式被发现从系统的对称美。作为一个特例,讨论了时标哈密顿正则方程的对称美和新哈密顿系统的守恒量时间尺度。给出两个例子来说明结果的应用。

1。介绍

1988年,希尔格(1)提出了微积分在连续和离散时间尺度协调,包括他们在一个全面的数学,并剔除默默无闻。这个理论是非常重要的,在复杂动态过程建模中起着有益的作用和具有巨大的应用潜力2- - - - - -4]。

对称是一个重要方面在研究动态方程。从对称性,我们可以找到一个守恒量或动态方程的首次积分。著名的Noether对称理论揭示了对称和谈话法之间的关系被应用到一个时间尺度的模拟分析力学、现代理论物理,工程(5- - - - - -10]。除了Noether对称方法,另外两个流行的对称方法,谎言对称方法(11)和梅对称方法(12),被广泛应用于研究动态系统。梅对称意味着当动态函数取代了转换函数的无限小变换下组,运动微分方程的形式保持不变。动态函数拉格朗日,哈密顿,Birkhoffian,比尔科夫的函数,广义力,广义约束反应,等。新型可以由梅对称守恒量。该方法已成功应用于拉格朗日系统运动方程,哈密顿系统,Birkhoffian系统运动的带电粒子在电磁场,非物质的量的方程,薄的弹性杆的方程等。13- - - - - -21]。

Birkhoffian力学[22]分析力学的发展代表了一个新的阶段。这是一个自然发展的哈密顿力学和有价值的应用程序在强子物理,空间力学,统计力学,生物物理学和工程23- - - - - -26]。在过去的二十年里,重要的成就,包括Birkhoffian系统的对称性与守恒量,Birkhoffian动态逆问题,比尔科夫的运动方程的稳定性,Birkhoffian系统随着时间的延迟,和部分Birkhoffian系统,已经27- - - - - -38]。

Pfaff-Birkhoff原理和比尔科夫的方程在时间尺度的模拟进行了研究,及其对应的Noether对称和谎言对称和守恒量研究[39,40最近)。然而,梅Birkhoffian对称系统时间尺度尚未完成。值得进一步去发现更多新的守恒量比尔科夫被另一个对称方程的方法。在本文中,我们将研究时间尺度的对称美和新的守恒量比尔科夫的方程。

本文的组织结构如下:在部分2,我们首先给出的定义和标准梅对称Birkhoffian系统在时间尺度上。三种系统的守恒量由对称美在时间尺度上的部分3。作为一种特殊的情况下,部分4处理时间尺度的对称美哈密顿正则方程和相应的新的守恒量在时间尺度上哈密顿系统。给出两个例子5显示应用程序的结果。最后,给出了结论和未来的工作。

2。美时间尺度对称比尔科夫的方程

关于微积分的基本知识在时间尺度上,读者可以参考引用(2,3]。

Pfaff-Birkhoff行动时间尺度 根据Pfaff-Birkhoff原则在时间尺度上, 与边界条件 和交换关系 时间尺度的比尔科夫的方程可以推导出,也就是说, 在哪里是Birkhoffian函数,比尔科夫的功能,Birkhoffian变量的δ衍生品吗关于 ,和 。这个结果可以在裁判。39]。

介绍了单参数无穷小变换的时间和变量作为 在哪里和无穷小和无限小的参数是什么 。相应的无穷小发电机是 第一个扩展无穷小生成器

的Birkhoffian和比尔科夫的功能成为新的Birkhoffian和新比尔科夫的功能在转换(6),也就是说, 通过执行泰勒级数扩张点 ,我们有

定义1。如果方程的形式(5Birkhoffian时)保持不变和比尔科夫的功能取而代之的是和 ,分别,即 那么这个不变性叫做梅Birkhoffian系统时间尺度的对称。
从定义1和公式(10)和(11),我们有以下。

标准1。Birkhoffian系统(5在时间尺度上,如果无穷小和满足 那么相应的不变性是对称美。

3所示。新的时间尺度Birkhoffian系统的守恒量

Birkhoffian系统(5)在时间尺度上,新的守恒量可以从梅发现对称。

定理1。如果无穷小和的对称美Birkhoffian系统(5)和评估函数 满足以下结构方程: 然后系统的对称美可以导致新的守恒量

证明。证明这个公式(15)是一个守恒量,我们需要证明 因此,我们有 在这里,系统(5),下面的能量方程(40]: 成立。无穷小变换后,新的能量方程 成立。注意公式(10)和(11),我们得到 因此,结合方程(14)和(20.)的收益率 完成证明。
定理1给出了梅守恒量(15时间尺度上直接导致了美对称的系统(5),考虑到结构方程(14)。当 ,守恒量(15)成为古典美守恒量。

备注1。如果 ,然后和 ,和守恒量(15)成为经典的一个14]

备注2。如果 ,然后和 ,和守恒量(15)成为量子 在哪里 。

定理2。如果无穷小和的对称美Birkhoffian系统(5)和评估函数 满足以下条件: 然后系统的对称美可以导致新的守恒量

与方程(注意13)和条件(24),我们可以得到公式(25)是一个系统的守恒量(5)。

定理3。如果无穷小和的对称美Birkhoffian系统(5)和评估函数 满足以下条件: 然后系统的对称美可以导致新的守恒量

注意公式(20.)和(26),我们可以得到公式(27)是一个系统的守恒量(5)。

定理2和3给其他两种守恒量(25)和(27)时间尺度也由美对称性考虑条件(24)和(26)。

4所示。梅对称和守恒量的时间尺度哈密顿正则方程

Birkhoffian力学哈密顿力学是一个自然发展;如果我们把 然后我们可以获得时间尺度的哈密顿正则方程(8]

现在,我们介绍了无穷小变换 在哪里 , ,和无穷小和无限小的参数是什么 。进行转换(30.)、哈密顿就变成了 。然后, 在哪里

定义2。如果方程的形式(29日哈密顿时)保持不变取而代之的是 ,也就是说, 那么这个不变性称为哈密顿系统的对称美在时间尺度上。

标准2。哈密顿系统(29日在时间尺度上,如果无穷小 , ,和满足 那么相应的不变性是对称美。
因此,我们有以下三种守恒量由哈密顿系统的对称美。

定理4。如果无穷小 , ,和梅对称的哈密顿系统(29日)和评估函数 满足以下结构方程: 在哪里 然后系统的对称美可以导致新的守恒量

备注3。如果 ,然后和 ,和守恒量(37)成为经典的一个16]

备注4。如果 ,然后和 ,和守恒量(37)成为量子

定理5。如果无穷小 , ,和梅对称的哈密顿系统(29日)和评估函数 满足以下条件: 然后系统的对称美可以导致新的守恒量

定理6。如果无穷小 , ,和梅对称的哈密顿系统(29日)和评估函数 满足以下条件: 然后系统的对称美可以导致新的守恒量

定理5和6给其他两种守恒量(41)和(43)时间尺度也由美对称性考虑条件(40)和(42)。

5。例子

例1。比尔科夫四阶的函数和Birkhoffian Birkhoffian系统在时间尺度上 这让我们研究美系统的对称性与守恒量。
系统的方程 如果我们选择无穷小 我们可以确认无穷小(47)和(48)满足标准方程(13);因此,相应的不变性是梅对称。
用无穷小(47)结构方程(14),我们的评估函数 。根据定理1,我们有 用无穷小(48)结构方程(14),我们的评估函数 。从定理1,我们有 守恒量(49)和(50无穷小)显示不同的对应于不同形式的守恒量。
从公式(47)和(24),我们得到 根据定理2,我们有 这种守恒量是微不足道的。
从公式(48)和(26),我们得到 根据定理3,我们有 守恒量(54)是由系统的对称美。

例2。系统的哈密顿时间尺度 这让我们研究美系统的对称性与守恒量。
系统的正则方程 计算,我们有 如果我们选择的无穷小 然后 用(58)(35),我们得到 。根据定理4,我们有 用(59)(35),我们得到 。从定理4,我们有 守恒量(61年)和(62年无穷小)显示不同的对应于不同形式的守恒量。
用(58)和(59)(40),分别得到 。从定理5,我们得到一个微不足道的守恒量 。
注意公式(60),我们得到 。从定理6,我们还得到一个微不足道的守恒量 。

6。结论

近年来,时间尺度微积分的理论越来越广泛在描述许多系统同时包含连续时间和离散时间域。对称理论是一个重要的方法来找到一个守恒量或动力系统的第一积分方程。本文提出和研究时间尺度上Birkhoffian系统的对称美。三个新形式的守恒量在时间尺度来自梅对称。此外,作为一种特殊的情况下,美对哈密顿系统对称和守恒量进行了研究。给出的示例说明了结果的有效性。本文的结果显示一个方法来找到动力方程的守恒量或第一积分时间尺度。方法是普遍的。连续和离散结果是特殊情况。通过选择不同的时间尺度,一般没有重复证明结果可以直接获得。

进一步工作大约一般完整系统的对称美,非完整系统,哈密顿系统在时间尺度上,和Birkhoffian系统在时间尺度上,以及它与谎言对称关系在时间尺度上,仍然值得去做。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突的这方面研究工作。

作者的贡献

所有作者的贡献同样这个手稿,已阅读并批准了最终版本。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(格兰特数字:11972241和11572212)和江苏省自然科学基金(批准号BK20191454)。

引用

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