文摘

图灵不稳定构成普遍范式自发生成的空间组织模式,特别是在化学反应。在本文中,我们调查的模式动态Brusselator从复杂网络的角度和被认为是随机扩散和反应之间的相互作用的网络。经过详细的理论分析,我们得到了近似不稳定地区的扩散系数和概率的随机网络的连接。与此同时,我们也获得了图灵的临界条件network-organized系统的不稳定性,发现网络连接概率和扩散系数如何影响Brusselator模型的反应扩散系统。最后,图灵的原因产生的不稳定与随机网络Brusselator解释道。数值模拟验证了理论结果。

1。介绍

模式形成,一种非均匀宏观结构和一些规律在时间或空间,无处不在。首次提出了图灵(1)系统包含形态因子,尽管最初,他们可能非常统一,一个模式或结构可能晚些时候出现由于统一的不稳定平衡状态,这是由随机干扰引起的。图灵不稳定理论分析在semidiscrete Brusselator模型已经调查(2]。在[3),作者提出并讨论了Brusselator模型在随机框架。平均场方程,证明了一个有组织的图灵模式可以产生在一个特定的参数区域,是派生的。揭示外部噪声对系统的影响,详细的随机分析Brusselator计划进行。随机分析表明,这种系统的结构稳定性会干扰即使分岔参数受外部干扰小。会有不同的时间和空间结构在一定范围的噪声强度和相关时间4]。众所周知,Brusselator模型是一个典型的模型为研究模式,所以它吸引了很多学者在不同领域的兴趣。首先,superdiffusion术语在模式形成和模式选择Brusselator模型已经得到充分的研究。他们发现,图灵不稳定superdiffusion即使扩散引发剂作用下可能发生比抑制剂(快5]。和模型与superdiffusion调查(6]。Brusselator模型,非线性扩散项和模式上的线性扩散模式进行了比较。在一维模式形成的过程中,二维空间域也研究[7]。此外,Brusselator模型还吸引了学者们的兴趣学习化学和随机振荡(8,9]。然后,从基本角度平衡,作者研究了常规霍普夫分岔的奇异霍普夫分岔Brusselator模型下反应周期力和获得适合的研究方法一般非线性振动周期部队(10]。此外,Brusselator模型的模式形成的存在下均匀诺伊曼边界条件和模式形成的预测图灵造成的不稳定在一定假设已经被充分研究过(11]。

随机网络的研究已成为近年来学者们越来越流行。广泛应用于各领域如生物、化学、工程中讨论(12- - - - - -14]。的化学反应的研究中,随机网络可以用来描述分子的自扩散。在[15),拉普拉斯矩阵的特征值之间的关系,指出程度。拉普拉斯的本地化属性特征向量在不同随机网络解释道。特别是,它为进一步的研究提供了理论基础和方法的相关随机网络的动态特性。在[16],McCullen和Wagenknecht强调网络结构的重要性,揭示了基本的小规模的活动模式之间的联系网络和本地模式形成的学科,并调查反应扩散系统的复杂的网络拓扑结构。关于网络上的自组织系统的分析,地震区和Mikhailov提供了一个新的视角分析了模式形成activator-inhibitor系统在网络上的17]。系统不稳定造成的随机扩散项在一个无向网络有一定概率进行了研究。模式理论指导网络可以从[18]。然后,图灵不稳定的反应扩散模型上定义的复杂网络研究(19)和三种类型的模型在复杂网络上的文章所示。数值结果表明,均匀稳定状态稳定地区依赖于网络系统结构的扩散系数空间。在[20.),他们推断出一个通用理论证明了图灵系统的三个关键特性是直接由拓扑。最近,Mimar et al。21证明了拉普拉斯的程度可以反映出在不同的网络系统的拓扑特征,这是地方特色的扩散系数有关。

如今,郑和沈22)调查了FitzHugh-Nagumo的模式形成与一个随机网络模型,获得了近似图灵不稳定地区的扩散系数和连接概率,并给出一个可行的方法研究反应扩散系统的连接概率。尽管众所周知,连接概率在随机网络中扮演着重要的角色,在Brusselator随机网络的影响不容忽视。不过,有一些文献研究Brusselator网络连接概率的影响。在本文中,我们探讨了随机网络的影响模式形成的反应扩散系统的节点连接概率。

接下来,我们将结合上述方法探讨模式Brusselator模型的动力学行为与连接概率随机网络。网络的拉普拉斯算子矩阵,网络节点对之间的连接概率也起着非常重要的作用。除此之外,系统的连接概率影响扩散项通过改变拉普拉斯算子的特征值,然后影响反应扩散系统的稳定性。节2基于积极的平衡点,Brusselator模型的稳定性进行了分析。图灵的临界条件不稳定反应扩散系统的扩散系数。节3,图灵不稳定性的理论分析介绍了扩散项的反应扩散系统。节4在报纸上,理论结果进行了总结,并通过数值模拟结果进行了验证。

2。Brusselator模型分析

2.1。Brusselator的线性稳定性分析

分子之间的反应是Brusselator模型所描述的,这是一个布鲁塞尔学派提出的数学模型来模拟自组织现象。Brusselator模型研究了由以下给出反应公式(4]: 在哪里(= 1,2,3,4)是一个积极的参数表示反应速率常数。根据质量作用定律的微分方程和浓度可以写成: 在哪里是常数变量代表的浓度(是物质 。),和变量代表的浓度和 。无量纲,微分方程(2)成为以下: 在哪里 , , , ,和是规模变量,表达式如下:

众所周知,化学反应系统的正平衡点具有科学意义。因此,我们有一个很大的兴趣非负平衡点附近,专注于系统的稳定积极的恒不动点。很明显,系统(3)独特的常数解 ,在哪里 和 。根据坐标转换翻译,平衡点翻译的起源吗 ,也就是说,介绍 在系统中。然后,线性化系统(3)可以表示如下:

分析了系统平衡点的稳定性(5),我们编写相应的线性化系统的雅可比矩阵如下:

系统的特征方程是由

根据伟达定理和地方平衡点稳定性理论、平衡是稳定的,当且仅当吗 和 成立。从 和参数域,很明显 ,从 ,我们可以获得参数满足条件 这是符合条件,系统(3)有一个独特的正平衡点。

引理1。如果条件(9),唯一正平衡点的系统(3)是渐近稳定的。

证明。从上面的线性化系统的稳定性分析,很明显,当条件(9),特征值的实部为负,也就是说,平衡点是稳定的。因此,平衡点非线性系统(3)是稳定的焦点。当条件(9),唯一的不变的正解最初的反应系统是渐近稳定(图1)。完成证明。

2.2。Brusselator模型与随机网络

扩散项的Brusselator模型可以描述为以下方程:

许多学者研究了系统与nonnetwork扩散项。摘要随机网络可以描述分子的自扩散研究的稳定性变化的齐次状态系统(3),连接两个网络节点的概率是 。以下步骤生成随机网络和邻接矩阵的元素:步骤1:假设网络组成n节点步骤2:元素的值的邻接矩阵生成如下:有一个边缘之间和当随机数 ,这是 ,否则 。例如,图2显示了一个随机网络结构与连接的概率 。

然后,平衡方程(3)对应于每个网络节点可以改写如下: 在哪里 拉普拉斯算子矩阵,注意的程度吗 , 如果 ,和 否则。

方程的通解(3)可以表示如下: 在哪里 。

首先,我们考虑系统的唯一正平衡态 加入网络扩散后, 。假设拉普拉斯算子矩阵的特征值 ,在降序排列,即 。的雅可比矩阵网络扩散系统中的每个节点表示如下:

然后系统的特征函数(11)可以写成:

从部分2.1,我们可以知道 ,所以图灵不稳定的充分必要条件是存在至少一个为了满足 或 。此外,为了获得系统的图灵不稳定地区,我们分析了反应扩散系统的稳定性及其临界值获得满足 (图3)。很明显,这个方程有两个根 ,当 。当系统不稳定,连续 建立在图4,即值范围 。此外,网络节点度之间的关系和当地的特征向量拉普拉斯算子矩阵和特征值可以得到图5。

引理2。网络的拉普拉斯算子矩阵 ,一般 和的特征值 。因此, 。

引理3。network-organized系统,系统总是稳定在所有网络拉普拉斯算子矩阵的特征值不稳定地区 (空集),不稳定时发生 ,和 。

前题的详细证明2和3给出了文献[22]。

2.3。应用平均场近似

然后,应用平均场近似理论分析进一步反应扩散系统,这可以解释图灵不稳定机制引发的网络扩散项。在平均场,反应扩散系统可以表示如下: 在哪里 ,和代表网络的程度。

平均场近似方法研究复杂的多体问题,将多体问题转化为单体问题。Brusselator模型,单个分子与其它分子相互作用被外部场效应分子。因此,当其他分子的作用是固定的,只有平衡态 系统的考虑,相应的单个节点系统可以表示如下:

从线性分析系统(16),给出了特征方程如下:

从上面的分析Brusselator的稳定性,系统(16没有扩散效应时是稳定的 成立。假设的特征值方程(17),系统的稳定性(16)取决于的迹象 ,在哪里 。如果 ,系统(16)是稳定的,否则不稳定。

3所示。结果

在本节中,我们提出一个解释的理论结果基于化学机制。首先,网络邻接矩阵是一个对称矩阵随机生成基于随机网络的概率 。拉普拉斯算子之间的关系矩阵和网络的邻接矩阵 ,在哪里节点的度和是一个狄拉克函数,如果 , ,否则 。

我们选择的参数 并推导出扩散系数之间的关系和从图霍普夫分岔时发生3显示了重要的条件和当霍普夫出现不稳定。当扩散系数和达到临界值,霍普夫不稳定发生控制参数设置后,我们可以得到系统时可能会处于不稳定状态 。当的比率来超过临界值时,物质继续摧毁现有平衡态系统的交互。然而,当我们考虑连接概率,并不是所有的值不稳定地区的可以诱导图灵的不稳定,连接网络节点的概率也会影响系统的稳定性。接下来,我们可以给数值模拟来验证图灵不稳定发生,不仅与扩散系数有关,而且概率 。此外,由于拉普拉斯算子矩阵的特征值是离散的,这是一个可行的方法来研究系统的特征值的分布的影响当我们分析连续系统。从引理2和图5,我们可以获得网络的拉普拉斯算子矩阵特征值节点度成正比,这样就可以将近似程度的节点。

系统的分岔图有关 ,显示在图6时,表明系统保持稳定 和 。我们执行一些数值模拟验证上述分析系统的不稳定条件,和图灵的化学机制不稳定的系统。

首先,我们得到分岔图(数字7- - - - - -(11日)对)的反应扩散系统当 不同参数下 ,这表明分歧点与理论分析的关键值是一致的。

在图7我们可以看到,当 , 超过了临界值的不稳定;图灵不稳定发生的反应扩散系统。图7(一)显示系统的分岔图的扩散系数,表明系统的稳定性的增加将被摧毁 。图7 (b)显示时,系统就会出现不稳定 和 。

图8表明网络扩散系统的稳定性对扩散系数 。图8(一个)显示系统的分岔图11)扩散系数可以得到当连接概率。当 ,图8 (b)表明该系统是稳定的。但是,当 和 ,相应的模式形成(图8 (c))是不稳定的。当 和 ,系统的特征值的实部特征方程(17)的变化和如图8 (d),这表明,系统是不稳定的和图灵不稳定发生。

当 ,的分岔图在如图9(一个),说明了系统的平衡点是稳定的低于临界分岔值。不过,图灵不稳定时发生大于临界分岔值,这种物质会继续反应。从模式形成,如图9 (b)和9 (c),可以看出Brusselator系统是稳定的 和 和系统不稳定 ,分岔图是一致的吗 。从图9 (d),可以得出结论,当 ,存在一些陷入不稳定的地区,因此该系统是不稳定的。

当 ,的分岔图在如图10 (),说明了系统的平衡点是稳定的低于临界分岔值。不过,图灵不稳定时发生大于临界分岔值,这种物质会继续反应。从模式形成,如图10 (b)和10 (c),可以看出Brusselator系统是稳定的 和 和系统不稳定 ,分岔图是一致的吗 。图10 (d)显示,当 ,有一些陷入不稳定的地区,因此该系统是不稳定的。

为 ,浓度的分岔图关于可以得出如图11,分岔点和图灵不稳定性阈值是一致的。分岔图显示,当小于临界值时,系统是稳定的,否则不稳定。从数据可以看出11 (b)和11 (c)稳定时,相应的模式信息 ,但是不稳定 。在图11 (d),存在一些属于 ,所以图灵不稳定时发生 。

当 ,我们可以给的分岔图 ,如图12(一个)时,模式形成 如图12 (b),它显示了系统是稳定的。扩散系数增加到一个临界值时,系统的统一的平衡点开始变得不稳定,和当前系统的平衡状态被打破了。所以从图12 (c),当 ,图灵不稳定发生,系统继续进行交互。在图12 (d),有一些陷入不稳定地区,所以当系统出现图灵分岔现象 。

但是,当 ,的分岔和相应的模式形成的系统表现出图13,证明系统是稳定的。和模式形成,如图13 (b)和13 (c)表明,当 和 ,系统是稳定的。图13 (d)表明系统的特征值不落在图灵不稳定地区 ,所以,当 ,系统是稳定的。随着连接概率的增加,系统的分岔阈值将会增加,甚至消失了。

从图4,我们可以得出这样的结论:图灵不稳定时发生 的平均场理论。从图(14日),我们可以得到,当 不属于不稳定地区,系统将保持在一个稳定的状态。当 ∈(或30)属于不稳定的地区,平衡变化的稳定性。数据14 (b)和14 (c)意味着分子浓度没有达到一个稳定状态,反应仍在继续。图14 (d)显示时,系统是稳定的 。

在图15,给出了确定性系统的分岔图16)对节点的程度。图显示的系统有一个超临界分岔参数在平衡点附近,分岔点,分别 和 ,进一步证实了系统不稳定地区 。

如何连接概率影响Brusselator系统的稳定性,数值模拟表明,图灵不稳定时的连接概率非常大或非常小的。近似的不稳定区域Brusselator模型对反应扩散系统和如图16。

因此,从引理3当有一些和上面的分析在图灵不稳定地区 ,图灵不稳定发生。这意味着引入一个随机网络干扰反应的平衡态系统。

最后,通过以上的分析和数值模拟,我们得到了近似图灵不稳定的地区和 ,由图提供吗16。此外,我们也可以画系统连接概率的近似不稳定地区 ,在哪里 意味着网络节点对几乎是稀疏的。在这里,我们只给连接概率的近似不稳定地区。然而,更精确的推导过程不稳定地区和Brusselator反应扩散系统仍然需要进一步的研究。

4所示。结论

总之,首先,图灵Brusselator模型的失稳临界值与获得一个随机网络图3。此外,对于连接概率,通过数值模拟和网络的特征值的特征矩阵,我们可以得出结论,图灵的关键价值不稳定的系统是非常大或非常小的,也就是说,近似的范围是 。当控制参数和的分岔,反应物浓度在不同的连接概率验证系统的近似区域 。从分岔图可以看出,图灵不稳定性将发生分为数据的不稳定地区7- - - - - -(13日)。和我们给的数值模拟之间的关系特征方程的根的实部和网络矩阵的特征值。系统在平衡点附近的稳定性评价和验证了特征值的实部超过零线数据8- - - - - -13 (d)(18]。然而,图灵在连接不稳定概率的上界是最好的这个系统,数值模拟的结果和其精确值需要明确。因此,我们需要研究的精确值上限的图灵不稳定系统有关 。

最后,我们应用平均场理论multimolecule交互的问题转换成一个单分子的问题。和不稳定区域的反应扩散系统的网络节点度。当 ,该系统在平衡点保持稳定。当 ,系统图灵不稳定。当 ,系统在正平衡点是稳定的。的分岔图15进一步验证了这个结论。在未来的研究中,我们可以进一步研究随机网络的影响与特定的反应扩散系统和工作特点为每个系统和确定适当的随机网络的影响之间的差异和连接不同的随机网络在同一反应体系。

数据可用性

使用的数据来支持这个研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(11772291)。