探索现实世界的晶格结构特点

文摘

有两种重要的数据分析模型和知识系统:数据立方晶格和概念格。他们都基本上有晶格结构,这实际上是不规则的在我们的现实世界。然而,它们的结构特点和关系还不清楚。我们所知,没有工作这具有挑战性的问题有足够的重视,从图形的角度数据,尽管在栅格数据结构的重要性。在本文中,我们首先从三个方面解决点阵的结构统计数据:度分布、聚类系数和平均路径长度。我们证明了不同的数据集,数据立方体晶格和概念格底层他们的拓扑结构有相似之处,这是,一般来说,不同于随机网络和复杂网络。具体来说,栅格数据遵循泊松分布和更小的聚类系数和平均路径长度。我们进一步讨论和解释这些特征本质上通过构建分析模型和生成机制。

1。介绍

数据立方体(晶格)[1灰色等人提出的)是一个核心数据模型在数据仓库和联机分析处理(OLAP) [2]。它扮演着更重要的角色在数据在线分析和处理中,特别是在大数据的时代。它允许数据建模和分析直观地在多个维度分析和商业智能中起着至关重要的作用。基于数据立方体,在线分析操作,比如卷起,钻孔,切割,旋转可以很容易进行。从概念上看,用户可以沿着维度层次结构分析的数据各种粗粒度级别,这样大量的详细的数据可以描述更简洁和总结的方式,帮助用户获得普遍的观点。相反,他们还可以专门数据沿着维度层次结构到细粒度的数据。根据卷起的计算依赖关系和钻探,生成数据立方晶格。

概念格(3)提出的1982年德国数学家消遣形式概念分析中的一个重要模型(FCA)和被认为是一个重要的用于数据分析的工具。正式,概念格的三倍 作为正式的背景,是对象集,是属性设置,之间的二元关系对象集和属性集。其获取正式的概念 ,在哪里X被称为概念范围和B被称为概念意图;概念集合中的每个概念形成了概念格根据偏序关系。概念格的节点表示目的和概念的程度,以及节点之间的关系反映了一般化与特殊化的概念。根据知识的依赖身体的意图和程度上,一个概念建立层次结构模型。概念格是广泛应用于机器学习、模式识别、专家系统、决策分析、数据挖掘、信息检索、计算机网络和软件工程,和许多其他领域(4,5]。例如,大多数数据挖掘任务可以生成大量的概念。晶格结构的组织形式在知识发现的概念有许多优点。它有助于深刻理解不同的概念从一个数据集选择之间的依赖关系。

从本质上讲,数据立方体晶格和概念格的实例都属于晶格结构数据。为核心的模型,数据立方体和概念格的格是广泛用于数据分析。从更高的角度来看,他们的代数结构本质上格,这意味着他们分享相似或连接在外部特征。

Nedjar等人,施6,7在产生机制]证明了他们之间的关系。Nedjar et al。6)指出,在数据仓库和数据挖掘频繁闭项集搜索、关联规则的简洁表示,或数据立方晶格特性描述,可以使用正式的概念分析压缩表示,和有效的计算。此外,他们提出同意概念格和商同意晶格指出他们之间的亲密关系。施(7]作了彻底的研究概念格的概念格和发现数据立方晶格密切相关。他们都是基于偏序关系。当基表作为正式的背景,包括等价类的数据立方晶格和等效特性集基于形式概念分析理论有相同的分区结果,然后聚合的概念,总体概念格(ACL)和还原聚合(RAC)提出了概念。

这两个重要的结构分析和代表性模型数据分析一个统一的框架下将促进他们的本质和设计更广义的发现算法。“[8]讨论了网络结构如此重要的原因描述结构总是会影响功能。刘等人,翟et al。9,10)提到的应用程度,距离,在一些实际网络拓扑统计。格拓扑特征节点的度分布影响通信开销(实际上链接数字)在各个节点将云环境中的晶格。晶格结构的集群或分区图数据透视图可能导致空间压缩。然而,直到最近,很少关注一直致力于结构特点以及它们之间的关系。

应对上述挑战,本文探索和研究数据立方晶格的结构特点和概念格的度分布、聚类系数、平均路径长度通过演示实验和理论分析。通过图结构的分析,我们可以发现是否数据立方晶格和概念格结构特征相似,而不同于其他网络随机网络和复杂网络和为什么。请注意,我们的论文讨论的晶格产生的现实生活中——不是完全正则格,所有节点都有相同的度,和块度分布包含一个飙升(δ分布)11]。当我们发现部分3节点的实际晶格有很多广泛的度,这意味着随机性。

我们的主要贡献如下:(我)我们所知,我们首先研究了图结构特点(如度分布、聚类系数和平均路径长度)的数据立方晶格和概念格,基于各种分析,展示他们真实的数据集。(2)我们目前的数据立方晶格之间的结构关系和概念格。与随机网络和复杂网络相比,现实世界的晶格遵循泊松分布,有更小的聚类系数和平均路径长度。(3)我们讨论分析模型和数据立方晶格的产生机制和概念格。

本文的结构如下。部分2介绍了数据立方晶格模型和概念格和相关定义。部分3介绍了数据立方晶格的结构特点和概念格通过实验研究和验证数据立方晶格之间的相似性和概念格的结构特征。部分4讨论了分析模型和数据立方晶格的产生机制和概念格。最后一节总结本文并描述了一些未来的工作。

2。初步

2.1。数据立方体晶格

数据立方体晶格概括group by操作符和聚合的每个组合group by属性。其中,分组称为维度的属性D,聚合的属性被称为测量 ;每个分组属性组合叫做长方体(也称为视图)。相应地,长方体包含 维被称为是我维长方体。的数据单元 是一个长方体的元组,在哪里是我维度属性值。

对于一个d维数据立方晶格,group by视图生成(或长方体)因为每个group by计算属性的组合。

定义1。(偏序关系)。如果 , ,然后u,偏序关系,用或 。如果和 ,那么它是表示或 。我们可以说u概括 ,或专业u。换句话说,u演习下来或卷起来u。如果 , ,然后 。

定义2。(数据立方晶格)。从基表数据立方体是聚合的数据仓库维度属性的各种组合。它包含的数据单元。让 是细胞的数据。偏序关系 : 导致数据立方晶格结构。

定义3。(基本元组集)。给定一个数据单元 ,基本元组的集合c, ,即。,the set of all base table tuples that roll up toc。

定义4。(包括等价)。假设 ,和 是指覆盖等价关系。覆盖等价类是集 。

定义5。(上、下界限)。让是部分有序集。任何元素一个称为一个上限(下限)的子集米的一个如果对任何元素米在米,有 。

例1。表1是一个基本表的产品销售,产品的三维属性,时间,和存储和一个测量属性、销售。立方晶格产生八group by视图的数据聚合,形成立方晶格结构基于关系的节点之间的连接(如图所示)之间卷起(泛化)和下钻(专业化)。
图1的数据立方晶格产生的聚合操作和销售表吗1。请注意,表示维度属性值所有。细胞的数据 , ,和 卷起的语义关系和彼此下钻。它们之间的偏序关系形成一个数据立方晶格。

2.2。概念格

定义6。(概念格)。让我是一个二元关系U和一个,在那里U是对象集和一个属性集。考虑到吗 ,当 ,我们说的对象x拥有的属性y,三元组 被称为正式的背景。在一个三元组 ,我们的一个子集U和的一个子集一个并获得一组概念下联系我: ;其中,一个的程度上l和B的意图是l。我们定义了一个偏序关系l: (或 )。然后, 是一个完整的伽罗瓦格,称为概念格正式的背景呢 。

定义7。(等效特性集)。让 是一个正式的背景, , 。如果和感到满意,那么米是一个等效特性集的N,用 。

定义8。(哈斯图)。哈斯图是一种数学图用于表示一个有限的部分有序集的形式绘制的传递。具体地说,部分有序集 ,一个代表的每个元素年代作为一个顶点在平面上画一条线段或曲线是向上的来每当涵盖了(也就是说,无论何时也没有这样 )。这些曲线可能互相交叉但不能碰其他顶点比他们的端点。这样一个图,标记顶点,唯一地决定了它的偏序。
根据概念格的定义,概念格生成的表中给出一个正式的背景2如图2。
图2展示了概念格的哈斯图表示对应表的正式的背景2。图中的每个节点代表一个概念,每个概念都是由其范围和意图识别,和订单之间的关系的概念是由节点之间的边表示。其中,最大程度上的概念(对应于最小的意图)概念格是最大的概念格的概念,这是位于顶部的概念格;这个概念最大的意图(对应于最小的程度)概念格是最小的概念在概念格,这是位于底部的概念格。

3所示。晶格结构特点

自三个壮观的概念度分布、聚类系数和平均路径length-play在网络比其他更重要的角色数量和措施(11),我们验证它们在各种真实数据集格,特别是主要representations-data立方晶格和概念格。

3.1。数据立方晶格的结构特点

我们使用了两个经典的数据集Foodmart和天气(http://cdiac.esd.oml.gov/cdiac/ndps/ndp026b.html)的数据立方晶格。然后,我们计算它的拓扑统计分析是否由不同的数据集生成的数据立方体晶格有类似的结构特点。

我们随机抽取10000元组Foodmart和生成一个数据立方晶格Foodmart-1w通过调整数据多维数据集构造算法(12]。然后,我们从天气随机提取10000元组数据和生成数据立方晶格Weather-1w同样的晶格结构的算法。他们如表所示3。

两个数据集的表3度分布的结构特征,聚类系数和平均路径长度计算。

图3(一个)显示Foodmart-1w的度分布和Weather-1w。水平轴代表节点的度值,而纵轴代表节点的总数当价值的程度。相比之下,它可以发现,图中两条曲线急剧跳然后指数降低。每个节点的平均度Foodmart-1w是8.8;每个节点的平均度Weather-1w是7.9。可以看出,不同的数据集的平均数据立方晶格不是非常不同。

图3 (b)显示了两个数据集的聚类系数的数据立方晶格。水平轴代表节点的度值,而纵轴代表节点的平均聚类系数程度时这个值。的平均聚类系数Foodmart-1w Weather-1w是0.0231和0.0042,分别。他们都有相对较小的平均聚类系数。

图3 (c)显示了两个数据集的平均路径长度分布数据立方晶格。水平轴代表路径的长度(跳),纵轴代表的数量对节点路径长度值时。的平均路径长度Foodmart-1w Weather-1w是5.25和7.21,分别。图3 (c)显示平均路径长度的分布是相似的两个结构。

3.2。概念格的结构特点

对于概念格,我们使用蘑菇UCI机器学习库中的数据http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets),这是常见的基准数据集在校准各种概念格算法。我们还分析了不同数据集生成的概念格是否有类似的结构特点。

我们随机选择600元组的蘑菇UCI数据集,将他们分成两部分,每300元组。然后,我们使用近距离算法(13)生成概念格Mushroom-1 Mushroom-2和使用FcaStone (http://fcastone.sourceforge.net)进一步将概念格转换为图结构,形成第二组数据集,如表所示4。

度分布、聚类系数、平均路径长度等结构特性计算用表中的数据4。结果如图4(一)- - - - - -4 (c)。

图4(一)显示Mushroom-1的度分布和Mushroom-2。相比之下,它是一个有趣的发现,图中两条曲线大幅跃升,然后减少成倍增长。每个节点的平均度Mushroom-1是8.1,而Mushroom-2是7.9。可以看出,不同的数据集的平均程度的概念格不是非常不同。

图4 (b)显示了两个数据集的聚类系数概念格,在水平轴代表节点的度值的平均聚类系数,纵轴代表节点度值时。的平均聚类系数Mushroom-1 Mushroom-2是0.1064和0.0842,分别。他们都有相对较小的平均聚类系数。

图4 (c)显示了两个数据集的平均路径长度分布在概念格,在水平轴代表了路径长度(跳),纵轴代表节点对路径长度时的数量值。的平均路径长度Mushroom-1 Mushroom-2是6.14和5.15,分别。他们两人有较小的平均路径长度。

3.3。数据立方体晶格和概念格之间的关系

我们使用生成的数据立方晶格Foodmart第一组中的数据和生成的概念格蘑菇第二组中的数据,如表所示5,分析他们是否共享类似的结构特点。

对两种晶格结构数据表5度分布、聚类系数和平均路径长度计算。数据立方晶格和概念格的CubeLattice ConceptLattice,分别。

图5(一个)显示了两个不同的晶格结构的度分布数据,CubeLattice ConceptLattice。他们两人的度分布急剧上升,达到一个峰值,然后衰减指数。在CubeLattice的度分布,当一个节点的程度是5,节点的数量达到一个峰值,也就是5450;在ConceptLattice的度分布,当一个节点是7度,节点的数量达到一个峰值,也就是2440。相比之下,我们发现的度分布CubeLattice ConceptLattice的相似。

图5 (b)显示了CubeLattice聚类系数的分布和ConceptLattice。从图5 (b),我们可以看到,他们都大幅上升,然后慢慢衰落后的峰值。虽然有波动振幅在下降过程中,总体趋势是向下的。的平均聚类系数CubeLattice ConceptLattice是0.0231和0.1064,分别。因此,晶格结构数据的平均聚类系数相对较小。

图5 (c)显示的平均路径长度分布的两种不同的晶格结构,CubeLattice ConceptLattice。相比之下,人们已经发现,他们的平均路径长度分布增加缓慢,达到一个峰值,然后慢慢减少。计算后,我们发现的平均路径长度CubeLattice ConceptLattice的5.25和6.14。很明显,平均路径长度的分布对CubeLattice ConceptLattice的相似。

3.4。比较与其他主要的网络

为了检查是否晶格的结构与其他主要统计数据是不同的网络,如随机网络和复杂网络(8,11),我们首先提取10000元组Foodmart和生成数据立方晶格。然后,我们生成一个随机图基于ER模型(14)使用吸附(15]。复杂网络,收集到的数据集是一个真实的社交网络Facebook在临时数据集。

比较结果如下:(1)晶格的度分布明显不同于Facebook,但与ER随机图共享某些相似之处。Facebook的度分布一般遵循重尾分布,这表明节点的出现更大程度比大多数其他节点。相反,晶格和ER Poisson-like度分布(图6)。(2)晶格的平均聚类系数是不同的,复杂的网络。根据计算,晶格的平均聚类系数是0.0231,ER的平均聚类系数是0.0011。他们都有一个小的聚类系数。ER随机网络的聚类系数均匀随机分布。呃,不同节点与一个较小的程度在晶格的晶格有较大的聚类系数。Facebook的平均聚类系数是0.5225,符合小世界网络的聚类系数。也不同于晶格(图的平均聚类系数7)。(3)晶格和ER的平均路径长度是7.21和4.26,分别。他们两人有较小的平均路径长度。两个点之间的最长路径的晶格结构与尺寸的数量,在两个节点之间的最长路径ER随机图的节点数量有关。Facebook的平均路径长度为3.7,以及网络中两个点之间的最长路径是6。很明显,平均路径长度分布的晶格结构不同于Facebook的社交网络(图8)。

总之,度分布,晶格都遵循泊松分布和随机网络。此外,晶格和随机网络聚类系数越小。但是,格有相当大的平均路径长度,而随机网络的平均路径长度比较大的。对于典型的复杂网络,他们有更大的平均聚类系数和平均路径长度越小,和他们的度分布满足重尾分布。

4所示。一些讨论

4.1。分析模型

数据立方晶格结构特点不同于随机网络和复杂网络。首先,在生成lattice-structured数据的过程中,节点根据随机概率不连接,但也有部分订购一些不同的节点之间的关系,产生边缘根据偏序关系;其次,没有偏序关系数据细胞在同一层,也就是说,晶格结构的数据有一个清晰的层次结构;最后,晶格结构有其独特的规则结构,每两个节点上、下界。

我们精心设计的数据立方晶格的分析模型和概念格从三个方面。

以下4.4.1。度分布

从上面的实验中,我们可以看到,度分布曲线急剧晶格结构数据的第一跳,然后下降指数,这往往是类似于泊松分布曲线。为了证明这一点,我们用多项式分布和泊松分布曲线符合程度的晶格结构数据。

首先,数据立方体晶格的度分布曲线(10000个基元组,15个维度,13230个节点,53424边缘。)是由多项式拟合的曲线。在拟合的过程中,6次方多项式时,r平方达到最大值。如图9,纵轴代表节点具有不同程度的发生的概率值,钻石点代表的度分布的离散点数据立方晶格和三角形6日力量的曲线代表拟合多项式曲线。这时,r平方的价值大约是0.89,这最初的度分布曲线吻合得更好。

为了评估曲线拟合的精度,误差的平方的离散点之间的度分布曲线和离散点计算多项式曲线。结果是0.0084。

然后,泊松分布曲线拟合程度分布曲线,和泊松分布的概率表达式如下: 在哪里ϑ表示预期的价值。节点的度值在数据立方体晶格乘以相应的概率,然后求和可以计算如下: 。然后,泊松分布曲线可以得出,如图10。纵轴代表节点具有不同程度的发生的概率值,钻石代表着曲线模拟泊松分布的曲线,曲线与方块代表整个晶格结构的度分布曲线数据,和三角形的曲线是节点的度分布曲线在十一层的晶格结构。可以看出,整个结构的度分布和程度的一部分的一层严格符合泊松分布曲线。同时,另一个数据立方晶格(10000个基元组,12088个节点,54658边缘。)也配备了泊松分布曲线。如图11,分布程度不同的晶格结构数据紧密安装了泊松分布曲线。

的平方误差的离散点的度分布曲线和计算泊松分布。结果是0.0038,误差远小于多项式的拟合曲线。结合泊松分布的可加性,进一步证实了度分布的晶格结构类似于泊松分布。

4.1.2。聚类系数

如果一个节点我选择任意点阵,和的程度我是 ,然后可能的连接边的数量相邻节点的节点我是 。如果实际数量之间的边缘相邻节点r节点的聚类系数我如下:

所有节点的平均聚类系数在整个晶格结构如下: 在哪里N表示晶格结构中的节点总数。

它假定节点我与节点连接j和节点k在同一层,但之间没有边j和k,所以的价值r相当小。

更少的节点跨层连接在一起,所以有更少的相同节点与节点之间的边。

在概念格,有几个节点连接跨层和几个相同节点与节点之间的边。因此,聚类系数概念图中晶格结构也非常小。

因此,结合方程2和3,我们可以看到,数据立方晶格和概念格小的聚类系数。

4.1.3。平均路径长度

如果维晶格结构中的节点数量h层数也h因为它卷起从底部长方体,长方体。采取任何两个节点我和j,从边的最小数量我来j被称为最短的距离我来j并表示 。对所有节点的平均距离的数据立方晶格如下: 在哪里米是数据立方体的计算节点晶格,必须有 。因此,数据立方体格有一个相对较小的平均路径长度。

概念格,下面的定义给出了便于分析的图结构模型:

的偏序图n层概念格由一个三元组 ,在哪里N是一组节点,E边的集合,米的层数概念格图。因此,在这个层次结构中,有以下属性:(1)N由米非空的子集,和 ,在哪里 , 是我层图中(2)如果边缘 ,然后和 ,然后张成的空间的优势在哪里 ,也就是说,节点之间的距离x和节点j

让节点之间的距离x的节点y;我们有 。结合方程4,它可以推断,概念格的图结构也有一个相对较小的平均路径长度。

4.2。产生机制

根据数据立方晶格中定义的定义2的定义和概念格的定义6、数据立方晶格来自基表的数据仓库,并根据正式建立了概念格的背景。当基表存储在关系模型,它描述了属性和元组之间的关系,和正式的背景描述属性和对象之间的关系。产品属性、时间和存储图1可以被映射到属性一个,b,c在图2和元组“1”图1可以映射到对象“1”在图吗2,等等。,在基表可以对应于属性和对象在正式的背景。因此,基表的结构数据立方晶格和形式背景的概念格是一样的。

根据(16),当数据仓库的基本表是作为正式的背景,覆盖等价类之间存在一一对应的数据立方晶格和概念格的等效特性集。他们都有相同的覆盖元组集,每个覆盖等价类对应的上界中包含的概念特性集。结合等效特性集的定义中定义7,下面的定理适用于(16]。

定理1。当基表作为正式的背景,也就是说, ,在哪里U对应的元组集基表,一个对应于基本表的维度属性设置(没有测量属性)。让( ,N”)是相应的概念N,多维数据集是一个数据立方晶格来自基表,和c是一个数据单元。如果是满意的,那么和上界u的对应的概念上的意图吗的N。
基于定理1,我们有以下推论:

推论1。让和 ,然后相应的数据立方晶格 相当于概念格 ,用 。

例如,我们 ,然后数据单元c可能需要的价值吗 , ,和 在图1。对应的概念l是 ,和 不仅是上界的而且这个概念的目的 。推论1证明如果数据仓库的基本表是作为正式的背景,基本表的概念格是一样的数据立方晶格的结构只保留了上界在等价类(如图12)。

5。相关工作

为了提高网络的性能分析和决策数据仓库、灰色等人提出了数据立方体操作符多维数据集(1概括group by),卡和小计运营商,preaggregates和实现的属性(即。group by维度)。

腊克语等。12]提出商有效压缩数据立方体的多维数据集。它使用涵盖分区到分区数据细胞相同的上界为类保存数据立方体的语义。每个类的上、下界是实现数据立方体压缩保存。关闭数据立方体提出了(17),还实现了数据的压缩数据集通过等价类。所不同的是,封闭的数据立方体只让其上限为每一个类,所以它是更高效的压缩数据立方体。

1982年,德国数学家诱骗首次提出基于概念的形式概念分析理论和概念上的水平。核心数据模型是概念格,也称为伽罗瓦格,用于发现、排序,并显示概念(3]。目前,概念格的施工方法分为批处理算法(18)和进步的算法(13]。Zhang et al。19)研究如何快速、有效地调整原始概念格得到新的形式背景的概念格属性约简后的正式的概念,而不是传统方式的重建算法。Sarmah et al。20.]提出一种增量式算法减少多个属性。与增量算法减少单一属性相比,该算法只需要执行一次。的进一步改善和发展概念格理论和方法、模糊理论、空间聚类、细粒度的计算、等领域的交叉和结合形式概念分析和概念格,导致新应用程序(16,21]。

到目前为止,以上工作研究数据立方晶格的结构特点和概念格的结构的重要性。

6。结论和未来的工作

本文分析和演示了数据立方晶格的结构特点和概念格的基础上合成和真实的数据集。我们发现他们之间的相似程度分布、聚类系数和平均路径长度。我们进一步讨论他们的相似性分析模型和生成机制的内在视角。

我们的结果表明初始承诺探索数据立方晶格的结构特点和概念格在数据分析;然而,有许多未来研究的方向。接下来,我们将调查如果数据立方晶格和概念格可以统一在相同框架因为它们是外部和内在的相似。因此,一些高效的算法等建设,减少,或查询数据立方晶格或概念格可以应用或推广。此外,我们打算利用晶格结构特点如度分布促进分布式云环境中的晶格结构数据分区结构的关键因素是负载平衡和通信成本最小化。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现是可用的。

的利益冲突

没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢杨王是他的早期作品中的相关部分本文当他是一个研究生在我们的实验室。这项工作是支持的部分自然科学基金(61462050和61462050)和云南省自然科学基金(KKSY201603016)。

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