数值解的振动位移部分基于分数勒让德函数的自激振动模型

文摘

在实践中,由于图纸自激振动的现象可以视为一个狩猎的机械系统的现象,本研究着重于调查画自激振动过程提出狩猎现象的分数微分方程模型的机械系统。部分勒让德函数连同他们的分数微分运算矩阵用于数值解模型。通过这种方式,模型的数值解的振动位移。最后,提出的模型和算法是通过分析数值结果证明是有效的和相位。

1。介绍

自激振动存在于自然科学和工程领域,它不需要外力或外部行动来改变系统的结构参数,但依赖于系统中各个组件之间的相互作用来维持稳态周期运动(1- - - - - -8]。一些自激振荡非常复杂。例如,人类循环系统是一个极其复杂的自激振动系统。心脏的振动在一定频率和强度维持血管的血流量,这是一个典型的自激振动现象。

机械系统的狩猎现象存在与强大的摩擦力和低速传动系统经常发生在不稳定和不均匀停止运动,有时被称为粘滑运动,或滑动。狩猎现象的主要原因是机械系统的自激振动。一旦狩猎现象发生,机械传动变得不稳定,不可能实现精确测量和精密加工。为了避免狩猎现象,应该进行了理论分析和实验研究。为了获得定量结果,一个简化的力学模型与单自由度和摩擦力的定量描述。

钢链绘制技术已经调查了数百年9]。在12世纪,铁匠和抽屉。13世纪中叶,德国的第一液压生产拉丝机推动世界,迎来了一个机械化的新时代。与线拉丝机处理,表面还原速度时,绘图速度,和润滑参数不当,超过一个合理的范围内,将会有一个狩猎或跳跃现象。例如,线不光滑的表面质量,和缺陷导致的颤振事故拉手。

郝et al。10)进行了深入理论分析的机制和条件生成颗粒在冷拔过程中轰轰烈烈的锥形短芯棒钢管。杨(11)利用有限元方法分析了四辊轧机的振动和自激振动。陆et al。12)研究了1420毫米式冷轧机的自激振动现象,建立了轧辊的数学模型,解决多尺度微扰的方法,并提出一个方法来解决自激振动。Erdbrink和Krzhizhanovskaya13)使用微分进化方法分析二阶时间信号的自激振动方程。Aarsnes和Aamo14)预测的发生自激振动在钻井使用无限维度模型。Zhang et al。15)应用非线性摩擦工作制定自激振动分析。

最近,部分偏微分方程已被广泛应用于各个领域的科学与工程(16- - - - - -18],波动方程是其中最重要的模型之一。在过去的十年里,几类波过程的建模和控制研究了一个热点19,20.]。在[21),江泽民等人分析了分数波动方程的边界控制策略与外部干扰。在[22),时间部分扩散波方程的数值近似半无限通道通过使用有限差分法和Laguerre-Legendre光谱法。在[23),时间与阻尼已经解决了部分扩散波方程采用分离变量的方法。

在这项研究中,为了更准确地描述整个过程的自激振动,提出了一种分数微分方程模型,利用分数阶勒让德函数获取数值振动位移的解决方案。

2。部分机械系统狩猎现象的动态模型

尽管一些研究认为机械系统狩猎现象(24,我们最好的知识,分数阶动态模型描述狩猎现象首先介绍机械系统,如图1。画的图塑料加工(25图中所示2。图2显示了图的变形长部分从粗到细的绘制过程。

(一)

(b)

机械系统狩猎现象的分数微分方程给出如下: 在哪里卡普托意义上表示分数微分算子定义的(26,27),滑块的质量,是分数阻尼系数,是弹簧刚度系数,是驱动的位移,滑块位移,是摩擦力。

如果驱动滑块在恒定速度,设置的速度驾驶作为结束 ,然后位移的驱动端可以表示为

用方程(2)方程(1),我们得到

将滑块位移相对位移的关系作为然后我们得到

引入无量纲时间和定义无量纲位移和阻尼比 : 滑块的运动方程可以简化为在哪里第一,第二,然后呢衍生品的关于。

Karnopp摩擦模型是用来描述摩擦。静态和动态摩擦力之间的区别

无量纲的动态摩擦系数和无量纲分析动摩擦力下降定义如下:

滑块运动方程简化的再次在哪里是符号函数,即

市场细分分析:(一)滑动滚动前部分: (b)滑动滚动后部分:

从方程(12)和(13),分数微分方程模型的一般形式建立了机械系统的狩猎的现象: 在哪里是常数。与初始条件,

3所示。计算方法

3.1。定义

广义分数阶勒让德函数(GFLFs),投入 ,通过引入定义变量的变化。然后,GFLFs递推公式如下(28]: 在哪里

的分析形式GFLFs的程度是由

3.2。函数逼近

假设 ,它可以扩展的GFLFs如下(29日]: 在哪里获得的是在权函数。

如果我们考虑截断系列方程(13),我们得到在哪里

3.3。的GFLF分数阶操作矩阵的导数

函数的导数向量可以近似如下: 在哪里叫做GFLF操作矩阵的导数。

定理1。假设是GFLF操作矩阵卡普托部分衍生品 , , ,的元素鉴于如下(30.]: 在哪里

3.4。求解过程

用方程(18)和(21)方程(14),我们有的系数矩阵可以通过方程(19)。用方程(23)- (25)和(18)方程(14),我们得到

简化方程(26),我们得到

对方程(15),我们有

方程(27)和方程(28)构成一个线性代数方程组。这些未知系数系统可以得到解决。给出了算法的流程图如图3。

4所示。数值模拟

在本节中,给出了几个数值实验来验证建立的模型和所提供的算法。下面的例子的参数是实际物理参数。在接下来的数值例子,代表的数量离散多项式的条款;更大的价值,越离散多项式,数值结果分析方法结果越接近,但相应的计算量也会增加。为了获得有效的数值结果和节省计算时间,我们需要。

案例1。考虑下面的分数微分方程模型的机械系统狩猎现象 : 这个问题的解析解。当 ,在图所示的数值和分析解决方案4。在这种情况下,给出了分析结果验证了该算法的有效性。图4表明,该方法可以实现数值和分析结果吻合良好。

例2。考虑到二阶波动方程。这个问题的分析结果 ,在这里。数值结果与和分析结果如图5。数值解的主要原因不一致开始的解析解是初始条件均匀。然而,当需要不同的值,得到数值结果一致,证明该方案是有效的:

例3。考虑到分数阶波动方程 : 当 ,数值结果与如图6。图6表明计算结果是频率不变的衰减波形。当 ,数值结果与如图7。当 ,的相图和如图8。图8显示的图像衰减速度比 ,这是与图中的结果一致6。数据7,10,13显示数值振动位移的解决方案方法解决方案( )与分数阶逐渐逼近。这些表明,分数阶模型具有记忆和短期序列可以提取任意细节。

例4(见[31日])。考虑到分数阶波动方程,在这种情况下,我们把摩擦力。当 ,数值结果与如图9。图9表明,振动位移的解决方案仍然衰减波形,波形是equiperiodic时。此外,定期与波形不再变化增加。当数值结果与如图10。当和 ,的相图 , ,和如图11。图11显示波形衰减是最快的时候。从数据6,9,12,可以得出结论,更大的价值,波形越快变弱:

例5(见[31日])。考虑下面的分数阶波动方程,在这种情况下,我们把摩擦力。当 ,数值结果与如图12。图12表明,振动位移的解决方案仍然衰减波形,波形是equiperiodic时。此外,定期与波形不再变化增加。数值结果表明,初有一个大的波动,和波动过程往往是光滑的增加。当数值结果与如图13。当和 ,的相图 , ,和如图14。

5。结论

在这篇文章中,一个分数微分方程模型的自激振动现象提出了基于机械系统打猎。利用分数阶勒让德函数方法获得给定模型的振动位移的解决方案,并建立了模型和算法进行了分析从几个具体的数值实验。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

所有作者宣称他们没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样这个手稿。

确认

这项工作是由中国国家重点研发项目(2018 yfb1307902),中国国家自然科学基金重大项目(U1710254),山西省的关键研究和发展项目(201703 d111003),中国自然科学基金青年科学基金(51505417)、河北省自然科学基金青年科学基金(E2016203294)和山西省科技重大项目(20181102015)。

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