精确解的广义Bogoyavlensky-Konopelchenko通过枫符号计算方程

文摘

我们的目标是构建准确和明确的解决方案通过枫广义Bogoyavlensky-Konopelchenko方程计算机代数系统。考虑非线性方程转化为一个大臣双线性形式,和符号计算求解非线性方程和相应的双线性方程。几类不同假设的具体和明确的解决方案生成解决方案形式,包括行波解、双波的解决方案,和多项式的解决方案。

1。介绍

的一个根本问题的微分方程理论是确定微分方程的一个解满足所谓的初始值。在一个线性的世界有两个系统的方法:拉普拉斯方法求解线性常微分方程和傅里叶变换方法,对线性偏微分方程1,2]。在可积系统的现代理论,isomonodromic变换法和逆散射变换方法创建了试图为非线性普通和偏微分方程初值问题,分别为(3,4]。

然而,只有最简单的微分方程,线性的,往往是精确可解的。对我们来说绝对不是一件容易的事找到非线性微分方程的精确解,普通或部分。然而,李群方法和副大臣双线性方法是有效方法寻找精确解非线性微分方程。李群方法是确定躺对称性,立即用于解决常微分方程或用来减少偏微分方程和解决简单的减少5]。副大臣双线性方法是将微分方程转化为双线性同行,然后解决由此产生的双线性的(6,7]。

基于副大臣双线性形式,人们可以发现solitons-a指数的分析解决方案的本地化(3,4]。一些最近的研究也取得了另一种有趣的显式解决方案称为肿块,起源于解可积方程(8- - - - - -15]。肿块类解决方案分析的有理函数解的局部空间各个方向(9]。一个双线性框架获得孤子解的(2 + 1)维如下。假设一个决定一个大臣双线性形式 在哪里 , ,和副大臣双线性的衍生品,对于一个给定的(2 + 1)维偏微分方程: 通过副大臣双线性技术,可以经常孤子解决方案制定如下: 在哪里代表了所有的可能性 取0或1和波由变量和相移 和 与 , ,和满足了相应的色散关系和被任意翻译转移。孤波包含各种各样的可积方程精确解,并采取长波的极限 - - - - - -孤子的解决方案可以产生特殊的肿块(16]。

在本文中,我们想寻找精确解(2 + 1)维广义Bogoyavlensky-Konopelchenko方程 在哪里 ,和 , , , ,和常系数,通过枫象征性的计算。基于其副大臣双线性形式,一些解决方案假设将分析计算精确解非线性方程和双线性对应。此外,从非线性方程本身,我们将做一个彻底的符号计算枫叶力所能及的生成几类具体和明确的解决方案,包括行波解、双波的解决方案,和多项式的解决方案。结论和评论将在最后一节。

2。一波类型和两个摇和多项式的解决方案

让我们考虑(2 + 1)维广义Bogoyavlensky-Konopelchenko (gBK)方程(6)。同样,(2 + 1)维gBK方程(6)可以写成: 这是一个泛化的(2 + 1)维耗散Bogoyavlensky-Konopelchenko (BK)方程 引入的一种特殊情况的(2 + 1)维耗散版本KdV方程(17)和描述为长波的互动传播的 - - - - - -轴和黎曼波传播 - - - - - -轴(18]。汉堡王(2 + 1)维耗散方程(8达布变换得到),连同一些行波解(19),和一些特殊属性探讨(见,例如,(20.,21])。

通过直接计算,我们可以显示(2 + 1)维gBK方程(6)可以写成一个大臣双线性形式(22]: 根据对数转换 这种转换在贝尔扮演重要角色多项式理论孤子方程和广义同行(见,例如,23,24])。准确地说,我们可以 因此,当解决了双线性gBK方程(9), 和 能解决非线性gBK方程(6)。

从gBK方程(6)及其副大臣双线性形式(9),我们可以计算各种gBK方程精确解(6),通过开展我们的搜索通过象征性的计算。例如,低阶次的解决方案已经呈交gBK方程(6)(22]。

接下来,我们开始与一些特殊的假设和构建新的gBK方程准确和明确的解决方案(6)(或等价于(7))和双线性gBK方程(9)。插入每个拟设成非线性或双线性gBK方程会导致系统参数和系数的代数方程。然后,进行符号计算与枫获得代数方程组的解,进一步精确解(2 + 1)维gBK方程(6)。

2.1。一波型解决方案

首先,在一波类型的解决方案,我们可以很容易地确定以下5个双线性gBK方程准确和明确的解决方案(9): 在哪里 ,是任意的函数,=罪或cos,常数参数 ,是任意的提供的每一项解决方案是有意义的。虽然以上类型的解决方案是有趣的双线性gBK方程的解决方案(9),只有一流的解决方案可能导致重要的非线性gBK方程精确解(6)。令人惊讶的是,第一节课涉及任意函数的解给出了行波解的(2 + 1)维gBK方程(6),这是一个特殊的特征gBK方程(6)[22]。也从上面的头等舱的精确解,我们可以很容易地制定各种lump-type解决方案(即。,rational and analytical function solutions that are localized in almost all directions in space, under the Lebesgue measure) to the gBK equation (6),以正的多项式函数。

2.2。两个摇的解决方案

搜索两个摇的解决方案,现在让我们集合 在哪里 ,是常量参数来确定。做一个双线性gBK方程拟设两个摇的解决方案(9): 在哪里是另一个常数参数待定。我们可以显示所得到的代数方程组有两类显式的解决方案: 和 的常数满足 和其他参数可以任意提供的解决方案和提出的(10)将是定义良好的。

如果我们尝试另一个拟设两个摇解决方案: 然后我们可以有 的常数需要满足一个二次方程 这是不同于(17)。当 ,这是两个二次方程,所以每个人都有两根 ;但是,当 ,他们成为线性,所以只有一个解决方案是可能的。

然后,通过转换(10),我们可以获得不同种类的具体和明确的双波的解决方案(2 + 1)维gBK方程(6)。

2.3。多项式的解决方案

让我们再次尝试一个多项式拟设的解决方案 : 在哪里 和 ,是常数系数待定。符号计算的情况 ,我们可以得到以下两个类gBK方程的多项式的解决方案(7): 和 的常数是由 和其他相关参数是任意的。

第一类多项式解决方案不依赖于任何gBK方程中的非线性项系数(7),但第二课堂主要取决于系数第二组包含非线性项在gBK方程(7),包括两个单项:和 。这也是奇怪的病例 对我们太复杂了任何重要的明确的多项式的解决方案。

采取 在第一个解决方案(22), 在第二个解决方案(23),我们立即获得两种二次函数的解决方案: 和 在哪里被定义为(24)。

2.4。一个说明性的例子

现在让我们把 然后,从(7),我们获得以下特定gBK方程 基于我们提出的解决方案,这个非线性方程的行波解 一个两个摇的解决方案 和一个多项式的解决方案

以上计算的解决方案通过符号计算补充上可用的解决方案理论孤子解和dromion-type解决方案,通过强大的现有方法,如副大臣产生微扰法和对称约束包括对称减少(见,例如,25- - - - - -30.])。

3所示。结束语

我们构建了几类具体和明确的解决方案,包括双波解和多项式的解决方案,一个(2 + 1)维广义Bogoyavlensky-Konopelchenko (gBK)方程。符号计算与枫是采用技术和副大臣双线性形式是让一波式和双波的解决方案的基础。

获得的结果丰富了现有的研究(2 + 1)维耗散Bogoyavlensky-Konopelchenko方程(19- - - - - -22]。我们的话,有很多互动解决方案可积方程(见,例如,(31日]),尤其是肿块和其他形式的精确解(2 + 1)维非线性可积方程(见,例如,(32- - - - - -35lump-kink互动解决方案]和[36- - - - - -39]lump-soliton互动解决方案)。

然而,我们找不到任何肿块(或lump-type)之间的交互解决方案解决方案和扭结(或孤子)解决方案,和任何非平凡 - - - - - -波解,其中包括 - - - - - -孤波解, ,(2 + 1)维耗散gBK方程(6)。我们相信存在的交互解决方案和三波解偏微分方程应该完整的特性考虑微分方程的可积性。这绝对是有趣的搜索精确解和交互解决偏微分方程(1 + 1)和(2 + 1)维。另一个重要的问题是识别具有孤子的非线性偏微分方程的解决方案和交互的解决方案,了解非线性方程的可积性质。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

部分支持的工作是由国家自然科学基金委资助11301454,11301331,11371086,11571079,和51771083,NSF在格兰特dms - 1664561,江苏清局域网项目优秀青年教师在大学(2014),江苏省六大人才高峰计划(2016 -司法院- 081),在对江苏省高校自然科学基金(17 kjb110020),特别强调基础科学研究在学科前沿的CUMT xkzd11批准号2017,和上海电力大学杰出教授,中国,南非和西北大学。

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