文摘
可以为齐次边界非线性系统延迟和干扰进行了研究。通过使用一个新方法,积极系统的稳定性分析,一个明确的充分必要条件是首先得到保证的积极程度均匀时滞系统 渐近收敛在一个特定的球。此外,主要结果是扩展到一类非线性时变系统。给出一个数值例子验证了结果的有效性。
1。介绍
近年来的快速发展可以设置边界线性系统(1- - - - - -11),等等。在大多数现有的引用,传统Lyapunov-Krasovskii函数法是最常用的。然而,这种方法通常很难得出明确的条件可及集估计延迟和扰动的非线性系统。
由于延时在实际工程的无处不在的存在及其对稳定性的不利影响(12- - - - - -15和振荡16- - - - - -19),近年来引起了广泛关注。到目前为止,则较少受到关注的设置边界非线性时滞系统。(在讨论这样一个问题20.,21与延迟)对某些非线性摄动系统,涉及非线性项满足线性增长条件。可以设置边界连续时间和离散时间齐次时滞正系统的程度的一个研究[22]。齐次积极系统的衰变速率与时变延迟有任何程度的23]。最近,相同的问题被认为是在24)均匀积极系统的程度 ,虽然时间延迟是不考虑。可及集估计问题的离散和分布时滞的切换正系统受到扰动研究(25]。
积极的系统是动力系统的状态保持非负时初始状态是负的([26,27])。针对积极系统的特殊结构,一个特殊的方法通常用于积极系统的稳定性分析(28- - - - - -33),有别于传统的Lyapunov-Krasovskii函数法。
出于工作(23,24摘要),我们的研究可以为齐次边界和有界扰动非线性时滞系统。通过开发的方法23,24),我们首先建立一个充分必要条件,积极度均匀的时滞系统的解决方案 渐近收敛在一个特定的球,它包含这些结果(23,24在特殊情况下)。主要结果也适用于某些非线性时变系统延迟和干扰。
在这篇文章中,是一组 - - - - - -维向量。表示由的th的坐标 为 。鉴于 ,说 (或 )如果 , (或 )如果 , 。表示 。为 ,表示 和 。让= ,在哪里 是一个常数。对于给定 ,表示 。一个 - - - - - -维矩阵被称为麦茨勒如果非对角的条目都是非负的。
2。预赛
摘要非线性时滞系统的形式 研究了, 状态向量, 是连续向量函数满足 , 是时间延迟满足 , 是一个常数, 是干扰,初始状态吗 是连续的。注意,当 ,系统(1)需要的形式系统考虑24]。
下面的定义和引理(34将被要求。
定义1。假设 上是连续的和连续可微的 。向量函数如果雅可比矩阵被称为合作 , ,麦茨勒。
定义2。一个矢量函数 被称为均匀的学位 如果 , , 。
定义3。一个矢量函数 上被称为保序前提是 ,在哪里 , 。
引理4。合作的向量函数满足 ,在哪里 , , , 。
在本文中,我们需要以下假设:(H1) 和是连续可微的和均匀程度 ;(H2) 是合作是保序 ;(H3) 为 。
下面给出的证明(22),我们可以很容易地获得以下引理。
引理5。系统(1)是积极的假设下(H2)和(H3)。
3所示。主要结果
定理6。假设(H1)——(H3)是有效的。然后,我们有以下等价:(我)有一个
- - - - - -维向量
令人满意的
。(2)解决方案的系统(1)满足
对于任何
,任何初始状态
,任何干扰
,和任何有界延迟
,在哪里
,
,和适当的非负常数依赖
,
,和初始状态
,和
如果
。
此外,如果条件(我),
,
,和可以选择如下:
在哪里
,
满足
,和满足以下方程:
证明。(我)(2)考虑到初始状态
,从引理5我们有
,
。基于定义的和
,我们有
集
然后(6)和(7)产量
,
,
。接下来,我们证明
为
和
。如果它是不正确的,有一个常数
和一个指数
保证
为
,
,和
。因此,
利用引理4的同质性
,我们从(9)和(10),
时的情况
,它认为,
考虑是均匀和保序,我们得出结论
请注意,
我们进一步从(13)和(14),
时的情况
,它认为,
;也就是说,
因此,
接下来,我们可以得出结论(1)和(7),
因此,(11),(15),(17)和(18)暗示
另一方面,的定义和收益率
和
结合(19),我们有
,这与(8)。因此,
,
,
;也就是说,
从著名的不平等
为
和
,我们进一步得到
这意味着(2)。
(2)(我)特定的情况
和
,系统(1)减少
考虑到初始条件
,每个解决方案的系统(24)满足
也就是说,系统(24)是渐近稳定的。基于命题4.1 (35),有一个向量
这样
。证明已经完成。
注7。它可以看到从定理6的绑定可及集是由扰动的束缚,选择 ,和的值 。当扰动的绑定和的值,一个适当的向量可以选择,以保证最小的可及集通过求解非线性优化问题如下:受 ,在哪里被定义为在定理6。
注8。如果
为
,然后定理6减少的主要结果(23]。如果
为
,然后定理6减少的主要结果(24]。
最后,考虑下面的非线性时变系统
在哪里
,
,
,和是一样的(1),
向量函数满足
。
假设和满足以下假设:
(H4)和是连续的 ,连续可微的对在 ,还有向量函数和令人满意的(H1)和(H2), ,
没有限制的干扰为 ,我们可以得到以下的为系统(设置边界条件26)。
定理9。假设(H4)是有效的。如果有一个 - - - - - -维向量 这样 ,系统的解决方案(26)满足(2),常量 , ,和是由(3)。
证明。集 基于定义的和 ,它认为, , , 。时的情况 , ,请注意, 在这里表示左导数。类似于定理分析6,不难得出这样的结论 , , 。因此,(2)持有。证明已经完成。
4所示。数值例子
考虑系统(1), 很容易验证的假设(H1)——(H2)。让 。然后 。通过直接计算,它的收益率 , , ,和 。
我们从定理得出结论6有一个球这样,所有的系统(1)渐近收敛。考虑到初始状态 , ,注意的是, 和 ,解决方案(1)满足 图1介绍了模拟。
5。结论
本文一直关心可为齐次边界与扰动非线性时滞系统。我们不仅获得明确的可以设置边界条件独立的延迟,而且估计衰减率。这将是有趣的扩展我们的工作的情况下无限延迟和离散时间系统。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
我们声明,关于本文没有利益冲突。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金支持下拨款61873110。