文摘

多对多分配问题(MMAP)是最近的话题组合优化领域的研究。本文基于一个梯度内点法提出解决MMAP。这是一个确定性的方法,保证最优的解决方案。在这种方法中,约束的放松执行最初使用基数约束检测操作。然后,对数障碍函数(磅力)基于梯度下降的方法是执行达成精确的解决方案。实验被执行来验证该算法的实际实现。它还展示了一个在收敛速度显著改善大mmap(即。如果团体大小, )在最先进的文学。

1。介绍

最近,多对多分配问题(MMAP)吸引了研究人员的注意,在组合优化领域。感兴趣的主题是因为MMAP等活动作为一个真正的模型组角色分配,工作安排,和机器的路由,在一个组织结构1,2]。

组织结构的性能取决于它的能力处理共享任务(3]。基于角色的协作(RBC)起着至关重要的作用在管理一个共享任务有效(3,4]。在加拿大皇家银行系统,每个组成部分的评级代理执行。然后,角色分配给一个代理到一个特定的组根据他们的评级价值(5,6]。如果存在一个任务和一个代理之间的一对一的映射,那么它被称为线性分配问题(圈)或一对一分配问题(7]。因此,加拿大皇家银行问题称为一对多分配问题(6,7]。类似地,如果一个代理可以处理很多任务没有分配给任何其他代理,反之亦然,然后一圈变成了通过添加约束如前所述MMAP (6,7]。MMAP也称为广义分配问题。

红细胞是主题广泛调查和许多疲惫技术提出了解决它。如果一个代理是免费的任务在一个组,然后它可以分配给其他组来执行特定的任务。正如前面所提到的MMAP照顾的条件。因此,MMAP更合适来模拟现实世界的角色分配问题在一个组织结构与红细胞相比问题[6,7]。最好的作者的知识,只有少数的方法提出解决MMAP在文献中。因此,本研究仅限于解决MMAP创建一个新的框架。

Kuhn-Munkres (km)技术是最基本的技术来解决组合优化问题。它能够很好地处理的矩形成本矩阵行视为代理和列视为任务。回溯方法添加到km算法解决MMAP (6,7]。这种方法包括两个阶段,如下:(一)准备阶段;(b)处理阶段。在准备阶段,执行成本矩阵的归一化MMAP使用约束。在处理阶段,减少矩阵是进行成本分配代理任务效率。

在文学,拉格朗日的界算法探索解决k-cardinality分配问题,这是一个共轭双MMAP (8,9]。拉格朗日松弛方法的问题分为两个子问题如下:“简单”的问题和“复杂”的问题。“简单”的问题被称为优化目标函数通过放松与之关联的约束。“复杂”的问题是优化目标函数与约束条件的规定。在这种技术中,约束的放松是由嵌入罚函数为目标函数。因此,违反了罚函数是沮丧。在最大化问题的情况下,fixed-multiplier任期目标函数设置上限。此外,semi-Lagrangian技术开发(8]。它适用于目标函数与不等式约束。

一个算法的收敛速度和精度作为解决MMAP时最重要的参数。因此,技术高的精度和收敛速度。

操作的基本的启发式算法的进化原理和遗传算法(GA)一样,粒子群优化(PSO)和差分进化(DE)研究在文献中解决组合优化问题。GA的收敛速度降低而达到全局最优,这是一个严重的缺点[10,11]。德和PSO收敛速度提供高但演示过早收敛,这是一个妥协的准确性得到解决方案(12,13]。另一方面,确定性方法,如内点法和组合问题的拉格朗日方法取得了可喜的成果当他们到达全球最佳精度高和收敛速度14]。所确定的方法是有益的在解决组合以及离散优化问题(15]。

内点法是广泛调查文献中求解凸优化问题(即。与不等式约束,包括线性和非线性问题)(16]。该方法遵循线性规划(LP)模型,该模型包含一个独特的定义目标函数与约束条件(17,18]。约束的目标函数是连续可微的两倍。内点方法执行放松限制的LP模型边界条件的一组围绕一个特定的解决方案。从几何的角度来看,它走向一个解决方案从外部解决方案的区域或解决方案的内部区域(16,17]。障碍的方法,如对数障碍函数(磅力)的方法,是内点技术探索的基本类型在文献[16]。

因此,解决MMAP采用内点法。在拟议的技术中,约束的放松是最初使用基数约束检测执行的操作。然后,执行LBF-based梯度下降的方法来获得一个最优的解决方案。

实验证实该算法的可行性和执行它的相对性能分析与现有文献[7]。它只需要一个数量有限的迭代执行完整的搜索。因此,该算法优于大mmap(即。如果团体大小, )与[相比7]。它的每个迭代的计算时间大于(7]。因此,它提供了一个相对大融合时期关于[7小mmap]。因此,该算法的实际含义是机器来解决路由和调度问题在制造业为主的组织(1,2]。

剩下的纸规范如下。部分2包括问题公式化。基于框架的梯度内点法中描述部分3。部分4介绍了实验装置对拟议的工作及其比较分析与先进的文学。最后,结论部分设计5。

2。研究问题公式化

一个图表 ,在哪里代表了节点和表示边缘,被描述为一个两偶图,如果它满足的标准等 和 ,在哪里是一个空集, (7]。

一式两份的图被描述为一个加权两偶图的每条边(即, )由一个重量(例如, )(7]。一对一的重量匹配(例如, )描述的是(1)。

一个匹配(例如, )叫一个完美的匹配,如果每个节点的被分配给一个吗节点。因此,一个线性分配问题(圈)的定义是确定一个完美的匹配这是最大加权(7]。本文认为代理和任务。

让一个向量的能力极限代理是 。在这里,一个元素表示数量的任务,可以最大限度地分配给一个代理(例如, )(7]。

让一个向量的任务范围的任务是 。在这里,一个元素代表的数量的任务(例如, )这是需要分配(7]。

让一个潜在的矩阵, ,是一个 矩阵, 代表一个代理的潜在价值的任务 。因此, 代表最高的价值,而0代表一个特定元素的最小值。

让一个赋值矩阵, ,被定义为 矩阵,只选择二进制标签(即。,0或1)。因此, 表示代理是分配给的任务 ,而 象征着代理不是分配给的任务吗 。

让一个代理(例如, )可以执行许多不同的任务。同样的,让一个任务(例如, )可以分配给许多不同的代理。一圈变成一个多对多的分配问题通过添加两个约束条件,如前所述。从文献[7),因此数学上定义一个多对多的分配问题(2)。 用给定的约束(3),(4)和(5)。

3所示。方法

最初,潜在的矩阵的维度 被创建。因此,每个元素代理(即表示一个特定的效率。,(也就是代理)执行一个特定任务。,任务)。然后,和根据定义约束的问题。在文献[7),6(即在定理证明。,Decidable theorem) that MMAP becomes unsolvable, when the inequality defined by (6)的发生。

因此,它成为强制执行基数约束检测(CCD)为了避免描述的条件(6)。因此,CCD进行使用(7)。

的基数总是大于或等于的基数后执行CCD。因此,矩阵的维度 扩展成一个矩阵吗的维度 ,在哪里 使用和 。的新列与零附加。它是表达(8),一个代理包含行和任务包含列 。

从文献[9),共轭对偶的概念用于转换的目标函数最大化(即。,(8)为一个最小化问题。一个dual-parameter被定义为(9)因为的元素改变从0到1。

通过应用(9)(8),目标函数降低(10)。

让一个图定义为 ,特征方程(10)。因此,表示节点的总数。图中 , (例如, )象征着特定的节点之间的边的权值(即。之间,一个代理和一个任务 ),和(例如,column vectors of )表示节点的集合。因此,每个节点 ,代表一个特定的国家代码只能采取二元标签。

在电路设计领域,基于超立方体嵌入的技术,如硬(19]和Improved-FSMIM [20.),是对硬件开发的优化。这些技术从未检查MMAP等解决广义分配问题。最好的作者的知识,提出了工作使第一次尝试解决MMAP采用超立方体嵌入过程,证明了其新颖性。

让超立方体的特点 ,在哪里是尺寸,是顶点的集合 ,和组的边缘吗(21]。元素的总数中和 ,是由(11)和(12)。

超立方体嵌入应用于最小化(10)。它从图执行在超立方体(21,22]。它是象征 。这是一个1比1映射函数。因此,如果一个节点的图是由国家代表特定的二进制代码,那么相应的超立方体的顶点(例如, )用相同的代码。因此, - - - - - -二进制 - - - - - -向量是由(13)。

在超立方体 , ( )象征着顶点之间的汉明距离和 。评估的图形表示给出了在20.]。其数学表示方程所示(14),的瞬时值吗 。 值1和1之间变化(详细描述中提供了部分3.1)。因此,这种嵌入过程的成本函数是在(15)和(16)。

因此,最小化的成本函数(16)成为解决MMAP的终极目标。

一个算法的收敛速度和精度作为解决MMAP时最重要的参数。因此,技术高的精度和收敛速度选择最小化代价函数给出了(16)。

基本的启发式算法操作进化原理和遗传算法(GA)一样,粒子群优化(PSO)和差分进化(DE)研究文献中解决组合优化问题。GA的收敛速度降低而达到全局最优,这是一个严重的缺点[10,11]。德和PSO收敛速度提供高但演示过早收敛,这是一个妥协的准确性得到解决方案(12,13]。另一方面,内点法和拉格朗日的确定的技术组合问题的方法取得了可喜的成果,因为他们进入全球最佳高的精度和收敛速度14]。所确定的方法是有益的在解决组合以及离散优化问题(15]。障碍的方法,如对数障碍函数(磅力)的方法,是内点技术探索文学的基本类型(16]。因此,LBF-based梯度下降方法选择最小化代价函数给出了(16)。基于提出的梯度所涉及的步骤内点方法呈现在图1。

3.1。基于对数障碍函数的梯度下降的方法

一个内点法,如对数障碍函数法(磅力),广泛调查解决离散优化问题(14,23]。这是一个确定性的技术保证一个可行的解决方案。MMAP的成本函数是制定使用磅力。然后,执行其最小化以迭代的方式使用gradient-projection技术。磅力的方法,优化的目标函数是在连续空间域来完成的。然后离散生产获得了解析解的离散解(24]。因此,磅力的目标函数,不等式约束,定义为(17)。

磅力减少的目标函数((16)提出了(18)。它表示在迭代所示(19)。在(18)和(19),第二项作为屏障对于任何此举不包括约束(例如, )(25]。

在初始阶段,磅力选择 和一个可行的 。它选择 ,在哪里 。这个流程将继续,直到到达显著较小值。

一条线搜索方法是至关重要的减少(19)关于迭代。为此一阶梯度下降的方法是相关(26]。在这种方法中,权重向量(即。,的model parameters) are determined to reduce the objective function [27,28]。给出它的数学表示(20.)。

在一阶梯度下降方法中,一个特定的迭代(例如, )被定义为(21),代表了步长。选择一个小正实数值(26]。

从(21)、小(即移动。,步长 )在负梯度方向。在下一次迭代(例如, ),(22)是用来确定值约束表面。

基于提出的收敛标准梯度内点法在(23),(范围从0到1)是上界。

因此,超立方体被解释为确定嵌入问题 - - - - - -二进制 - - - - - -最小化的向量(16)。它是在(24)。

因此,(16)推导出使用超立方体的顶点之间的汉明距离(即, )。它提出了(25)。

在这个优化问题,任意两个顶点超立方体(例如, )不应该被定义为相同的二进制状态代码(例如, )。这个条件作为约束条件的优化过程。它是在(26)。

方程(25)和(26)应用于(18)减少成本函数。降低成本函数在(27)。

因此,实体(从(22)被定义为(28)。

从(21)、导数项的计算(例如, )方法对梯度下降方向至关重要。推导出所需的导数项用(29日),(30.),(31日)和(32)(27)。因此, 被定义为(33)。

通过应用(28)(22),规范化的形式给出了(34)。

在梯度下降迭代过程(即结束。,(23)满意),离散化分析解决方案的执行。因此,一组最优状态代码(例如, )是由离散化(例如,value of在迭代 )由(35)。

基于提出的梯度内点法的伪代码授予的算法1。

4所示。数值结果和讨论

这个数值研究的基本目标是证明该算法的可行性和展示先进的文学的比较7]。所有优化是使用Eclipse开普勒JDK 1.7包(7]。工作站的配置来执行计算如下:英特尔酷睿i7处理器(R)(6日创),16 GB的RAM和3.5 GHz CPU。

该方法是一种确定的方法。因此,它的收敛时间最优分配是恒定的。实验两个随机群体之间(执行 )来验证其可行性。为范围,如 , ,和 ,的范围被设置为 ,在哪里 ,的比较与7]。

同样的,对范围 ,的范围被设置为 ,在哪里 ,的比较与7]。模拟执行评估的成本最优分配和收敛时间的不同组合 ,和的范围内。为特定的作业成本矩阵评估使用(16)。收敛性情节的不同组合 ,和呈现在图2。一个参数, ,还提供了定义平均100次迭代内成功的任务。表中给出1。的范围从95.78到100%。这表明,该算法只需要有限数量的迭代收敛。

另一组进行分析来确定整体性能(从20到300)算法。实验100个随机群体之间(执行 )。模拟运行评估成本最优分配和收敛时间三个组合(例如, , ,和 )与不同的的范围内。为特定的作业成本矩阵评估使用(16)。该算法的收敛性分析 和如图3。为范围,如 , , ,和 ,的范围被设置为 ,在哪里 。同样的,对范围内, ,的范围被设置为 ,在哪里, ,的比较与7]。使用不同的收敛时间性能的措施提出了表范围2和3。分析所需的计算时间最优分配呈现在图4。因此,该算法的性能相比,(7)当 和如图5。

该技术优化区域定义了最可行的解决方案。因此,只有数量有限的迭代执行完整的搜索。因此,该算法优于大mmap(即。如果团体大小, )与[相比7]。

图中给出的比较分析5表明每个迭代技术需要大量的计算时间比(7]。因此,它提供了一个相对大融合时期关于[7小mmap]。这是一个该方法的局限性。

机的问题,路由和调度在制造业为主的产业是主要的问题。提到的问题成为严重的多点制造企业当运营商工作的数量在一个共享的任务是大(1,2]。因此,该算法的实际含义是解决机器制造业为主的组织的路由和调度问题。该技术还可以有效地创建可重构FSM-based架构调查(29日]。

5。结论

基于框架的梯度内点法解决多对多分配问题(MMAP)提出了这项研究。它是一种确定性的方法保证最优的解决方案。在这种方法的初始阶段,约束的放松是使用基数约束检测执行操作。然后,对数障碍函数(磅力)基于梯度下降的方法是执行MMAP获得一个最优的解决方案。该技术只需要有限数量的迭代执行完整的搜索。因此,该算法优于大mmap(即。如果团体大小, )与现有文献相比。该算法的实际含义是机器来解决路由和调度问题在制造业为主的组织(1,2]。该技术还可以有效地创建可重构FSM-based架构调查(29日]。

在组织结构中,角色分配问题往往是严格限制圈,红细胞表面,或者mmap。因此,需要一个统一的算法,可以处理前面提到的问题。拟议的技术将进一步检查创建一个统一的方法来有效解决圈,红细胞表面,或通过添加一个自适应算子mmap(见[30.])。

数据可用性

在生成的数据集和/或分析在当前研究可从相应的作者以合理的要求。

信息披露

这项研究没有收到任何特定公共拨款资助机构,商业,或非营利部门。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

本研究工作是在电子和通信Engg执行。SRM科技研究所,Kanchipuram Dist。603203年,印度钦奈。