部分孤子动力学和光谱变换Time-Fractional非线性系统:一个具体的例子

文摘

在这篇文章中,傅里叶变换光谱变换与非线性的声誉首次被扩展到本地time-fractional Korteweg-de弗里斯(tfKdV)方程。更具体地说,一个线性谱问题与整数阶KdV方程首次配备当地time-fractional导数。基于当地time-fractional导数光谱装备的问题,当地tfKdV方程,然后导出可积性松散,解决了通过扩展频谱变换。结果,一个公式的精确解与米塔格-莱弗勒功能。最后,在无反射的情况下潜在的获得的精确解是分数n孤波解。为了获得更多的见解部分n孤子动力学、动态演进的减少部分一个,两个,,three-soliton模拟解决方案。结果表明,分数降低的速度,两年期和three-soliton解决方案与分数阶变化。

1。介绍

由于增加利息分数微积分及其应用,动态过程和动力系统的部分订单已经备受关注。2010年,Fujioka et al。1]研究孤子传播的扩展非线性Schroinger方程部分色散项和部分非线性项。2014年,杨et al。2)使用当地部分KdV方程模型分形波浪浅水表面。

非线性数学物理领域的光谱变换(3傅里叶变换)和非线性的声誉是一个著名的分析方法构建精确的和明确的n孤子解的非线性偏微分方程(pde)。自1967年由加德纳等人提出,谱变换方法取得了相当大的进展(4- - - - - -26]。与分数微积分及其应用[的密切关注27- - - - - -53),一些自然的问题是现有方法是否会喜欢那些在54- - - - - -70年]在孤子理论可以扩展到非线性pde的部分订单那部分pde的分数孤子动力学和可积性。据我们所知,没有研究报告的谱变换非线性pde的部分订单。本文的渴望驱使扩展频谱变换非线性分数pd,然后获得更多的见解的部分孤子动力学得到的解决方案。对于这样一个目的,我们考虑下面的本地tfKdV方程: 这里请注意,如果 那么情商。1)成为著名KdV方程 。在情商。1),当地time-fractional导数在点 被定义为(30.] 在哪里 ;一些有用的特性(33)当地time-fractional导数已经使用。

本文的其余部分组织如下。节2,我们推导出本地tfKdV情商。1)通过引入线性谱问题配备当地time-fractional导数。节3,我们构造分数n孤子解当地tfKdV情商。1)通过扩展频谱变换方法。节4,我们调查所得分数的动态演进one-soliton解决方案,two-soliton解决方案,和three-soliton解决方案。节5本文,我们得出这样的结论。

2。当地tfKdV方程的推导

为当地tfKdV情商。1),我们有如下定理1。

定理1。当地tfKdV情商。1)是一个松散的系统,它可以来源于线性谱问题配备当地time-fractional演化方程: 在哪里 和 都是可微的函数对吗和 ,光谱参数是独立于 ,和是一个任意常数。

证明。情商的time-fractional导数。(3)的收益率 用情商。4)为情商。5),我们有 求导的情商。4)对两次给 情商的帮助下。3),从情商。7)我们有 另一方面,在aribitrary点 我们有 最后,用方程式。(6),(8)和(9我们到达情商。1)。因此,我们完成证明。证据表明,情商的过程。1)是一个松散的可积系统。

3所示。当地部分光谱变换

由于当地tfKdV情商。1)是一个本地time-fractional系统,衍生品的订单关于空间变量都是整数。因此,所有现有的结果对光谱问题(3),一双宽松的一部分经典KdV方程,可以翻译成当地tfKdV eq。(1)。

对于直接散射问题,我们翻译一些必要的结果和定义9)当地tfKdV情商。1)。

引理2。如果真正的潜在定义在整个实轴 和它的各种衍生品是可微的函数也迅速消失 和满足 然后线性谱问题(3)有一组基本解决方案称为Jost解决方案 和 ,他们不仅有界的所有值但还分析 和连续 和渐近性质如下:

引理3。朗斯基行列式的定义 ,让 然后 在哪里分析了 和连续 , 只定义在实轴 ,和解析函数有一个有限数目的简单的0 。

引理4。线性光谱问题(3),存在一个常数 ,这样

定义5。常数令人满意的情商。17)命名的本征函数的归一化常数 ,和 被命名为标准化本征函数。

定义6。一组 被命名为散射数据的线性光谱问题(3)。

引理7。如果本征函数 满足线性谱问题(3),然后 解决了情商。3)。

证明。直接计算情商。19)告诉 的帮助下方程式。(3)和(20.),我们有 因此,完成证明。

时间依赖性的散射数据,我们有如下定理8。

定理8。如果时间的演变 遵守当地tfKdV情商。1),然后散射数据(18线性光谱问题)(3)拥有以下时间依赖性:

证明。代入方程式。(12)和(14)为情商。3),用方程式的渐近性质。(11)和(12), 和 ,分别,我们有 也就是说, 很容易看到所有的0是独立的因为 。因此,我们到达 。
同样,用情商。16)为情商。3和使用情商的渐近性质。11), ,我们有 鉴于方程式。(17)和(28),我们得到 可最后沦为第二项情商。22)。然后我们完成证明。

逆散射问题,我们有如下定理9。

定理9。当地tfKdV情商。1)有一个形式的精确解 在哪里 满足凝胶'fand-Levitan-Marchenko (GLM)积分方程: 与 和 , ,和是由方程式决定的。(22)和(23)。

证明。定理的证明过程9类似于古典KdV方程(9与整数阶),唯一的区别是散射数据。为了避免不必要的重复,这里省略它。

的分数n孤子解,我们有下面的定理10。

定理10。无反射的潜力,当地tfKdV情商。1)部分n孤子解的形式 在哪里 在情商。36),是Mittag- - - - - -莱弗勒函数(33]。

证明。首先,我们进一步确定散射数据。解决方程式。(22)和(23)的收益率 其次,我们让 。在这种情况下的无反射,情商。32)减少 假设情商。39)有一个分离的解决方案 在哪里是一个待定函数可由替换情商。40)为情商。39)。确定函数 ,我们有 最后,从方程式。(31日),(37),(38)和(41)我们获得情商。34)。因此,证据已经结束。

4所示。部分孤子动力学

为了获得更多的见解的孤子动力学获得分数n孤子的解决方案(34),我们考虑的情况下 。

当 ,我们有 因此,我们获得,从情商。34),部分one-soliton解决方案:

同样的,当 我们获得分数two-soliton解决方案:

当 ,我们获得分数three-soliton解决方案:

在图1,我们模拟部分one-soliton解决方案(43)和不同的价值观 ,参数选择在哪里 和 。在图的帮助下速度图像2和速度的公式 我们可以看到钟形孤波有不同的速度取决于的值 。在初始阶段,小的价值被选中时,孤子传播越快。但很快这是相反的;更多细节见图3和4。

部分two-solitons和three-solitons确定,分别由解决方案(44)和(45如图),类似的特性5- - - - - -7是观察到的。在数据5和6,我们选择参数 , , ,和 。而在图的参数7是选为 , , , , , 。

5。结论

总之,我们有派生和解决当地tfKdV情商。1)部分谱变换方法的框架。这是由于线性谱问题(3)配备当地time-fractional进化(4)。至于部分衍生品,有许多定义(33]除了当地的分数阶导数,如Grunwald-Letnikov分数导数,Riemann-Liouville分数导数和卡普托的分数阶导数。一般来说,是否谱变换可以扩展到其他一些非线性演化方程与另一种类型的分数导数取决于分数导数具有良好的光谱转换方法所需的属性。我们最好的知识,结合米塔格-莱弗勒函数获得的精确解(31日),部分n孤子的解决方案(34),其特殊的情况下,部分一、两年,和three-soliton解决方案(43)- (45),都是新的,他们没有报告文学。这是图形化显示,当地的分数阶tfKdV情商。1)影响的速度部分one-soliton解决方案(43)与米塔格-莱弗勒函数在传播的过程中。更重要的是,部分光谱变换的方案提出了建设n孤子解当地tfKdV情商。1)可以扩展到其他一些可积当地time-fractional pde。

数据可用性

论文中的数据可从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关这篇文章的出版。

确认

这项工作得到了中国自然科学基金(11547005),中国辽宁省自然科学基金(20170540007),教育部自然科学基金会中国辽宁省(LZ2017002)和创新人才支持计划辽宁省高校(LR2016021)。

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