一类lorenz类混沌系统的Lyapunov函数分析

抽象的

在本文中，我们调查了一个终极束缚集和肯定不变的3D洛伦兹的混沌系统集，这与众所周知的Lorenz系统，Rössler系统，陈系统，吕系统，甚至是洛伦茨系统家庭不同。此外，我们通过Lyapunov功能方法调查全球指数有吸引力集合。对于所有正参数值，还获得了从全球指数型有吸引力集合的外部到全球指数有吸引力集的外部的轨迹的速率 ．本文的创新是我们构建最终有限和全球指数引用的方法的方法假设相应的集合取决于一些人工参数（和 ）;也就是说，对于系统的固定参数，我们有一系列套件取决于和 ．结果包含已知结果作为固定情况的特殊情况和 ．该方案的效率在数值上示出。理论结果可以在混沌控制和混沌同步中找到广泛的应用。

1.介绍

1963年，爱德华·洛伦茨在研究Rayleigh-Bénard对流时数值发现了混沌吸引子[1］.这一发现刺激了混沌理论的迅速发展，并报道了大量的混沌系统。此后，由于混沌系统在一些工程和技术领域具有巨大的应用潜力，混沌现象和混沌系统得到了深入的研究[2- - - - - -34］.可以找到许多新的混沌系统，例如Rössler系统[2]，陈系统[3.]，Lü系统[4]和Lorenz-stenflo系统[12，23- - - - - -25］.如何获得混沌系统的界限是动态系统理论中的核心问题之一。新混沌系统的界限对于研究新混沌系统和混沌控制的定性行为非常重要。Leonov等人已经研究着着名的Lorenz系统的界限。在 [26- - - - - -28］.张等人。[17]给出着名Lorenz系统的界限的新结果，其新结果包含现有结果[26- - - - - -28]作为特殊情况。Lorenz-Stenflo系统的界限已在[23］.如何获得陈系统的界限和吕氏系统是一个重要而非激烈的公开问题，因为陈系统和吕系统的重要潜在应用[29，30.］.张等人。[16，21，30.]研究了Chen系统和Lü系统的界的开放问题，得到了许多重要的结果。然而，很难得到混沌系统的界[16，21，28]但是一些结果仅用于一些混沌系统[16，17，21，28］.大量混乱系统的界限仍然未知。本文致力于计算紧凑域的界限，其包含Lorenz样混系统的所有紧凑不变集。

在本文中，我们考虑洛伦兹的系统[31]： 在哪里 和参数是真实的。系统(1） 那时候 与经典洛伦兹系统一致[1];什么时候 和 ，它可以转化为描述旋转椭球腔内流体对流的Glukhovsky-Dolzhansky系统[32](另见[8，15)，以及何时 ，它可以转化为描述等离子体中波与波相互作用的Rabinovich系统[33](另见[8，9在本文中）。当 ，系统 （1)与“气”相吻合[22]： 在哪里 ， ，和是真实的变量; ， ，和是系统的正参数（2）.当 ， ，和 ，系统 （2）是混乱的[22]，如图所示1．系统(2）不同于着名的洛伦茨系统，Rössler系统，陈系统，吕氏系统，甚至洛伦茨系统家庭[22］.所以，许多混乱系统的动态行为（2)仍然是未知的，这激发了本文提出的工作。

在本文中，我们将进一步研究系统的动态行为(1)，在特殊情况下 ，我们将结果与先前获得的结果进行比较[31]对于一般情况

2.系统动态行为(2）

定理1。假设 ， ， ， ，和 ，和 在哪里 然后，是最终绑定和积极不变的系统集（2）.

证明。定义Lyapunov样功能 然后，衍生的是 让 ，我们可以获得一个有界封闭的集合 ： 由于混沌系统(2时，连续函数(5）可以达到其界限关闭集的最大值以上。
因此，混沌系统的解决方案（2)包含在定义的集合中 ．将得到函数的最大值(5） 在通过处理以下条件极值问题： 表示 进而 （8)变成以下形式: 我们可以解决问题（10）根据优化方法并得到表达如下： 证据就这样完成了。

备注2。(i)让我们走 和 在定理中1;然后我们有那个 是最终绑定和积极不变的系统集（2), 让我们采取积极参数值 ， ，和 在以上;然后我们可以得出结论 是系统的最终绑定和积极的不变集（2）.在图中2，我们展示了系统混沌吸引子的本地化（2）在Xoyz空间中定义 ．
（ii）制度（1）在这种一般形式中，于1992年由Leonov和Boichenko研究[31］.使用Lyapunov的直接方法，他们证明了莱西因的意义上的耗散，即含有全局吸引子的全球有界吸收集的存在，并且还通过说明以下结果来构造几种正不变集。

定理3。对于任意解决方案 的系统(1)，以下估计是正确的: 在哪里

定理4。让 和 ，然后，对于任意解决方案 的系统(1)，以下估计是正确的:

定理5。所有轨迹 的系统(1）输入以下椭圆： 在哪里 并留在其中。
（iii）构造最终有限和全局指数引用集合的方法假设相应的集合取决于一些人工参数（和 ）;也就是说，对于系统的固定参数（2），我们有一系列套件取决于和 ．让我们拿走 和 在 （3.）;然后是集合在 （3.）与（18）.

尽管定理1给出终极绑定系统（2)，系统的全局指数吸引集(2)仍然未知。系统的全局指数吸引集(2）由以下定理描述。

定理6。假设 ， ，和 ，让我们表示 然后估计 保存系统（2）.
因此，根据定义， 为系统的全局指数吸引集(2）;那是，

证明。定义 然后是衍生物是 所以，我们有 和 根据定义， 为系统的全局指数吸引集(2）.
证据就这样完成了。

3.结论

本文主要研究三维类洛伦兹混沌系统的全局行为。利用李雅普诺夫函数理论和优化方法，得到了系统的正不变集(极限界)和全局指数吸引集。数值模拟结果与理论分析结果基本一致。期望本文提出的基本思想可以应用于其他论文中探索类似混沌系统的界。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包括在文章中。

利益冲突

提交人声明有关本文的出版物没有利益冲突。

致谢

重庆市教委科技支撑计划项目(no. KJQN201800818, no. KJ1500605);国家自然科学基金项目(no. 11871122, no. 11501064, no. 11426047);cstc2014jcyjA00040)，天津大学科研基金资助项目(批准号:cstc2014jcyjA00040)。中国博士后科学基金资助项目(2014-56-11);重庆市博士后科学基金特别资助项目(批准号:2016M590850);Xm2017174)。作者感谢香港城市大学陈冠荣教授，俄罗斯科学院Gennady A. Leonov教授，中国科学院Jinhu Lü教授，重庆大学廖晓峰教授，华南理工大学杨启贵教授，安康大学杨高翔教授，南京邮电大学的闵晓(音译)对他们的帮助表示感谢。

参考

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