减少残余对称和一致的黎卡提微分非线性演化方程的扩张

文摘

剩余的对称(1 + 1)维非线性演化方程(NLEE)是通过Painleve扩张。通过引入一个新的因变量,剩余对称本地化为对称点在于一个放大系统,和相关的对称还原解决方案得到了使用标准的谎言对称性的方法。此外,(1 + 1)维耗散NLEE方程被证明是可积的一个一致的黎卡提微分扩张(CRE),和一些新的Backlund变换(BTs)。此外,一些明确表示解决方案包括孤子之间交互的解决方案和BTs cnoidal波来自这些。

1。介绍

在非线性科学、非线性方程组的研究中发挥着重要作用分析相关的复杂现象,它存在于流体动力学、等离子体、光学等等(1]。在过去的几十年里,许多有效的方法,包括副大臣的双线性方法(2],Darbux变换[3,4[]和Backlund变换,谎言对称分析5,6,逆散射变换(7),提出了丰富和发展探讨非线性方程组的性质。在这些方法中,对称性分析中发挥着重要作用简化甚至完全解非线性方程。对于许多可积系统,可以使用标准的谎言对称方法来获取他们的谎言对称群和对称还原解决方案。此外,一个有限的变换群相关的对称也可以通过使用谎言的定理。

传统上,有限的转换相关的非局部对称性无法直接获取同样的谎言对称点。同意这个困难,程等。8]提出本地化外地对称肿大非线性系统通过引入一些新的因变量的原始系统,提供所有的谎言点对称放大系统。从那时起,很多作品已经完成许多重要的非线性系统(9- - - - - -13]。他们证明该定位方法是非常有效的获取新的Backlund变换(BTs)以及对称还原解决方案相关的非局部对称放大系统。特别是对于许多可积系统,孤子之间交互的解决方案和非线性周期波可以通过这种方式获得。

存在许多不同的方式获得非局部对称性,包括潜在的对称(14),Lie-Backlund对称性(15),逆递归运算符(16,17],conformal-invariant形式[18),达布变换(19),Backlund变换(BT),和宽松的一对。近年来发现,对于许多非线性系统来说,负的系数奇异流形的一次方截断Painleve扩张很容易的非局部对称方程(20.),这被称为残余对称。获得非局部对称性与其他方法相比,方法获得剩余对称很简单,和大量的研究已经进行了本地化残余对称变成谎言点对称(19,21,22]。获得更丰富的交互的解决方案,卢广义黎卡提微分扩张方法,提出了一种新的概念意义上的一致可积性的黎卡提微分扩张(CRE) (23]。通过应用CRE方法,许多新的BTs获得各种非线性系统和交互解决方案(12,24- - - - - -29日]。

在本文中,通过使用剩余对称定位法和CRE方法,我们调查以下(1 + 1)维非线性演化方程(NLEE): 其中包括修改KdV方程是通过设置一个特例 。在文献[30.),NLEE (1)派生Backlund变换KdV方程的解决方案和解决方案的相关方程(1)。它表明,真空状态存在于KdV方程以及NLEE方程(1之间的关系),以及真空KdV解决方案的参数的设置和真空参数方程(1)被发现30.,31日]。一系列的解析解NLEE (1)也在32]。

本文组织如下。节1的残余对称NLEE (1)来源于截断Painleve扩张,然后本地化到谎言点对称通过引入新的扩大NLEE因变量。在此基础上,有限的转换与残余对称也得到应用的第一个定理撒谎。节2谎言点对称群的一般形式以及对称性降低解决方案的扩大NLEE是通过使用标准的谎言对称性的方法。节3NLEE (1)是被证明是CRE可积,得到了一些新的BTs。通过应用CTE方法,一些具体明确表示NLEE的解决方案,其中包括孤波和背景cnoidal波之间的交互的解决方案。最后一节包含一个总结。

2。剩余的本地化对称

通过平衡扩散项和非线性项,截断Painleve扩张方程(1)是 在哪里ϕ奇异流形和吗是函数的以后待定。用(2)(1)和系数不同的权力ϕ为零,我们有 在哪里ϕ满足中的Schwartzian形式的(1) 与 和 。用(3)和(4)(2),下面的定理是容易获得的。

定理1。如果ϕ是一个解决方案中的Schwartzian方程(5),然后 是一个方程解(1)。

我们知道,任何Schwartzian方程如(5下)是form-invariant Mobious转换 这意味着方程(5)有三个对称性: 与任意常数 ,和 。有趣的是,残渣在扩张(2)是一个对称的NLEE,可以用它验证了方程(4)和(5)的线性化方程(1)。显然,残留的对称有关的对称性(8)的线性化方程(4)。

让有限的转换相应的剩余对称 ,我们必须先定位成一个谎言点对称。为此,我们引入一个新的因变量 扩大原始方程(1)。

放大系统的线性化方程(1),(5)和(9)

当我们修复 ,方程(10)- (10 c)有一个简单的解决方案 这意味着中残留的对称是局部放大系统。

通过将谎言的第一个定理应用到对称的初值问题(11个)和(11 b),也就是说, 我们得到以下Backlund变换。

定理2。如果 是一个长期的系统的解决方案(1),(5)和(9),那么 与 与一个任意组参数ε。

3所示。减少残余对称解的方程(1)

谎言点的一般形式的对称性扩大NLEE系统(1),(5)和(9)可以书面形式如下: 这意味着系统以下变换下是不变的: 无穷小的参数ε。同样,对称形式(13)- (13 b)可以写成一个函数形式如下:

用方程(16一个)- (16 c)扩大NLEE系统方程(10)- (10 c)和消失的所有衍生品相关的变量 ,和ϕ无穷小,已经决定线性方程得到了。计算后由计算机使用软件枫木,我们得到结果 与任意常数 。很明显,对称在方程(17)包含的对称性(11个)- (11 c)作为一个特例。

考虑到方程(17),对称的(16一个)- (16 c)可以写成

群不变解扩大NLEE系统可以通过应用对称约束在方程(19),这相当于求解特征方程

不失一般性,我们考虑对称性降低解决方案的扩大NLEE系统在以下两种情况。

案例1。( )。在求解方程(19),我们得到的对称还原解决方案扩大NLEE系统(1),(5)和(9), 在哪里 ,和是不变的一组功能不变的变量组吗 。
减少对称方程 ,和可以得到方程(20.)- (22)扩大NLEE系统(1),(5)和(9)。结果是 在哪里满足以下减少对称方程: 很明显,一旦任何方程解(25),解决NLEE可以得到方程(23)和(24)方程(22)。给一个具体的例子,我们用一个简单的解决方案(25)条件下作为 NLEE导致一个简单的解决方案(1) 与任意常数和 。

例2。(和 )。
在这种情况下,类似于第一种情况下,对称还原解决方案的扩大NLEE系统(1),(5)和(9) 与 ,和被集团不变的功能不变的变量 。
相应的减少对称方程 ,和是

4所示。CRE可解性和交互的解决方案

4.1。CRE可积

通过领导顺序分析,NLEE的黎卡提微分扩张(1)是 在哪里是函数的 和黎卡提微分方程的解决方案吗

用方程(32)和(33)方程(1)和消失的所有系数不同的权力 ,我们得到了 和三个不同的方程 。幸运的是,这三个方程是一致的,其中一个是 与 , ,和 。

不同的方程的一致性意味着NLEE (1)是可积的意义下一致的黎卡提微分扩张。总之,我们有下面的定理。

定理3。如果是一个解决方案 然后 是一个解决NLEE (1),黎卡提微分方程的解决方案(33)。

4.2。一致的tanh-Function扩张

当我们把一个特殊的黎卡提微分方程的解决方案(33), ,一致的黎卡提微分扩张(31日)减少 叫做一致双曲正切扩张(CTE)。

遵循同样的逻辑作为CRE情况下,我们得到了以下nonauto BT。

定理4。如果满足以下方程: 然后 是一个解决NLEE (1)。

给一些具体NLEE精确解(1),我们首先采取的形式在(39), 在哪里是一个任意的函数x和t, ,和任意常数。三种特殊情况(41)列出如下。

例3。我们用一个简单的方程解(39), 与被任意常数。通过使用定理4,我们获得一个扭结孤子解NLEE (1):

例4。我们进一步约束的形式(41), 在哪里任意常数。用(44)(39),这是有趣的发现满足以下椭圆函数方程: 与 与任意常数 , ,和 。定理4,方程(44NLEE)导致解决方案(1), 描述了孤子之间的相互作用模式和椭圆波。为了更清楚地说明这一点,我们需要一个特殊的雅可比椭圆方程解(45), 与任意常数 。用方程(48)方程(45)和系数不同力量的消失 ,我们得到了 图1显示了交互的解决方案(47)和方程(46),(48)和(49)和参数是固定的 数据1(一)和1 (b)描述扭结孤子之间的相互作用的结构和背景cnoidal波在一维的变量x和t分别具有相似的结构。

例5。我们以方程的形式(41), 在哪里第三种类型的不完全椭圆积分和吗都是任意常数。用方程(51)方程(39)和系数不同力量的消失函数,得到几种类型的解决方案,其中两个 数据2和3显示解决方案(40)和方程(51)和(52)在三维空间和两个维度,分别和参数是固定的 图2表明,扭结孤子可以被视为由cnoidal波,可以看到更清楚的图的密度图2 (b)。至于数据3(一个)和3 (b)一个维,他们描述这个解决方案和 ,分别。
当 ,第三种类型不完全椭圆积分方程(50)成为第一个类型。图4显示了交互的解决方案(40)和方程(51)和(53)。的参数是固定的

5。结论

总之,NLEE调查通过剩余对称和CRE方法,分别。剩余对称是通过截断Painleve扩张和本地化谎言点对称原NLEE通过扩大到一个新的系统。通过应用标准的对称方法,一个谎言点的一般形式的对称性扩大NLEE以及相应的对称还原解决方案,可用于描述孤子之间的相互作用模式和非线性波。证明了NLEE CRE可积的,和一些新的BTs来自这个属性。据我们所知,文献给孤子和cnoidal电波之间交互的解决方案主要集中在(2 + 1)维耗散系统。至于(1 + 1)维,这种soliton-cnoidal波交互解决方案很难给一个显式表达式形式(见,例如[10])。幸运的是,在这篇文章中,两种soliton-cnoidal波方程的解决方案(1)得到一个详细的分析。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金批准号。11405110和11405110下的中国和中国的浙江省自然科学基金批准号LY18A050001。

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