文摘

虽然完整的混沌同步在单层网络已经有了很好的理解,这仍然是一个挑战在多路网络。在这项工作中,我们研究的完成时间双工网络混沌同步振荡器之间的交互模式两个单层网络之间周期性地交替进行。两层之间的交替变化的特点是抵消力量和开关频率 。我们发现有两种动力机制取决于 。对于高 ,的关键稳定的同步是独立完整的和快速交换近似表明时间双工网络可以用长期有效的双工网络近似有效耦合强度。低 ,的关键取决于nonmonotonically。在极低 ,评估的关键可以得到一个单模近似考虑一个占主导地位的横向网络模式完成同步考虑。

1。介绍

集体行为是普遍存在的自然系统和人类社会。其中,同步,一个最有趣的集体行为,一直在调查初期以来自然科学和过去几十年引起了极大关注1- - - - - -4]。有各种形式的同步,如完成同步(CS) (5),集群同步(6)、远程同步(7),部分同步(8),相位同步9),广义同步(10),和滞后同步(11]。在这些不同类型的同步,CS是最简单的一个,它的稳定性分析采用主稳定函数法(12,13]。当涉及到复杂网络,它已经发现,耦合函数和网络结构可以影响CS的稳定性。

先前的研究在网络科学侧重于单层网络。然而,有许多复杂的系统,从社会系统技术系统被建模为多层网络其他比单层的14- - - - - -17]。例如,在社交网络上人们可能相互作用通过不同渠道比如微信,Twitter和Facebook (18]。每个通道由一个独立的层上,人们相互作用的耦合作用自己的层和层由不同的渠道都集成到一个多层网络。在多层网络,多路网络指的不同层共享同一组节点和网络的每一层拥有其独特的交互模式(19- - - - - -21]。最近,CS在多层网络[已被调查14,22- - - - - -24]。不同于单层网络出现的CS的不稳定性引起的是最不稳定的横向网络模式,这仍然是一个挑战,找出CS在多路网络机制失去稳定。除了一些特殊的多路网络,没有严格的结果稳定性的CS虽然提出了一些近似方法(25]。

交互模式可能是时间在很多情况下,如电力传输系统(26],共识问题[27),和人沟通28]。在建模、时变交互模式可能是意识到在很多方面,例如,通过重新连接网络的时间29日),通过假设振子在空间移动(30.],通过允许网络拓扑的开关在几个特定的交互模式(31日]。同步对时变网络调查当振子可能在空间移动(32,33]。它已经表明,同步时间可能nonmonotonically取决于振荡器的流动和驱动同步机制是不同的不同的动力机制34- - - - - -37]。然而,在这些文献关于同步时变网络耦合函数总是相同的。在本文中,我们建立一个时变双工网络通过切换之间的交互模式和耦合振荡器之间的函数两个单层网络具有不同耦合函数和研究CS在混乱的洛伦兹振荡器。

本文组织如下。节2,我们的模型。时变双工网络特征的参数,转换频率和抵消的力量 。节3,我们首先考虑两个单层网络和研究CS。然后我们考虑时变双工网络由两个单层的和调查依赖CS的开关频率和抵消的力量。并给出了数值结果和讨论。节4,一个总结。

2。模型

我们认为网络组成的由混沌振子的运动方程 在哪里 是振荡器的三维状态变量 。我们认为混乱的洛伦茨动力学描述 。 和 的阶跃函数 如果 和 否则。和分别是两层的邻接矩阵。 ( )当存在一个振荡器之间的联系和在层( ),否则, ( )。的参数是抵消的力量。含双工网络减少了一层当 和单层为 。在任何给定的时间,振子相互作用通过层或通过层为 。增加抵消力量延长层代理网络。的参数是网络拓扑的开关频率占率之间交替层和 。在图层和 ,通过耦合振子相互作用的功能和 。除非指定,我们集 和 。 和占据优势的耦合层和 ,分别。

3所示。数值模拟

调查CS时间双工网络之前,我们看看CS单层网络。为简单起见,我们 。我们生成两个随机网络和这说明insets的数据吗1(一)和1 (b)。使用主稳定函数方法,CS的稳定性或可以分析解耦线性微分方程 与 。 拉普拉斯算子的特征值矩阵构造来自哪里我们假设 。除了特征值 同步网络会计模式,其他 非零代表了横向网络模式CS。和雅可比矩阵的相应函数评估在CS。CS的稳定性要求的最大横向李雅普诺夫指数, ,对于每个非零是负的。数据1(一)和1 (b)显示为 单层网络横向网络模式和 ,分别。显然,网络支持稳定CS 而CS总是不稳定的 。对任意扰动CS,它总是可以扩大的线性组合所有横向网络模式。随着时间的消逝,是网络模式的最大横向李雅普诺夫指数负责确定CS的稳定性。数据显示1(一)和1 (b),我们会发现,层 ,网络模式占主导地位的一个总是最大 。另一方面,占主导地位的网络模式取决于层的耦合强度 。例如,占主导地位的模式为 虽然它的变化为 。此外,我们计算李雅普诺夫指数谱模型动力学方程(1)网络和 。前四个最大李雅普诺夫指数对耦合强度和介绍了数字1 (c)和1 (d),分别。超出临界耦合强度 ,建立了CS网络因为所有的李雅普诺夫指数是负面的,除了最大李雅普诺夫指数的值接近 第二个最大李雅普诺夫指数为零。另一方面,计算机网络是不可能的和模型动力学可能混乱或长期有效的足够强大 。

然后,我们考虑时间双工网络由网络和在图1和关注的影响参数和在模型动力学(1)。测量的同步模型,我们考虑同步误差 ,这是由 指振荡器之间的欧几里得范数和和 代表时间平均。对于每个参数组合,同步误差平均值时间单位后瞬态时间单位。

我们第一组 计算机科学是一个吸引子层在哪里和 混乱的desynchronous国家实现层在哪里 。增加意味着振子层上花更多的时间 ,往往不赞成CS时间双工网络。兼容的直觉,图2(一个)显示,总是随 。似乎存在一个关键为每一个上面变成了零,是强调,迅速增加在低和似乎饱和值高 。图2 (b)礼物对为不同的 。为接近于1,非零和CS是不可能的。另一方面, 总是高吗当不是接近1。接下来,我们组 平衡的吸引子层在哪里 。的依赖对和介绍了数字2 (c)和2 (d)我们观察到类似的行为 。因此,CS时间双工网络混乱不敏感或常规动力学分离单层网络。要提出来,图1 (d)表明淬火状态 网络上的的最大李雅普诺夫指数是负的。图2 (b)进一步表明,淬火状态实际上是一个非齐次非零在 。

要在CS模型(概述1),我们现在在平面上的和 。数据3(一)和3(b)显示结果的参数组合( , )和( , ),分别。很明显,CS可能意识到在一个大范围的领域在参数平面上,例如,高和不接近1。实际上,存在两种动力机制取决于 。对于高 ,的关键分离CS desynchronous州大约是独立的 ,这大约是0.8 ( , )和0.6 ( , )。相比之下,低 ,参数政权支持CS狭窄。参数的增大平面数据3(c)和3(d)显示不规则边界CS和desynchronous国家低 。

结果在高可以理解如下。对于高 ,振荡器交换机之间的层间的交互模式和迅速。在这种情况下,快速交换近似(34,38),平均之间的交替的影响和 ,可能应用。因此,振子之间的交互模式可以由一个长期有效的双工网络近似和是两层的有效耦合的优点 和 在哪里 和是振子相互作用的时间在时间依赖网络 。就像社交网络,每个人可能同时与他人沟通网络通过Facebook和Twitter网络,在这个静态双工网络作为一个近似,同时每个振荡器可能与他人交流通过耦合两种不同的网络辅助功能和 ,分别。自是由 ,这是不变的对于一个给定的 ,这意味着和是由独特的。我们提出的平面相图和长期有效的双工网络 和 在图3(e)显示CS地区。然后我们提出有效耦合的优点和从耦合获得优势和时间上的双工网络通过改变从来与增量 。绿色的点在图3(e)是集( , )而红点的设置( , )。根据情节,我们发现的关键大约是为 和为 ,与数据的协议吗3(一)和3(b)。

另一方面,动力学是非常复杂的较低 。然而,对于极低 ,我们可以提出一些合理的解释。极低的 ,系统必须花足够长的时间在前一层切换到另一个。因此,横向网络模式在层和在层会有不同的对模型动力学的影响。解决这些影响从不同的网络模式,我们首先采取横向网络模式最大的横向李雅普诺夫指数在每一层的考虑,例如,在层层上 , 为 和为 。假设网络模式的横向李雅普诺夫指数的层是和层是 ,任何扰动远离CS演变形式 。在一个周期内的扰动衰减 , 应该比 。也就是说,它需要 与服从 对呈现在图3(f) 和 。很明显,在 高于 自在 更接近于0。然后,我们数值计算对为不同的和关键失调的发病以这种方式获得也呈现在图3(f)之间有很明显的差异和在的范围 在哪里可能会达到一个更高的价值比 。不恰当的近似的差异在于,只有最大的网络模式在每一层考虑。实际上,所有横向网络模式共同确定扰动远离同步混沌的演化。考虑到内部产品, ,网络模式在不同层确定扰动的再分配在时两层切换,我们认为,在一个网络模式的近似网络模式在一层应该纳入考虑取决于其内部产品与网络模式在其他层及其横向李雅普诺夫指数。沿着这条线,网络模式是一层吗至关重要 。在层 ,虽然最大李雅普诺夫指数吗 ,该产品 远小于 和 。因此,占主导地位的网络模式层方式是为 和否则根据图1 (d)。替换与横向李雅普诺夫指数与相应的主导模式(4),我们得到一个新的关键(表示为 )。如图3(f)所示,可能达到更高价值的范围 。

实际上,上述分析可以进一步证实了更换与另一个网络层(图的插图所示3(f)],使得整体交互模式不变,但重新振子层。的拉普拉斯算子有相同的特征值因此,CS的稳定性是一模一样吗 。不同于 ,之间的产品和大约是0.66,这确保网络模式是占主导地位的一个决定 。因此, ,根据收购 ,在的范围 大大地降低,差异和是大大降低,如图3(f)。

我们发现CS可能是建立在一个时间双工网络时的一层不支持CS。实际上,CS时间双工网络可以实现即使在两层不允许自己稳定的CS。说明,我们考虑耦合函数 和 CS是不稳定的,无论是在哪里或 。我们提出的同步误差在平面上的和在图4(一)与 和图4 (b)与 和 。除了参数政权接近 和 ,CS总是可以生产高的关键CS是麻木不仁 。图4 (c)显示了飞机的稳定性图和长期有效的双工网络。的关键在数据4(一)和4 (b)可以通过策划的有效耦合的优点和在不同的在图4 (c)。

4所示。结论

在这项工作中,我们构造时间双网络的网络拓扑两个单层网络之间周期性地交替进行。的时间属性网络的特点是抵消的力量和开关频率 。我们对这种类型的研究完整的混沌同步时间双工网络。通过监测同步误差,我们发现有两种动力机制根据切换频率 。对于高快速交换近似是有效的,时间双工网络可以用定态近似双工网络有效耦合强度。的关键稳定的CS的发病是独立的 。低 ,的关键强烈依赖于和两层的耦合强度。在极低 ,我们发现的依赖至关重要在耦合强度大致可以解释基于图片只有一个主导网络模式在每一层纳入考虑。我们发现,网络模式是主要是由其横向李雅普诺夫指数及其与占主导地位的一个内积层。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(批准号11575036,格兰特没有。11805021)。