文摘

模型的泛化Burridge-Knopoff spring-block调查来说明动态变换的缺点。该模型可以接受霍普夫分岔和折叠的极限环分叉。考虑到弹簧刚度的周期性,周期扰动的模型是进一步探讨通过延续技术和数值分岔分析。结果表明,周期扰动诱发丰富的动力学,存在,开关,和多个吸引子共存的包括与各个时期的周期解,准周期的解决方案,通过环面破坏,混乱的解决方案或级联倍增时间。在获得的结果,可以看到,系统体现等复杂动力学行为混乱,自组织临界性和动态行为的过渡时周期性扰动。即使是很小的变化一个参数会导致激进的变化动态,它提供了一个新的见解故障动力学。

1。介绍

系统包含一系列spring-blocks体现复杂非线性动态行为可以在地震现象有关。这种动态吸引了许多科学家的注意,在过去的几十年。检测到地震的一些特点,如周期性,混乱,和自组织临界性1- - - - - -4]。一般来说,地震主要被认为是由于滑动构造板块(5]。布里奇和Knopoff提出的物理模型动力学服从Gutenberg-Richter Omori-Utsu法律对某些参数(6]。之后,在1989年,基于Burridge-Knopoff模型,卡尔森和兰格进一步提出了另一个版本的BK模型故障动力学组成一个统一的连锁块和弹簧拉慢慢在粗糙表面(7]。这个模型可以产生不同大小的事件,和数值评价地震情况下结果的分布的幂律谱在本质上类似于地震。此后,丰富spring-block模型研究了优秀的数值模拟和统计方法8- - - - - -10]。时间延迟了一个块系统将系统转换为无限维度,这使得它可能发生的确定性混沌(11]。周期参数扰动时,Kostić等人表明,小扰动振荡振幅和角等参数的频率是足以改变原来的行为,导致混乱的发作(12]。介绍了瞬态周期性外力的影响来描述动态触发附近或遥远的地震的影响13]。

还有地震学中的一个重要问题。是地震的时间和空间复杂性产生的非线性方程或由于几何异构性问题?在[14),科勒曼等人注意到一个周期shear-heating intermediate-depth地震,产生周期性振荡的弹簧刚度在开车的缺点,提出一种系统中的异质性。在本文中,我们研究的目的是研究自然的和定期强制spring-block系统理论和给分岔分析在整个参数空间。Burridge-Knopoff (BK)模型,非线性动力学行为主要是诱导之间的摩擦块和下盘的粗糙表面。事实上,会有干扰的刚度弹簧由于环境影响,如温度变化在板块运动在不同的季节。自然地,一个新的问题出现了:周期参数扰动是如何工作的运动spring-block系统?要回答这个问题,我们关注spring-block模型之间的交互块,对应于运动诱导的下滑的缺点15]。

讨论的周期性强迫系统目前的工作是一个非自治系统,这使得问题更加困难。考虑到经典方法不能直接应用,延续应用技术和数值分岔分析调查复杂的动力学行为。我们将展示这种扰动会产生更复杂的动力学。它产生确定性的混乱和说明了开关的动态,多吸引子共存。存在周期解各个时期,准周期的解决方案。它可以解释上的周期性深源地震(16)、地震的不可预测性和系统自组织临界状态,雪崩之后(17]。因此,我们探索与周期性扰动模型可以产生spring-block系统更复杂的动力学行为。

2。模型和分岔

首先,我们开始从多个slider-block模型包括一个方格的滑块(3),见图1。的块驱动板驱动弹簧,弹簧常数 。每一块连着与连接器的相邻块弹簧,弹簧常数 。当块开始下滑,它的运动是由 在哪里块的位置吗 数组中,每一块的质量,介绍了动态块之间的摩擦力和块时表面移动,和是时间。

系统的行为是由两部分组成:系统的摩擦力和刚度 。很软系统 ,独立块展览粘滑运动行为。对于非常僵硬的系统, ,块的数组的行为作为一个单独的块(3]。线性阵列的多个slider-block slider-block模型模拟的模型和二维数组使用元胞自动机方法(18,19]。黄等人进行了模拟块的方形阵列使用静态动态摩擦和细胞自动机的方法(20.]。滑动事件的统计清单幂律分布。对于较大的僵硬的系统,整个电网的滑块有很强的相关性和大滑事件包括所有的块定期发生。软系统,系统的刚度相对较小,没有大事件在运动。到目前为止,大部分的文献报道基于slider-block模型的仿真结果。一个扩展是考虑一个线性链的一端滑块拉一个模型对故障传播破裂(21]。在下面,我们目前的理论分析和仿真模型包含一个链的基础上。

其次,我们探索模型包含一个连锁块通过谐波附加弹簧驱动板(图2),导致的粘滑运动运动块下盘的粗糙表面。块拖(使用弹簧的刚度 )在摩擦地板的司机移动速度在方向。连锁块相互耦合的谐波与刚度的弹簧 。我们的研究始于以下模型: 在哪里 , ,和质量、位置坐标和第i个块的摩擦系数,分别。法向力应用于块。由于地球介质的连续性,我们将讨论的问题连续系统的框架。应用动力学分析,我们发现有霍普夫分岔和褶皱的极限环分叉未扰动系统。

我们将讨论离散模型(2)的一个连续系统的框架。表达式 是采用无量纲变量代表第i个块的位置,在哪里每个块之间的长度。使用(2),它可以推断

物体的底部摩擦应力依赖政府遵循速度和摩擦定律(22] 在哪里是一个状态变量;是一个滑动距离特征。和是常数,表示的速率和时间依赖性摩擦,分别。和参考速度的稳态值吗 ,选择是哪一个在目前的研究。的下滑速度块,等于 。从(4),我们可以得到

在最近的研究中,地震被认为是波传播的盘子。之间的交互块类似波的传播在均匀各向同性弹性体(23]。因此,解决偏微分(3),变形中应变演化追踪通过分析行波变换。根据行波变换, ,在哪里行波的速度, , , 。方程(3)可以转化为下列常微分方程,使获取解决方案的形式传播问题: 相应的(4)和(5)被重写为

集 , ,和 ,,让表示的导数 。我们可以推断出运动的系统如下: 在哪里 都是积极的常量。通过我们nondimensionalize数量 设置 , , , ,和 ,让表示的导数在下面,放弃所有的酒吧,然后系统(10)成为 很明显,系统(12)只有一个平衡 。的雅可比矩阵的形式 对应的特征方程

然后对系统(12),我们有以下结果。

定理1。(1)平衡是渐近稳定的,如果 (2) 是不稳定的,如果 或 。(3)系统(12)经历了霍普夫分岔

证明。表示 前两个项目可以很容易地获得关于Routh-Hurwitz判据或分别作为分岔参数。我们关注的是第三例。考虑作为分岔参数。替换 ( )到(14)的收益率 三根是 另一方面,从(14我们可以获得 因此,对于 类似地,如果我们把作为分岔参数, 和 为 。这就完成了证明。

第一个李雅普诺夫系数决定霍普夫分岔的方向可以由公式直接计算(24减少系统(后)12)。我们选择不存在这里由于我们不能给简洁明确的条件的复杂性来确定它的符号。因此,我们表明,可以替代模拟如下签名或者消失。在我们的模拟下面,我们将呈现霍普夫分岔的曲线 飞机。所以我们必须确保横截性条件时或作为分岔参数。这就是为什么我们选择不同的霍普夫分岔参数展开定理1。

系统的分叉曲线(12)在图3对两组不同的参数,我们表明,第一个李雅普诺夫系数可以有备用信号或消失在某些参数值。和广义霍普夫分岔褶皱附近检测到极限环分叉。和分别代表了超临界与亚临界霍普夫分岔。是褶皱的极限环分叉曲线。三角形是广义霍普夫分岔贴上 。在图3(一)平衡区域1中是稳定的。当从区域1到区域2中,交叉变得不稳定和一个稳定的极限环。如果穿越从3区2区(见图的放大3(一)在图3(b)),恢复稳定和不稳定的极限环。在区域3有两个极限环:一个不稳定的;一个稳定的。在曲线地区3中的两个极限环相撞导致一个semistable极限环区域1中消失了。

这里我们提出另一个图3(c)对应的分岔图定期强制系统图6。在图3(c),不稳定地区1;变得稳定和不稳定的极限环产生从区域1到区域2。穿越从区域2区域3,再次变得不稳定,会出现一个稳定的极限环。两个极限环地区3碰撞曲线产生一个semistable极限环区域1中消失了。

3所示。该模型与周期性扰动

行波变换和nondimensionalize之后,我们介绍与时间有关的扰动,将礼物,即使是一个小振荡在弹簧刚度可以充分改变原来的行为,导致混乱的破裂或其他复杂的动力学行为。

的参数是由一个线性变换的参数 。因此,参数反映了块和驱动板之间的弹簧刚度。在滑块,考虑外部的影响参数(如温度、粘滞性质,或滑动速度),参数不会总是保持一个常数;波动在一定的常数在现实的运动。设置最小值和最大值之间波动。存在周期性shear-heating intermediate-depth地震[14],它可以产生周期性振动的弹簧刚度在开车的缺点。和缓慢沿着断层破裂或强迫的振动的来源,地球潮汐,水库的影响也可能诱发一些周期性的扰动25,26]。所以我们选择一个正弦函数呈现这种扰动(见图4),然后分析这样的周期性扰动参数如何影响系统的动态行为。事实上,尽管现实地震波不存在理想正弦扰动,这种周期性的扰动也可以生成有意义的注意,一个真正的波型正弦波的叠加。

的周期性扰动这反映了弹簧的刚度是写成 的参数的值是,没有扰动或等价的平均值摄动;扰动的振幅。在此设置,请注意是正的;我们有 ,而对于一个给定的 ,的参数决定了振荡幅度。对于一个给定的 ,的参数纵截止。我们调查的动力学行为 参数空间。

为了简化分析,我们修复 。系统(12可以转换成) 为了研究周期性强迫的动态系统(27),我们将系统转换为一个高维自治系统通过增加迫使系统解耦对常微分方程的振荡所需的形式强制的解决方案。也就是说, 系统(28 d)- (28日e)有一个渐近稳定周期解 这样的平衡 对应于二维的系统的周期解 五维系统 。我们可以研究周期解是否能够生存和自然系统的分岔的平衡是否可以扩展到被迫系统分岔周期解时 。

识别和定位的标准程序分岔周期系统,如(27)使用庞加莱映射将连续系统转换为一个离散的采样方案一旦在每个迫使时期。我们的系统迫使周期是一年,所以庞加莱映射 庞加莱映射的相图由固定的点,规则和不规则的不变集,和所有其他轨道。特别是,我们将考虑(我)固定的点th迭代的地图,这对应于subharmonical周期解 ;(2)地图的封闭和常规不变集,对应的准周期的解决方案(不变的圆环面);(3)不规则的不变集,对应于混乱的解决方案(奇怪的)。

不动点的地图分叉在某些参数值的不动点变化的稳定性。定期强制系统的常微分方程,相应的庞加莱映射返回发生分岔包括NS (Neimark-Sacker),翻转(期翻倍),和切(褶皱)分岔。在[会议后27),我们使用 , ,和表示上述分叉曲线的不动点分别th庞加莱映射的迭代。

通过延续,上面的分叉曲线数值计算。在下面展示的分岔图,我们使用以下余维数2分岔点的庞加莱映射组织中心:(我) , 或 :1:1共振;(2) , 或 :1:2共振;(3) , 或 :1:3共振;(iv) , 或 :1:4共振。

在下面,我们将探索和现在的庞加莱映射的分岔图对应于两种不同的情况下的系统的。原始连续系统的通信解决方案的庞加莱映射上面给出。

案例1。自然系统(12)经过超临界霍普夫分岔时不同与其他参数固定。

采取 ,系统(12)经过超临界霍普夫分岔时是不同的(图3(a))。对于这些值,非受迫性系统在一个稳定的极限环振荡。的渐近周期循环(评估数值) 当方法 。系统的分岔图28),(28 b),(28 c),(28 d)和(28日e) 平面见图5。

在图5(一),这一点( )在 - - - - - -轴对应的超临界霍普夫分岔的系统。点期间的稳定极限环的系统是2。在区域1中,系统(28),(28 b),(28 c),(28 d)和(28日e)有一个稳定的时期一个解决方案。事实上,它是 。周期解失去稳定区域2(下图 )和一个稳定的准周期的解决方案可能破坏出现在一些次区域附近的2×1 -结构强烈的共振导致混乱。当或是交叉地区(3),右边两个周期解决方案与两个出现:一是稳定的;另一个是马鞍型。4和5的地区,只有一个周期两个解决方案仍然稳定在5 4和不稳定。即鞍型时期消失在两个解决方案 。另一方面,这一时期一个解决方案成为鞍地区4和5(穿越 )。地区在地区6中,这段时间两个解决方案4和5是鞍类型和一段四个解决方案。

例2。自然系统(12)时经历了亚临界霍普夫分岔不同与其他参数固定。

采取 ,系统(12)时经历了亚临界霍普夫分岔是不同的(图3(a))。对于这些值,非受迫性系统有一个不稳定的极限环。的渐近周期循环(评估数值) 当方法 。系统的分岔图28),(28 b),(28 c),(28 d)和(28日e) 平面见图6。注意,图6(e)几乎是一样的人物6(c),也就是说,图的一部分6(一)之间的部分几乎是一样的吗和 。我们必须提到,以上 ,有类似的结构。我们选择不存在更多的在这里。以下我们仅分析部分如图6(c)。

在图6(一),这一点( )在 - - - - - -轴对应的亚临界霍普夫分岔的系统。我们将理解图6(一)从数据的放大6(b),6(c),6(d)6(e),在图6(b),系统不稳定的时期有一个解决方案( )在区域1;变得稳定在区域2和一个不稳定的准周期的解决方案出现,这可能是被一些架结构。在区域3,一个解决方案变得马鞍类和一个稳定的时期两个解决方案似乎变得不稳定地区4和5。此外在地区4中,存在一个周期解的四个时期。

在图6(c),系统有一个稳定的时期一个解决方案在区域1;它变得不稳定地区2和3和4。在区域3中,有一个马鞍类周期解2。在地区4,系统有一个稳定的时期两个解决方案将不稳定的地区5,6,7。5和7地区存在一个周期解的四个时期。此外,有一个非常接近 。之间的和(区域1图6(d)),有两个时期两种解决方案:一个稳定;一个马鞍型。

4所示。复杂动态行为

我们已经探讨了spring-block模型的动力学考虑一系列模块之间的交互。比较分岔在上面的部分中,我们可以看到,周期性的扰动可以生成丰富的动力学。

在下面,我们将在图5作为一个例子来理解复杂的动力学。首先,周期性扰动支持多个吸引子的存在。事实上,非受迫性系统( )总是一个独特的吸引子;这是一个平衡和一个极限环 。定期强制系统( ),存在多个吸引子。例如,在某些次区域3(下图 )稳定的时期2第一共存周期和准周期的解决方案,然后一个混乱的解决方案;参见图7,8,9。数据7(一)和7 (b)显示解决方案 ,我们看到一个周期解的两个和一个准周期的解决方案(或一段非常高的解决方案),分别。数据7 (c)和7 (d)是解决方案 。解决方案图7 (c)的两个时期。解决方案图7 (d)被认为是一个混乱的解决方案,这将在稍后解释。使数据之间的差异7(一),7 (b),7 (c),7 (d)不同的初始值。类型的解决方案更具有可读性,我们给他们的肖像和庞加莱截面数据阶段8和9。特别,准周期的解决方案在图7 (b)在图和混乱的解决方案7 (d)太相似,区分是否准周期的或混乱。甚至他们的庞加莱截面看起来相似。然而,从局部放大图9 (d)在右上角上我们可以得出这样的结论:庞加莱截面图7 (d)不是一个常规闭合曲线的图吗7 (b)。因此我们考虑图中的解决方案7 (d)混乱和将计算最大李雅普诺夫指数来验证它。

图中的确定性混沌7 (d)进一步证实了通过计算最大李雅普诺夫指数的积极价值。我们使用狼方法计算最大李雅普诺夫指数(28]。首先,我们基于时间序列的相空间重构 在图7 (d),在那里是数据点的数量。在重构相空间之前,时间延迟是由使用互信息方法(29日),和嵌入维度由Cao-method[计算30.]。定义 ,在哪里是第i个进化时间;的集合 构成了重构吸引子。从一个初始点开始, ,并找到其最近邻点, 。设置两个点之间的距离 ;我们跟踪的演变两个点,经过一段时间的在这两个点的距离的演化 ,在哪里是一个给定的常数小比最小距离的两个点。然后找到的最近邻点 ,并把它写成 ,的角距之间的进化和替换元素尽可能小。两个点之间的距离 。跟踪进化重复以上步骤,直到结束的时间序列。设置在进化的迭代次数 ,最大李雅普诺夫指数 。在这种情况下,我们计算出的最大李雅普诺夫指数 ,在时间延迟 ,和嵌入维度 。积极的最大李雅普诺夫指数表明,解决方案在图7 (d)是混乱的。

其次,在一些地区的人物5即使是很小的变化一个参数会导致激进的改变系统的行为。例如,在区域1的系统只有一个吸引子,即稳定循环周期为1。如果正在慢慢增加固定的,稳定的周期变化平稳,失去稳定 。后系统交叉,震荡在另一个吸引子,即。,一个稳定的周期的两个时期。另一方面,如果现在慢慢减少,穿越之后 ,稳定的时期两个周期就会消失;系统在一个稳定的振荡周期循环。

此外,在图5,我们可以找到倍增时间的级联 ,从而导致一些次区域的混乱地区6中所示的图吗10。准周期的解决方案可以被一些架结构产生混乱中所示的数据9 (c)和9 (d)。

此外,粘滑运动解决方案的系统(27)在图给出11,这表明粘滑振动系统中存在。长棍之间有短滑阶段阶段,和粘滑运动运动穿过零速度点停止。坚持阶段对应于能量的积累和相对应的滑移阶段释放的能量。时间的能量积累(粘阶段)比弛豫时间长(滑动阶段)。这意味着能量的长时间积累后,系统达到临界状态,然后能量完全释放,这是一个自组织临界状态的特征。

进一步调查spring-block系统上的一个周期扰动的影响,提出了离散的数值模拟系统(2)。请注意,是一个线性变换的 ,周期性的扰动 ,离散系统(2)与速度,依赖摩擦定律(4),(5)是数值求解的周期性边界条件下不同的参数 , , 。考虑,在 ,每个块的滑动速度是未知的,所以设置作为一个随机数,小于 。有不同大小的滑动事件,其中一些数据所示12(一个)- - - - - -12 (c)在滑动速度的形式的函数的位置和时间 。中使用的参数数值模拟图所示12。对于一个给定的 ,滑块的速度较低的小 (数据12(一个)和12 (b))。对于一个给定的 ,它表明,滑块滑动速度较低的小 (数据12(一个)和12 (c))。最具特色的功能12(一个)- - - - - -12 (c)是振荡在滑动速度对应的粘滑运动的振动系统。从数值模拟,有大型滑动事件时参数或是巨大的,这意味着滑动速度可以减少通过改变参数摄动。

此外,根据计算结果,统计数据的滑动速度 - - - - - -th块显示拟合指数的幂律分布 (图12 (d))。使用 可以推断,压力下降, ,也服从幂律分布,这意味着spring-block系统自组织临界行为。系统演化的自组织临界状态然后用大崩溃破裂滑动速度,可以获得在现实观察地震基于数据分析(3]。

5。结论

在目前的工作中,我们调查的泛化Burridge-Knopoff spring-block模型。它经历了霍普夫分岔和褶皱的极限环分叉没有参数摄动系统。考虑一个小弹簧刚度的周期性波动,周期性扰动的模型是进一步研究通过延续技术和数值分岔分析。它表明周期性扰动诱发过渡的动态,存在,开关,和多个吸引子共存的包括与各个时期的周期解,准周期的解决方案,通过环的破坏和混乱的解决方案或级联周期倍增,这是spring-block中的振荡的机理模型。此外,在数值模拟的基础上,第i个块的滑动速度的统计数据,显示了一个幂律分布表明自组织临界状态,这是一个功能在实际观察到的地震。它是重要的来说明动态行为混乱和自组织等状态。当系统混乱,系统的演化规律可循的解决方案对初始条件的敏感性,在理论上和破裂是出乎意料的。自组织临界状态,系统处于一个稳定状态和相对可控当积累的能量小于阈值。系统将会崩溃一次能源系统中积累超过一定的阈值

目前的工作赋予了新的方法混乱,quasiperiodicity,周期性spring-block模型。在[31日),大卫·r·雪莱研究了一个8.5年里900多的低频地震序列。这些事件表现出紧密聚集复发,包含周期,混乱,和两倍的地震。大型非随机偏离周期性行为可能中断近周期性的事件序列。尤其是,即使是很小的变化能产生剧烈变化的动力学参数。观察到的现象是对应于在目前工作的结果。此外,数值模拟表明,该滑块的速度可以通过减少已故参数摄动,这将促进大型地震活动的减少。

它表明,破裂的确定性混沌可以观察到,即使是一个很小的扰动, 。这个结果与之前的研究(32],显示发生的确定性混沌Burridge-Knopoff单块模型的控制参数 。此外,埃里克森等人表明,混沌脉冲从20到21块数量的增加 (1]。因此,目前工作也意味着混乱的破裂不必依赖于块的数量,这是与以往的研究一致spring-block的动力学模型与时间延迟(11]。

这一研究获得的结果可用于滑坡模型的发展,当系统受到外部扰动(小33,34),考虑到滑动过程可以描述由一个滑块沿粗糙表面移动。Kostić,美国等人分析了单块模型的动力学,发现小扰动的初始剪应力诱发混沌理论(35]。时产生的周期性干扰内部结构的异构性,一个有趣的问题,有什么区别的混乱引发的外部条件或内部结构吗?在目前的工作成果可能为这个问题提供一个理论参考。

这个spring-block模型可能与变换的缺点,也是有意义的注意,研究这种spring-block Burridge-Knopoff模型可以提供有用的线索地震学中观察到的现象(31日),这是解决的关键科学问题是否可以预测地震或改变。与此同时,目前的研究还提供了一个参考无序材料塑性变形的问题,这是有关spring-block模型(36- - - - - -39]。一些专家研究了损伤过程,讨论了离散模型基于物体的势能系统(40- - - - - -42]。point-to-face接触和边缘接触的模型提出了形成的一部分接触理论(43,44]。在当前的模型中,考虑切向弹簧。如果正常的春天还介绍,系统变得更加复杂。它仍然是一个开放的和具有挑战性的问题需要进一步调查。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究是由中国国家自然科学基金资助(11771407和11771407号)和中国博士后科学基金会(没有。2018 m632790)。