文摘

领域的复杂的系统,需要更好的知识发现由于其非线性动力学的方法。混沌或超混沌系统的数值模拟主要是执行的四阶龙格-库塔法和其他方法在以前的工作很少报道。一种新方法,将整个间隔N平等的小区间基于无网格搭配方法,建造。一些新的复杂动力学行为通过使用这种新方法,显示结果吻合良好的四阶龙格-库塔方法。

1。介绍

本文展示了一些小说类的复杂动力学行为的四维混沌或超混沌系统,和一个四维系统(1)是作为一个例子来说明解决方案的过程。

我们考虑以下四维系统: 与初始条件如下: 在哪里 状态变量和 是积极系统的参数。我们假设系统的解决方案(1)和(2)存在,它是独一无二的。

近年来,一些新的四维混沌或超混沌系统(1- - - - - -7]。在[1),作者提出了一个四维超混沌系统和调查和分析等复杂动力学行为最终有界性,混沌和超混沌同步。在[2),作者报告了四维耗散混沌系统,和丰富的混沌动力学系统的共存是通过李雅普诺夫光谱研究,分岔图,Poincarė地图,频谱和吸引子图。在[3),作者讨论了两个混沌系统之间的同步不同的顺序使用一种自适应控制方案。在[4),提出了一种四维自治系统与复杂系统动力学,和复杂的动力学行为进行了动态分析方法,如时间序列、李雅普诺夫指数谱,分岔图和相位肖像。在[1- - - - - -8),作者使用了四阶龙格-库塔方法模拟混沌或超混沌系统。在本文中,我们主要介绍一种改进的无网格配置方法来模拟超混沌系统与长期的动态行为。

2。搭配无网格方法

超混沌系统具有两个或两个以上的正的李雅普诺夫指数。至少四维的整数阶连续自治系统需要为了生成一个超混沌系统。混沌序列的系统更加依赖参数和初始条件,及其动态行为更难以预测。它的吸引子是更复杂的比一般的吸引子。扩散和混乱在几个维度空间可以同时进行。因此,超混沌系统具有明显的优势低维混沌,和它的高精度数值解是非常重要的。

在本节中,我们介绍一种改进的无网格搭配方法解决四维混沌或超混沌系统,和要点如下。

我们变换系统(1)方程(5)搭配使用无网格方法(9]。我们构建以下系统的线性迭代格式(1):

搭配使用无网格方法, 可以写成(9,10] 重心插值的主要功能 和 重量重心插值。

插入(4)(3),然后让 ,格式(3)可以转化为下面的线性代数方程(9,10]: 在哪里 是米顺序矩阵,我是米阶单位矩阵,向量

Schneiaer和沃纳11]介绍了利用高阶有理插值函数无网格配置方法。重心有理插值函数的表示法具有各种优势相比其他表示如继续分数。水藻和Berrut12]介绍了搭配无网格方法求解一般双曲问题,证明了其稳定性和收敛加权准则。李,王13,14]给出了算法和程序的无网格配置方法,并指出搭配无网格方法具有精度高,稳定性好,收敛(15- - - - - -19]。然而,该方法不能直接应用超混沌系统的解决由于巨大的错误。因此,一种改进mesheless搭配方法,它把整个时间间隔 成N平等的小区间,由以下部分构成。

我们获得方程的解(5在每一个时间间隔) 。

把间隔 成N平等的小区间 ,让 与 和 。在 ,选择第二类切比雪夫节点 ,和使用(4)和初始条件(2),我们可以得到

替换的第一行方程(5)与初始条件(6)和求解方程(5)已经取代了初始条件(6),我们可以得到数值解 的系统(1)和(2) 。

在 ,选择第二类切比雪夫节点 因为 已经获得的 。使用(4),我们可以得到

替换的第一行方程(5)与初始条件(7)和求解方程(5)已经取代了初始条件(7),我们可以得到数值解 的系统(1)和(2) 。

同样,在 , 我们可以得到系统的数值解(1)和(2) 。在获得所有的小区间的数值解,这些解获得数值解结合方程(1)在整个区间 。

很容易看到,目前的方法提供了一个全球平滑数值解由于获得的数值解及其一阶导数的连续性在两个相邻的间隔的共同的终点。

根据以上公式,计算机代码编程。存在、独特性和近似解的收敛性是通过使用计算机代码。

从上面搭配无网格方法,我们可以得到下面的定理。

定理1。如果 可数密集点在吗 ,线性迭代格式(3)的收敛, 方程解(1), 方程解(3), 方程解(5)。然后, 在数值实验中,我们选择初始迭代值 。迭代控制的准确性 ,,让 。

3所示。数值实验

在本节中,一些数值试验研究证明本方法的准确性。使用Matlab R2017a实验计算。

实验1。我们考虑以下四维系统(1]: 在哪里 积极的系统参数,满足初始条件如下: 李雅普诺夫指数的实验1所示图1。实验1的复杂动态行为数据所示2- - - - - -9。


图1
李雅普诺夫指数的实验1 - 3。

图2
相图实验1 : 相图的x; 相图的y; 相图的z; 相图的 。

图3
阶段实验1的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 空间。

图4
实验1的时间演进 :(c) 州;(d), 州。

图5
相图实验1 : 相图的x; 相图的y; 相图的z; 相图的 。

图6
相图实验1 : 相图的x; 相图的y; 相图的z; 相图的 。

图7
阶段实验1的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 空间。

图8
阶段实验1的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 空间。

图9
阶段实验1的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机。

实验2。我们考虑以下四维系统: 在哪里一个是真正的参数,满足以下初始条件(图10): 李雅普诺夫指数实验2图所示1。实验2的复杂动态行为数据所示11- - - - - -13。


图10
阶段实验1的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机。

图11
阶段实验2的肖像 : 相图的x; 相图的y; 相图的z; 相图的 。

图12
阶段实验2的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机。

图13
阶段实验2的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机。

实验3。我们考虑以下四维系统(7]: 在哪里一个系统的参数,满足初始条件如下: 李雅普诺夫指数的实验3所示图1。实验3的复杂动态行为数据所示14- - - - - -19。


图14
阶段实验3的肖像 : 相图的x; 相图的y; 相图的z; 相图的 。

图15
阶段实验3的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机。

图16
阶段实验3的肖像 : 在 空间; 在 空间; 在 空间; 在 空间。

图17
阶段实验3的肖像 : 相图的x; 相图的y; 相图的z; 相图的 。

图18
阶段实验3的肖像 : 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机; 在 飞机。

图19
阶段实验3的肖像 : 在 空间; 在 空间; 在 空间; 在 空间。

4所示。结论和讲话

摘要搭配一种改进的无网格方法,该方法将整个时间间隔 成N平等的小区间,构造了一类四维混沌或超混沌系统。数值结果表明,这种方法比其他mesheless搭配的方法更有效和准确。一些新的复杂动力学行为显示通过使用改进的方法。值得注意的是,改进后的方法也可以用来解决其他类似问题(19,20.]。在进一步的工作中,我们将致力于研究一些分数阶混沌系统。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关这篇文章的出版。

确认

这项研究得到了内蒙古自然科学基金(2017 ms0103),内蒙古制造商济宁师范大学协同创新中心,和中国国家自然科学基金(11361037)。