文摘
本文认为by-claim风险模型下的渐近线的独立或依赖渐近线的每个主要观点及其by-claim之间的结构。在重尾分布主要主张和功效,我们得到一些破产概率的渐近性态。
1。介绍
考虑一个连续时间没有利率的风险模型中,每个严重事故导致两种说法:一是立即引起的事故,主要观点,引起的,另一个是补偿发生一段时间后,称为by-claim。盈余过程可以被描述为 在哪里代表一组的指标函数 。在关系(1), 被解释为最初的储备保险公司, 保险费率是常数,的大小吗主要发生在到达时间 ,计算过程 代表了事故的数量(等于主要声称)之前的时间 , by-claim对应的大小吗th主要观点事故发生后表示不确定延迟时间到达时间 。在此设置中,限定时间和无限时间破产概率可以被定义,分别
最初这种by-claim风险模型研究了袁et al。1),可能是实际使用的保险。例如,交通事故会导致不同类型的索赔,包括汽车立即偿付损害和另一个延迟医疗要求司机受伤,可能需要一个随机的时间内解决。
我们关心的是限定时间和无限时间破产概率的渐近行为,因为,除了一些情况下理想分布的假设下,封闭的破产概率的表达式 或不是可用的。因此,这项研究的主流关注描述破产概率的渐近性态。取得了一些早期作品light-tailed和互相独立的主张;也就是说,这两个 和 是独立同分布的序列(先验知识)和light-tailed非负随机变量,它们是相互独立的;看到袁和郭2肖),和郭3),吴和李4),和李、吴(2015)。
显然,建模总剩余应该解决极端风险,这源自的边际尾巴,尾巴索赔之间的依赖。在过去的十年中,越来越多的注意力都集中在重尾分布和它们之间的依赖关系。在重尾分布要求尺寸,唐5],Leipus和Šiaulys [6,7),杨et al。8王),et al。9),刘等人。10),杨和袁11),杨et al。12,13陈,et al。14调查一些独立或依赖风险模型没有功效。李(15)被认为是依赖by-claim风险模型与积极的利率和长期变化的跟踪主要主张和功效成对quasi-asymptotical独立结构(参见下面的定义)。傅和李16李]进一步推广的结果通过允许保险公司投资盈余组成的投资组合风险和风险资产。最近,李17]研究了by-claim没有利率的风险模型下的设置,每一对的主要观点和by-claim遵循渐近线的独立结构或具有二元定期不同尾(因此,遵循渐近线的依赖结构)。
在本文中,我们继续考虑上述by-claim风险模型(1)。准确地讲,让 是一个非负序列和i.i.d.随机向量,代表主要主张和功效,与通用的随机向量 有边际分布 , 和有限的手段 , 。假定计算过程,不一定是更新一个, 由恒等分布的生成和非负interarrival时间 ,用有限的意思是函数 。延迟时间 是一个序列的非负随机变量(可能退化为零)。此外,我们假设 和 是相互独立的。
灵感来自李的工作17),我们的目标是获得大幅限定时间和无限时间破产概率的渐近一些依赖by-claim风险模型。我们做一些有意义的调整和扩展模型。首先,我们允许某些依赖结构interarrival倍 ;也就是说, 并不一定是更新计数过程。第二,当调查无限时间破产概率,我们扩展分布和一直跟踪不同的情况下,主要的要求和by-claim是渐近独立的。我们还补充另一个案例和时任意的依赖占主导地位 。
剩下的纸是组织如下。部分2准备一些预赛包括一些形式给出的重尾分布类和依赖的概念结构。部分3展示我们的主要结果。主要结果的证明以及几个引理证明所需的部分4。
2。预赛
在整个论文中,根据所有限制关系 ,除非另有说明。两个积极的功能和 ,我们写 如果 ,写 或 如果 ,和写 如果 。此外,有两个积极的二元函数 和 ,我们写 统一为 如果 。对于任何 ,我们写 和 。
在这篇文章中,我们应当限制权利要求分布形式给出的重尾分布类的支持 。一个常用的类是类持续跟踪不同的分布。一个分布属于类 ,如果 ,在那里 对所有 。是一个广泛的类密切相关长尾分布。一个分布属于类 ,如果 对于任何 。一个重要的子类是类定期跟踪不同的规定 对于任何 和一些 ,用 。读者被称为Embrechts et al。18和自由/开源软件等。19)相关讨论的子类的属性重尾分布。
建模一个实际的风险模型必须认真解决渐近线的每一对之间的依赖之间的主要观点及其相应的by-claim或interarrival倍。渐近线的依赖性同时代表两个组件的概率大不能用一个组件被大相比可以忽略不计。一般来说,两个随机变量和据说是渐近依赖如果他们有一个积极的系数(上)尾依赖,定义的 见,例如,麦克尼尔公司等。20.]。以下的二元概念规律的变化展现了渐近两个随机变量的依赖。一个随机的对 值在据说遵循与二元分布规律不同(BRV)如果存在一个分布的尾巴和一个非退化(即。,而不是相同的 )限制措施这样下面的模糊收敛是适用的: 一定,是经常变化的。假设 对于一些 ,在这种情况下我们写 。根据定义,一双随机 ,如果 ,那么它的边际反面满足 这意味着 在(4)显示,和渐近的依赖;见,例如,唐et al。21和唐和阳22]。如果 在(4),那么和是渐近独立的。自然延伸的概念quasi-asymptotical独立(QAI)提出的陈和袁23),定义为 在我们的主要结果中我们将使用的结构BRV或QAI模型相对应的主要观点及其by-claim和捕捉他们的尾巴同时依赖。以下依赖的概念结构是一个特例的渐近线的独立性,将用于描述inter-arrival倍。一个序列的随机变量 据说是广泛依赖上象限(WUOD),如果存在一个有限的真正的序列 令人满意的,对于每个 和所有 , ,据说被广泛依赖较低的象限(WLOD),如果存在一个有限的真正的序列 令人满意的,对于每个 和所有 , 的顺序 据说是广泛依赖象限(黑暗世界),如果两个(8)和(9)举行。在这里, 被称为控制系数。这种依赖结构由王等。24]。特别的,当 对于任何 在(8)和(9)的随机变量序列 据说上消极依赖(和)和低负相关(LND),分别。序列是消极依赖(ND),如果是和和LND。看到Ebrahimi Ghosh [25]。注意,ND结构弱于著名的负关联;看到阿拉姆和Saxena [26]和Joag-Dev Proschan [27),等等。
3所示。主要结果
在本节中,我们首先介绍一些假设by-claim风险模型(1)。在本文,我们 与通用i.i.d.随机序列对随机向量 有边际分布和无论是在和有限的手段和 ,分别;让 依赖于一个非负序列和随机变量与有限的意思 ,是独立的 ;,让 是一个非负序列上有界随机变量;也就是说,存在一个正的常数这样 对所有 。此外,像往常一样在没有利率的风险模型,我们需要安全装载情况: 我们的话,上有界的合理性的功效应该发生在终止日期之前由于保险政策,和安全加载条件(10)排除了简单的情况 。
下面是我们的第一个主要结果,负责调查无限时间破产概率的渐近在三种结构之间的依赖和 。
定理1。考虑by-claim风险模型(1)与WLOD interarrival倍
令人满意的
对于一些
。进一步假设满足以下四个条件中的任何一个。
条件1。
是一个LND随机变量序列。
条件2。
是一个黑暗世界随机变量序列,存在一个积极的和不减少的功能吗这样
,
对于一些
,
和
;在这里,
意味着存在一些
这样
条件3。
是黑暗世界的序列随机变量
对于一些
,并且存在一个常数
这样
条件4。
是黑暗世界的序列随机变量
对于一些
,而且,对于任何一个
,
(我)假设和QAI。如果
和
,然后
(2)如果
,对于一些
和
,然后
在哪里
。(3)假设和是任意的依赖。如果
和
,然后
我们的话,如果条件1是满意,也就是说, 是一个LND随机变量序列,那么(11)自动保存。
我们的第二个结果是关心限定时间破产概率的渐近性态。比较定理2的李(17),我们允许 是一个quasi-renewal计数过程产生的黑暗世界,恒等分布的inter-arrival倍 ,而应是一个泊松过程在李17]。
定理2。定理的条件下1,假设 是一个黑暗世界和恒等分布的非负随机变量序列,(112)和条件定理1感到满意。然后,对于每一个 , 认为如果以下持有:(我) 和QAI, 对于一些 。在这种情况下, 。(2) 对于一些 。在这种情况下, 。(3) 和是任意的, 对于一些 ,和 。在这种情况下, 。
李所指出的(17),定理2表明,鉴于发生破坏,破坏时间除以收敛在帕累托分布随机变量的二型。此外,如果 是一个ND随机变量序列,那么(112)和条件定理1都是自动满足。
4所示。主要结果的证明
我们的两个主要结果的证明之前,我们首先引用一系列的前题。考虑一个非标准的风险模型 在哪里 是一系列i.i.d.与一般的随机变量非负随机变量 。(2)和(3),定义无限时间和限定时间风险模型的破产概率(19),取而代之的是 ,表示他们 和 ,分别。下面第一个引理的来自推论王et al。(9];看到一些类似的结果在杨et al。8]。
引理3。考虑一个非标准的风险模型(19),索赔 与共同建立i.i.d.非负随机变量序列分布和有限的意思 ;interarrival时报 是一个非负序列、NLOD恒等分布的随机变量和有限积极的意思吗 这样,(11)是满意的;和 和 是相互独立的。进一步假设条件1 - 4的定理1是满意的。如果 和(10),那么,对于任何这样 , 拥有统一为所有 ,在哪里 。
我们指出,推论2.1王et al。9)给一些情况下当讨论统一渐近 ,他们允许的分布强烈subexponential。
第二个引理中可以找到杨et al。12]。
引理4。让 是一个随机向量和边际分布和无论是在 ,分别,但和是任意的依赖。如果 和 ,然后
第三个基本更新定理引理给出了黑暗世界随机变量,这是由于王定理1.4和程28]。
引理5。让 是一个非负序列,黑暗世界,同分布随机变量有限积极的意思 ,构成一个quasi-renewal计数过程意思是函数 。如果条件2的定理1是满意的,那么 作为 。
唐所指出的(5),很容易看到,引理的条件下3利用引理5关系(20.)持有取而代之的是 ,但均匀性的范围变得越来越小。
引理6。条件下的引理3此外,如果 是一个非负序列,黑暗世界,同分布随机变量与有限积极的意思吗 ,这样,(112)和条件定理1感到满意,那么 拥有统一为所有 ,在哪里是一个任意无限增加功能和 。
证明。的前题3和5,对于任何 和所有 ,当是足够大,我们有吗 上界,右边的(24我们已经足够大和所有 , 总结了上界的霸道 。我们接下来考虑下界。同样,左边的(24我们已经足够大和所有 , 对于一些 ,在最后一步持有,因为 和 , 这就完成了引理的证明。
我们现在准备两个主要结果的证明。
定理的证明1。我们首先考虑的尾概率 。(我),和QAI和 , ,使用定理3.1的陈和袁23我们有 暗示 。(2), 我们有 暗示 。(3),应用引理4给了 也暗示 。上面的三个关系,在一起(21),导致 第一个等价的(31日),我们有 对于任何固定 因为 。然后,我们可以遵循相同的行李17)来验证 因此,理想的关系(15)- (17)持有的(31日)和(32)。
定理的证明2。定理的条件下2,(28)- (30.)我们有 与 中指定的定理2。由引理6我们为每一个 , 通过这个,(31日),根据Karamata定理,我们得到 类似于(32李),(17)证明 因此,理想的关系(18从()之前32),(34)和(35)。这就完成了这个定理的证明。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金支持的(国家自然科学基金委:71671166)。