的极值Permanental和Quasi-Tree图

文摘

让是一个图,的邻接矩阵 。永久的矩阵 被称为permanental多项式的 。permanental总和的是系数的绝对值的总和的permanental多项式的 。#穷举计算permanental总和。在这个报告中,我们证明permanental的最大值和最小值的总和quasi-tree图表。和相应的极值图也决定。此外,我们还确定图的最小permanental总和quasi-tree图之间的秩序和大小 ,在哪里 。

1。介绍

的永久的 矩阵 被定义为 和接管所有的排列在哪里的 。

让有一个图表顶点,让是它的邻接矩阵。的permanental多项式的被定义为 在哪里是单位矩阵的顺序 。permanental多项式的基本理论是最近在研究[1- - - - - -3)和引用。Kasum et al。4)和麦里斯et al。5给permanental多项式的系数 ,也就是说, 萨克斯和接管所有子图在哪里的在顶点,周期的数量吗 。回想一下,一个萨克斯子图图中,每个组件都是一个边缘或一个循环。

的permanental总和的图 ,用 ,可以被定义为所有绝对值的总和permanental多项式的系数 ,也就是说, 因此, 如果是一个空图。吴,所以6)表明,计算permanental图#穷举。

permanental笔图是第一考虑通(7]。在[8不稳定富勒烯),谢等人抓获 。通计算所有271年富勒烯 。在他的研究中,通发现permanental之和在所有271年富勒烯达到最低 。他指出,permanental总和将密切相关的分子图的稳定。最近,permanental笔图已得到太多的关注。李等人。9)确定极值六角链对permanental求和。李和魏10]证明了低和上界permanental之和一个八角形的链。吴和赖11)系统地介绍了permanental笔图的性质。

一个连通图被称为quasi-tree图,如果存在一个顶点在这样 是一个树。让quasi-tree图顶点,边缘。然后 ,和的程度在= 。表示 ,和 。作为一个重要的类图,quasi-tree图被广泛研究。的背景和一些已知结果quasi-tree图表,我们参考读者12- - - - - -15]。

这个报告的目的是调查的性质permanental quasi-tree图。注意的是组织如下。在下一节中,我们回顾一些以前的结果所需的续集。节3我们讨论permanental quasi-tree图。

2。一些初步的

在这个报告中,我们只考虑有限,无向和简单的图形。让是一个图的顶点集和边集 。的社区的顶点 ,用 ,附近的顶点集吗 。来自的图通过删除一个顶点 或一条边 将用 或 。让 表示两个顶点的联盟不相交的图表和 。对任何正整数 , 表示的结合不相交的副本 。路径、周期和明星是用 , 和 ,分别。

两条边的据说独立的如果他们不相邻 。一个当日的是一组相互独立的边缘。为一个整数 ,让 表示数量的 - - - - - -拼毛的图 。的Hosoya指数 的图定义的总数拼毛的 ,也就是说, 在哪里图的顶点的数量吗 。一些结果在[Hosoya指数进行了研究3,16- - - - - -18]。

为 ,让 尤其是表示斐波纳契数的顺序, 和 。

引理1(见[10])。让 森林有秩序 和 ,在哪里是一个树,顶点, 。然后 当且仅当与平等 。此外 ,在哪里 当且仅当与平等 。
让是空图 。表示图联合两个图,不相交的联盟的两个图表。图表 和 如图1(19]。

引理2(见[19])。让是所有的组成图和大小 。为 与 , 平等拥有当且仅当 ,或当 ,在图和参见图1。

的定义和 ,我们获得 。由引理2,我们有以下。

推论3。让 quasi-tree图 。然后 ,等号成立当且仅当在哪里 。

引理4(见[11])。让树有秩序 ,然后 ,第一个平等成立当且仅当 ,和第二个平等拥有当且仅当 。

引理5(见[11])。让有一个路径顶点。然后

引理6(见[11])。permanental笔图满足以下标识:(我)让和两个连接图。然后 (2)让 是一个图形的边缘和周期包含的集合 。然后 (3)让是一个图的顶点和周期包含的集合 。然后

由引理6,我们有以下。

推论7。让是一个图,一个边缘 。然后 。

3所示。主要结果

在本节中,我们将调查的性质permanental quasi-tree图。

定理8。让 quasi-tree图 。然后 ,等号成立当且仅当在哪里 。

证明。permanental笔图的定义,它可以知道 ,在哪里表示所有的数量(goldman Sachs)包含周期的图表 。检查 ,我们知道正好有周期和 。因此 。的必然结果3,我们有 当且仅当与平等 。由引理6,我们获得 这就完成了证明。

定理9。让 。然后 ,等号成立当且仅当在哪里 。

证明。让 ,,让 和 。假设 有最大permanental求和。我们将描述的结构 。(3)的引理6,它可以知道如果 最大permanental求和,然后 , ,和必须达到最大值。从quasi-tree图的定义,我们知道 是一个树。由引理4, 最大permanental和当吗 是同构的路径 。因为路径有两个顶点的度1。因此存在两个顶点,说和 ,这样 和 是路径。集 。由引理1,只有当 有两个组件,每一个都是一个路径,吗达到最大值。同样,由引理1和引理6,如果且仅当达到最大值 有两个组件,每一个都是一个路径,然后呢最大数量的周期吗 。结合上面的论证和推论7,必须同构(见图2)。我们的数量 - - - - - -周期, - - - - - -周期、… - - - - - -周期是 ,分别。由引理6,我们获得

由定理8和9,我们得到以下的结果。

定理10。让 。然后 第一个平等成立当且仅当 ,和第二个平等拥有当且仅当 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

本研究是国家自然科学基金支持的中国(11761056号,11801061);教育部春晖计划(没有。青海省Z2017047)和美国国家科学基金会(2016号- zj - 947 - q);的关键项目QHMU(2019号xjz10)。

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