丰富的多吸引子共存的行为在三维正弦混沌系统

文摘

提出一种新颖的和简单的三维(3 d)混沌系统通过引入两个正弦非线性转化为一个简单的三维线性动力系统。介绍正弦平衡系统拥有9个点组成的五个索引2鞍焦点和四个索引1鞍焦点允许共存的各种类型的分离流动,也称为多稳定性。描述多个吸引子共存的阶段情节和吸引盆。共存的分岔模式引发了不同的初始值由二维数值模拟分岔和复杂性的阴谋下两组初始值和一维的分岔图三集的初始值,这表明丰富多吸引子共存的行为提出正弦系统不仅对系统参数有关,而且与初始值。simulation-oriented电路模型合成和PSIM(电力仿真)屏幕截图验证数值模拟。

1。介绍

最近,大量的非线性动力系统已经报告说他们现在共存的两个或两个以上的分离流动孤立的吸引盆。共存现象的两个或两个以上的流动中遇到非线性振荡电路(1- - - - - -5)、生物神经元模型(6,7),Hopfield神经网络(8- - - - - -11),vibroimpact系统[12超导量子干涉器件),振子(13[],纯粹的数学系统14- - - - - -17),等等。这一惊人的现象,也称为多稳定性,证明了系统初始值做中扮演重要角色的出现复杂的吸引子共存的行为(18,19]。多稳态动力系统,它通常是具有挑战性的预测最终的稳态动力系统给定初始值往往会因为一个小扰动的初始值可以改变稳态动力系统(20.- - - - - -23]。多稳定性有很大应用潜力chaos-based安全通信和信息加密(24- - - - - -27),但应采用有效的预测和控制方法使这些动力系统所需的振荡模式(28- - - - - -32]。

通常情况下,一个有效的方法实现initial-related多稳定性是领导一个,两个,或更一般的或延长记忆电阻器在各种现有的电路和系统15- - - - - -17,33- - - - - -36]。Memristor-based与不同类型的电路和系统平衡点很容易表现出吸引子共存的多稳定性行为。相对而言,另一个有益的和简单的方法生成初始值offset-boosted吸引子共存周期三角函数是将特定offset-boostable动力系统(37- - - - - -41]。当周期函数的周期时间是相同的,任何吸引子将复制周期抵消增加的初始值(37]。然而,由于报道offset-boostable与独立的非线性动力系统,新构建的多稳态动力系统变得相对复杂(38- - - - - -41),而不是方便理论分析和硬件电路的实现。代数系统的简单结构和拓扑复杂性混沌吸引子的福利发展中chaos-based密码(42]。本文基于一个简单的三维线性动力系统和两个新引入的非线性正弦,小说和极其简单的三维正弦混沌系统是很容易构造,丰富的多吸引子共存”的行为是观察(43]。

其余部分组织如下。节2、小说和简单的三维正弦混沌系统。平衡有9个点组成的五个索引2鞍焦点和四个索引1鞍焦点,导致共存的六种分离流动。节3,通过二维分叉和复杂性的阴谋下两组初始值和一维的分岔图三集的初始值,共存的分岔模式数值模拟来展示丰富的多吸引子共存的行为。节4simulation-oriented电路模型,PSIM屏幕截图验证数值模拟。结论总结了部分5。

2。系统模型及其多吸引子共存

通过引入两个正弦非线性两个耦合系数成一个简单的三维线性动力系统,一种新颖的三维正弦混沌系统通过简单的代数方程很容易实现,建模的 在哪里x,y,z三个状态变量和吗k₁和k₂是两个积极的常量。

介绍了正弦系统(1关于起源和耗散)是对称的。对称的属性可以通过系统的不变性(1)的转换 。解释为耗散度

因此,轨道终于局限于一个特定的子集与零卷及其渐近运动附着到一个独立的吸引子。

平衡的正弦系统(1)是通过解决以下方程: 这是表示为

的值δ和σ可以被解决了超越函数如下: 分别。

雅可比矩阵在E给药 特征多项式是派生的 在哪里

上述特征多项式意味着雅可比矩阵(7)有三个非零的根源。对于这些根源,Routh-Hurwitz条件 也就是说,

如果条件(11)感到满意,也就是说,和 ,E是稳定的,导致点吸引子的存在。否则,如果其中任何一个条件(11)是不满意的,也就是说,或 ,E不稳定,导致不稳定的行为可能引发了正弦系统。

表示k₁=k₂=k并采取k= 3.6和5两个例子。的值δ和σ的平衡点E在(4两个函数曲线的相交点h₁和h₂描述(5)和(6),如图1(一)和1 (b)分别从这9双δ和σ获得通过检查的交集点,表明提出的九个均衡的存在性分正弦系统。这些平衡点,三个非零特征值计算雅可比矩阵在(7),可以确定相应的稳定性,列在表中1。计算结果说明,5个索引2鞍焦点(索引2普遍服务基金,)和四个索引1鞍焦点(索引1普遍服务基金,简称)可以发现,这可能会出现五个断开连接的吸引区域,当这些吸引区域不能相互联系,导致分离流动的共存。

为k= 3.6、5、几套的初始值(标记图2),多吸引子共存的阶段情节投影上x- - - - - -y飞机在数据描述2(一个)和2 (b),分别。在图2(一个),一个混沌吸引子共存与孪生小型时期1极限环,两个大型时期1极限环,规模相对较大的时期1极限环。相比之下,在图2 (b)与双胞胎,两个混沌吸引子共存大型时期1极限环和一个规模相对较大的时期1极限环。因此,六个类型的多个吸引子共存数值披露的三维正弦混沌系统之间的吸引和排斥的相互作用,因为五个索引2鞍焦点和四个索引1鞍焦点。

检测多个吸引子共存的吸引区域图2的吸引力盆地初始值平面用于分类不同的动力学行为(44]。图中使用的两个耦合系数2的吸引盆 - - - - - - 飞机与= 10⁻⁶描绘在图3。吸引区域,不同的颜色代表了初始值区域对应不同的长期振动状态,即。多稳态状态共存,与彩色轨迹出现在图是相同的2。因此,吸引盆显示相对复杂的多方面的结构以及盆地边界。与此同时,数值结果图3演示呈现正弦系统多稳定性的出现。

它可以得出的结论是,由于五索引2鞍焦点的外观和四个索引1鞍焦点和彼此交互,一些断开连接的吸引区域从而形成社区围绕这些不稳定的鞍焦点,导致多个断开连接的吸引子共存的生成。

3所示。初始Values-Related多个分岔模式共存

因为呈现正弦系统(1关于原点)是对称的,断开连接吸引地区局部对称的行为,也表现出的人物2和3。出于这个原因,方便分析,初始值的三组(10⁻⁶,0,0),(10⁻⁶3,0)和(10⁻⁶3 0)被认为是在未来数字的阴谋。四阶龙格-库塔算法与0.01秒时间步(700年代,800年代)的时间间隔是情节和分岔图用于描述阶段,而四阶Runge-Kutta-based狼与0.01年代的方法采用时间步进20公里结束计算李雅普诺夫指数。

首先,二维分叉图(分岔图和动态地图)23)是用来显示直观地呈现正弦系统的复杂动力学行为,如图4和5。在这里,耦合系数k₁和k₂同时增加了在该地区(2,8(10)和两组初始值⁻⁶,0,0)和(10⁻⁶3选择0)。注意,表现出二维分叉行为是相似的初始值(10⁻⁶3,0)和(10⁻⁶3 0)由于系统对称。

如图4、二维分叉图k₁- - - - - -k₂计算得到的参数平面状态变量的周期的研究x展示丰富和复杂共存的动力学行为与系统参数和初始值。稳定点和混沌吸引子分配在黑色和红色区域,分别和周期吸引子具有不同周期的研究将在其他颜色的区域。比较图4 (b)与图4(一)有很大的区别,两种动态行为在右下区域,由最初的触发values-dependent多稳定性呈现正弦系统,导致多个分岔模式的共存。

如图5的二维动态地图k₁- - - - - -k₂两组初始值以下参数平面描绘通过评估最大李雅普诺夫指数的值。yellow-red-white彩色区域具有不同的积极价值最大李雅普诺夫指数代表不同的混沌行为,黑色的区域用不同的负的最大李雅普诺夫指数仅代表稳定点的行为,和黄黑颜色的区域0最大李雅普诺夫指数代表不同的周期性行为。以类似的方式,描述的动态行为的动态地图数据5(一个)和5 (b)有很大差异,表现如何共存的动态行为演变为不同的初始值。

同样,二维谱entropy-based情节的复杂性k₁- - - - - -k₂参数平面显示在图中6,两组初始值(10⁻⁶,0,0)和(10⁻⁶3 0)受聘。傅里叶变换的基础上(32,45),复杂性值计算得到的谱熵变量的时间序列x。相对较大的复杂性值在图6表明一个不规则的混沌序列的外观,而相对较小的复杂度值在图6代表定期周期序列的发生。的两套不同的初始值,有一些情节的复杂性差异数据6(一)和6 (b),这意味着系统初始值有很大的影响呈现正弦系统的动力学行为。

因此,动态地图显示在图5和复杂性阴谋如图6能反映系统的动态演进变化的参数和初始值,有效补充确认共存的动态行为分岔图的图4。

可视化共存多个分岔模式与初始值有关,初始值的三组(10⁻⁶,0,0),(10⁻⁶3,0)和(10⁻⁶3 0)被认为是和两个耦合系数k₁和k₂同时增加了在该地区(2,8]。表示k₁=k₂=k作为分岔参数。一维分岔图与系统参数的变化k如图7。在图7(一)分岔图绘制的黑色,蓝色,红色的轨迹从初始值对应于那些发起(10⁻⁶,0,0),(10⁻⁶3,0)和(10⁻⁶3分别为0)。并在图7 (b),前两个李雅普诺夫指数与三组初始值的起草上,中间,和底部的图7 (b),这完全与分岔图在图7(一)。因此,当更多的初始值被认为是更复杂的共存可以显示多个分岔模式呈现正弦系统。

观察图7、丰富的多吸引子共存”表现出行为与初始值有关,包括稳定点,周期性振荡,振荡和混乱和倍周期分岔,切线分岔,和危机场景。当两组初始值(10⁻⁶3,0)和(10⁻⁶选择了3 0),动力行为图7基本上是相同的在整个参数区域,只有轻微的差异在参数区域(6.94,7.58)。然而,当其他两组初始值(10⁻⁶,0,0)和(10⁻⁶选择了3 0),动力行为图7有大的差异在参数区域(2.96,5.24)。作为参数k在这个参数地区增加,移动轨道(10⁻⁶,0,0)进入混沌振荡状态k通过倍周期分岔的路线= 3.01,变异成周期性振荡状态k= 3.76通过混乱的危机,而移动轨道(10⁻⁶3 0)转化为周期性振荡状态从稳定的静止状态k= 3.14和进入混沌振荡状态k= 4.34通过倍周期分岔的路线有两个相对较大的周期性的窗户。当然,在参数区域(6.94,7.58),一些细微的差异描述动力学行为在两组初始值(10⁻⁶,0,0)和(10⁻⁶可以看到3 0)呈现正弦系统。

除了图中的两个例子2其他例子,展览多吸引子共存的行为在图8的情节,四组的阶段x- - - - - -y飞机提供初始值(10⁻⁶,0,0),(10⁻⁶3,0)和(10⁻⁶3 0)。当k= 3,共存的时期4极限环和一双对称点呈现在图8(一个)。当k= 4.5,大尺寸的共存时期1极限环和一双对称时期3极限环是显示在图8 (b)。当k= 7,共处一个混沌吸引子和一个时期5极限环如图8 (c)。然而,当k= 8,共存的两个混沌吸引子具有不同拓扑披露在图8 (d)。因此,各种类型的吸引子共存的行为可以在呈现正弦系统。

4所示。Simulation-Oriented验证的电路模型

采用PSIM 9.0.3软件版本,simulation-oriented电路模型的实现提出正弦系统合成及其屏幕截图如图9包含三个集成商,三个操作通道,三个逆变器和两个正弦函数转换器是用来实现三个状态变量x,y,z,分别。

基于simulation-oriented电路模型如图9,电容电压的状态方程 , ,和被 在哪里C₁=C₂=C₃=C,R_k1=R/k₁,R_k2=R/k₂。当钢筋混凝土= 10 kΩ×10 nF = 100μ年代,即R= 10 kΩ和C= 10 nF、电路参数R_k1和R_k2PSIM电路模拟可以方便地确定。

根据系统参数k₁和k₂和图中使用的初始值2、电路参数R_k1和R_k2有相同的值,即R_k1=R_k2。当R_k1=R_k2分别= 2.78 kΩ和2 kΩPSIM屏幕截图如图10,初始电压和电容器的C₁和C₃总是固定为1μV和0 V,分别,只有初始电压电容器的C₂调整不同的初始值。

同样,基于系统参数k₁和k₂和三个集用于图的初始值8电路参数选择R_k1=R_k2kΩkΩkΩ= 3.33,2.22,1.43,和1.25 kΩ分别。相应的PSIM屏幕截图如图相连11,初始电压 , ,和电容器的C₁,C₂,C₃被分配为= 1μV,= 3 V(或0 V, 3 V)= 0 V,分别。

PSIM电路仿真图11 (d)从MATLAB数值模拟图略有不同吗8 (d),这主要是由不一致引起的瞬态行为由于模拟误差的存在46]。忽略的微小差异MATLAB数值模拟和PSIM电路模拟,结果数据10和11有效地吸引子共存的披露行为数据进行验证2和8。

除此之外,应该提到,正弦函数的条件是两个关键单元实现了三维正弦混沌系统。在模拟电路实验(47),正弦函数项可以使用两个物理实现AD639AD三角函数转换器。但系统的首字母,对应于初始电容电压,也很难在实验测量。相比之下,在数字电路实验(48),正弦函数项可以直接通过调用CORDIC FPGA和图书馆系统中IP核首字母很容易预设。因此,实现一个可行的方法提出了三维正弦混沌系统可以在FPGA上实现,这是在我们的未来。

5。结论

自治混沌系统可以生成传统的自激振荡是兴奋从吸引子不稳定平衡点决定的。构造混沌系统与多个吸引子共存机制是基于事实,可以重新安装系统平衡分新引入正弦非线性,导致其数量的变化、特点、和分布49]。因此,通过引入两个正弦非线性成一个简单的三维线性动力学系统,本文提出了一种新颖而简单的三维正弦混沌系统的重新安装5个索引2鞍焦点和四个索引1鞍焦点,丰富的多吸引子共存的行为被数值模拟,从而揭示等阶段的情节,吸引盆,二维分叉和复杂性的情节,和一维的分岔图,最后由PSIM电路仿真验证。的代数简单的系统结构和拓扑复杂混沌吸引子是一个长期目标寻求一个新的混沌系统共存的行为,从而获得广泛的兴趣为其chaos-based工程应用[42,50]。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金的资助下批准号。51607013,61601062,和61801054,江苏省自然科学基金、中国,在批准号BK20191451。

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